Прямокутні координати в просторі. Вектори. Дії над векторами.

Ключові блоки змісту:

1. Прямокутна система координат у просторі:

   • Розширення базису: Введення третьої координатної осі — осі аплікат ($$z$$), яка доповнює осі абсцис ($$x$$) та ординат ($$y$$).

   • Координатні площини: Пояснення будови простору через три взаємно перпендикулярні площини ($$xy$$, $$xz$$, $$yz$$) та правила кодування точок упорядкованими трійками чисел $$M(x; y; z)$$.

2. Вектори у просторі та дії над ними:

   • Визначення вектора в просторі, знаходження його координат за точками початку й кінця, а також обчислення модуля (довжини) вектора.

   • Систематизація лінійних операцій: додавання (за правилами трикутника, паралелограма та просторового паралелепіпеда), віднімання та множення вектора на число.

3. Скалярний добуток та метричні задачі:

   • Формула скалярного добутку векторів через їхні координати та через кут між ними.

   • Застосування скалярного добутку для обчислення кутів між прямими та перевірки умови перпендикулярності ($$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$).

4. Геометричні перетворення та складні задачі:

   • Розбір поняття гомотетії у просторі (перетворення подібності).

   • Аналітичне доведення ключової дослідницької задачі про подібність прямокутних трикутників ($$\triangle OHX \sim \triangle OH1X1$$), утворених при перетині просторових променів паралельними площинами, та сталість коефіцієнта гомотетії $$k = \frac{h_1}{h}$$.