Представляю до вашої уваги навчальний матеріал, присвячений існуванню та єдиності розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Матеріал містить:
🔹 означення задачі Коші, її розв’язку та локальної єдиності;
🔹 формулювання теореми існування Пеано;
🔹 умову Ліпшиця та достатню умову єдиності через неперервність частинної похідної;
🔹 теорему Пікара–Ліндельофа з покроковим доведенням методом послідовних наближень;
🔹 перехід від диференціального рівняння до інтегрального;
🔹 обґрунтування рівномірної збіжності наближень Пікара й оцінку похибки;
🔹 розв’язані приклади побудови наближень, визначення гарантованого відрізка існування та областей єдиності;
🔹 завдання для самостійного розв’язання.
У конспекті пояснено відмінність між існуванням і єдиністю розв’язку, локальний характер теорем та особливості застосування достатніх умов.
Матеріал призначений для студентів математичних і педагогічних спеціальностей, викладачів та вчителів, які поглиблюють знання з диференціальних рівнянь. Його можна використовувати під час лекційних і практичних занять, для самостійного опрацювання та підготовки до контролю знань.
