Рекомендації для організації самостійної навчально- пізнавальної роботи учнів з геометрії .

Опис документу:
Розробка містить : опорні конспекти або алгоритми розв’язування задач; різноманітні завдання-тести для самоконтролю відповідно до обраного учнями рівня засвоєння знань, умінь і навичок; диференційовані практичні завдання; питання для самоперевірки; зразки розв’язання типових задач та приклади оформлення розв’язків; завдання прикладного характеру.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

ЦЕНТР ПРОФЕСІЙНО - ТЕХНІЧНОЇ ОСВІТИ №1

Методичні рекомендації

для організації самостійної навчально-

пізнавальної роботи учнів та розвитку

їх творчих здібностей за темою:

«Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

Розробила:

викладач

Озірна А.В.

ХАРКІВ 2019

ВСТУП

Сучасний етап розвитку характеризується стрімким збільшенням обсягу інформації, обмеженням кількості навчальних годин, високими вимогами до якості навчання. Тому особливо актуальними постають питання, як удосконалення організації навчального процесу, методологічна орієнтація процесу навчання на розвиток особистості дитини. Для того, щоб недоліки традиційної системи навчання менше позначалися на якості знань учнів, необхідно прагнути вдосконалювати засоби, форми й методи викладання математики.

Роки становлення і розвитку ПТНЗ збіглися з активними пошуками в педагогічній науці і практиці нових підходів, систем навчання, методів і прийомів. Досить згадати ідеї розвиваючого і проблемного навчання, вимогу інтенсифікації навчального процесу шляхом ведення кабінетної системи, положення щодо оптимізації педагогічного процесу, окремі прийоми, запропоновані педагогами-новаторами, скажімо, використання основних сигналів тощо.

Отже, перед нами, викладачами математики, постало завдання визначити особливості навчально-виховного процесу, знайти найефективніші підходи, методи і прийоми, забезпечити взаємозв’язок між ними залежно від реалізованої на кожному етапі навчання дидактичної мети. Головне полягає в тому, щоб забезпечити відповідність методичного апарату, яким користуємося, меті навчання.

На даному етапі, у навчанні математики наочність виступає як допоміжна основа конкретизації абстрактних понять та ідей. Тому значні труднощі відчуваються в реалізації завдання – забезпечити взаємозв’язок професійної і загальної освіти, як основи формування особистості кваліфікованого робітника. Епізодично здійснювані міжпредметні зв’язки тут не можуть вирішити справи.

На кожному уроці сучасний викладач повинен дотримуватися наступних компетенцій: створення в навчальних групах сприятливої емоційної атмосфери, врахування психологічних закономірностей пізнавальної діяльності вихованців, уміння вселити впевненість у тому, що всі вони можуть добре вчитися. Важливе місце в цій роботі займає формування в учнів загальних прийомів навчальної праці, умінь самостійно аналізувати ситуації і знаходити шляхи розв’язання проблем. В цілому основну ідею методичної системи формулюю так: спочатку захопити, викликати інтерес, а потім навчити. Крім того, у процесі навчання повинен здійснюватися диференційований підходу до учнів. Тепер у зв’язку з орієнтацією нових навчальних програмна досягнення всіма учнями обов’язкового рівня знань і вмінь, диференційований підхід має здійснюватися на принципово новій основі, а саме: диференціація на базі обов’язкових результатів навчання. Це дає змогу працювати не лише з слабшими учнями, а й повніше враховувати можливості й запити тих, хто виявляє інтерес до знань математики.

Шукаючи ефективних форм і методів навчання, потрібно орієнтуватися на використання групових форм організації навчального процесу.

Групові форми навчання пов’язуються з використанням ігрових моментів.

Одним з головних завдань удосконалення процесу навчання є посилення виховних функцій усіх видів занять, використання можливостей математики для формування світогляду учнів.

З трьох традиційних складових навчального процесу – освітньої, операційної і мотиваційної – в умовах ПТНЗ найбільшої уваги потребує остання. Якщо перша сторона (знати) і операційна (уміти) стосується переважно досягнення обов’язкових результатів навчання, то мотиваційна (хотіти) охоплює широкий спектр якостей особистості майбутнього робітника, пов'язаний з соціальними вимогами суспільства.

Всього 75% вступників до ліцею виявляють бажання вивчати математику. Очевидно, це результат слабкої підготовки в школі. Ось чому на першому етапі формування мотивації особливу увагу доцільно звернути на зміст і способи учіння, спираюсь на інтерес учнів до своєї майбутньої професії. Перший урок в групах нового набору можна провести з теми «Математика і машинобудівництво», або «Математика і кулінарія» і т.п.. А далі постійно акцентувати увагу учнів на значущості кожної нової теми з математики для їх професійної підготовки.

Основна ціль другого етапу – формування мислительної культури. Іншими словами, потрібно показувати не лише результати наукових відкриттів і зразки застосування знань на практиці, а й ознайомлювати учнів з процесами, що ведуть до відкриття, до появи нових знань.

Однак не лише зв'язок з професією, з практикою є основою формування мотивації навчання математики. Коли вже вдалося подолати психологічний бар’єр, що відділяє вихованців від математики на початку її вивчення, доцільно застосовувати інші прийоми, притаманні самій математиці.

Показниками ефективності виконаної роботи на цьому етапі буде поява у вихованців бажання самостійно аналізувати й доводити математичні твердження, сперечатися, визначати мету своєї роботи, включатися в неї на різних етапах. Це можливо лише за умови, коли діяльність учня чітко контролюється на всіх етапах і відповідно оцінюється.

На третьому етапі намагаємося сформулювати в учнів мотивацію пошукової діяльності, стимулюю потребу в самостійному набуванні знань. Семінари, доступи розвивають їхню ініціативу, наполегливість, почуття обов’язку, відповідальності за результати навчальної праці, прагнення до самоосвіти.

Співвіднесення мотивації з іншими цілями навчально-виховного процесу, із змістом матеріалу, реалізацією виховних завдань допомагає викладачам переходити від елементів цікавого до таких завдань, які треба виконувати з обов’язку.

Пропонуючи учням певне завдання, чітко визначаємо його мету, акцентуємо увагу на тому, що треба виконувати, як і для чого.

Хотілося б підкреслити необхідність розвивати у майбутнього робітника потребу реалізувати естетичні цінності в різних галузях своєї професійної і громадської діяльності. Для цього важливо розкривати перед вихованцями внутрішню гармонію математики, формувати в них розуміння краси і витонченості математичних міркувань, геометричних форм, симетрії, збагачувати і розвивати просторову уяву. З усіх цих напрямків проводжу роботу на уроках і в позаурочний час, використовуючи навчально-матеріальну базу математичного кабінету.

Суттєвою особливістю уроку є організація на досягнення всіма учнями обов’язкових результатів навчання; визначених програмою. Цей напрям роботи пов’язується з диференціацією та індивідуальним стилем навчання, урахуванням відмінностей у розумовому, емоційно-вольовому розвитку учнів, у темпах їх просування в оволодінні програмним матеріалам.

У даній розробці до вашої уваги запропоновано декілька уроків різних типів з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі» з застосуванням інноваційних форм і методів навчання, завдання прикладного характеру та матеріали для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання.

Мотивація вивчення теми

Окремим випадком взаємного розміщення прямих і площин , який заслуговує уваги є перпендикулярність.

Відношення перпендикулярності моделює відношення вертикальності між фізичними об’єктами . Поширеність цього відношення демонструють наступні малюнки:

Балки стропильної системи перпендикулярні між собою

Колони Парфенону – центрального храму Акрополя, перпендикулярні площині землі

Космічні апарати запускають перпендикулярно площині землі. Тільки піднявшись на певну висоту, ракета відхиляється у заданому напрямі.

Площина відкритої частини вікна, як би її не відкривали, залишається перпендикулярною площині підвіконня

Суміжні грані швелеру перпендикулярні

Ви, напевно, бачили як перевіряють перпендикулярність площини стіни до площини підлоги за допомогою виска. Який теоретичний факт обґрунтовує цей спосіб?

Ідея перпендикулярності лежить в основі ортогонального проектування. Саме цей вид проектування на одну, дві, три площини використовується в кресленні. Зображення предмету в проекціях дозволяє робити висновки про його будову, без чого неможливо ні конструювання предметів, ні їх виготовлення. Ортогональне проектування лежить в основі важливого для інженерів розділу прикладної математики, як нарисна геометрія.

Урок 1. Лінійний кут двогранного кута

Створення емоційного стану

Розгадайте ребуси:

2) 3)

Відповідь:

  1. Площина;

  2. Трикутник;

  3. Куб.

Актуалізація опорних знань

«Мозковий штурм» ( по 1 б. за правильну відповідь)

  1. Що називають перпендикуляром до площини? похилою до площини? проекцією похилої на площину?

  2. Сформулюйте означення кута між прямою і площиною

  3. Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини.

  4. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

  5. Що називають кутом між площинами?

  6. Які площини називають перпендикулярними?

  7. Назвіть одиниці вимірювання кутів.

Вивчення нового матеріалу

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини називають гранями, а пряму, що їх обмежує, – ребром двогранного кута.

Лінійний кут двогранного кута – це кут, утворений двома пів прямими, по яких площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає даний двогранний кут.

Властивості лінійних кутів двогранного кута:

  1. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.

  2. За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута.

  3. З двох двогранних кутів уважають більшим той, лінійний кут якого більший.

  4. Міра двогранного кута знаходиться в межах від 0° до 180°.

  5. Вертикальні двогранні кути рівні.

  6. Двогранні кути з відповідно паралельними й однаково (протилежно) направленими гранями рівні.

  7. Усі прямі двогранні кути рівні.

  8. Бісектриса кожного лінійного кута належить бісектрисі заданого двогранного кута.

  9. Бісектриса двогранного кута є геометричним місцем точок, що лежать усередині цього кута й рівновіддалені від площин його граней.

Способи побудови лінійного кута двогранного кута:

На ребрі кута позначаємо точку; через неї в гранях кута проводимо дві пів прямі, перпендикулярні до ребра кута. Кут, утворений цими пів прямими, – лінійний кут поданого двогранного кута;

На одній із граней кута позначаємо точку і через неї проводимо перпендикуляри до площини іншої грані та до ребра кута. Тоді одержаний кут (або суміжний з ним) є лінійним кутом двогранного кута.

Зауваження. Цей спосіб неприйнятний у випадку, якщо двогранний кут прямий.

Питання для самоперевірки:

(по 0,5 б. за правильну відповідь)

  1. Що називають ребром двогранного кута?

  2. Чи залежить від вибору лінійного кута міра двогранного кута?

  3. Що буде геометричним місцем точок, що лежать усередині двогранного кута й рівновіддалені від площин його граней?

  4. Як називають півплощини, які утворюють двогранний кут?

  5. Що можна сказати про усі прямі двогранні кути?

  6. Що приймають за міру двогранного кута?

  7. В яких межах знаходиться міра двогранного кута?

  8. Що ви знаєте про вертикальні двогранні кути?

На екран проектуються відповіді. Учні виконують перевірку.

Відповіді:

  1. Пряму, що обмежує його грані.

  2. Ні.

  3. Бісектриса двогранного кута.

  4. Гранями.

  5. Вони рівні.

  6. Міру відповідного йому лінійного кута.

  7. Від 0° до 180°.

  8. Вони рівні.

Гра «Хто перший?»

Учні самостійно виконують завдання в зошиті. Хто виконав – піднімає руку. Викладач перевіряє. Трьом учням, які перші правильно виконали завдання зараховується по 4 б.. Один з них потім коментує і обґрунтовує малюнок – відповідь, який проектується на екран.

ABCD і CMKE– ромби, причому BD ||ME. Побудувати лінійний кут двогранного кута, визначеного площинами цих ромбів. Побудову обґрунтувати.

Очікуваний результат

˪АСК – шуканий лінійний кут двогранного кута.

Тренувальні вправи

Учні самостійно обирають рівень завдання, яке будуть виконувати.

Практична робота

(початковий рівень)

І варіант

ABCD і CDLK – два прямокутника, а ˪MTP - лінійний кут двогранного кута при ребрі CD. Чи є на малюнку помилка? Якщо є, то виправте її. Виправлення обґрунтуйте.

ІІ варіант

ABCD і BСLK – паралелограми, а ˪ТРЕ - лінійний кут двогранного кута при ребрі ВС. Чи є на малюнку помилка? Якщо є, то виправте її. Виправлення обґрунтуйте.

Після виконання на екран проектується очікуваний результат.

І варіант ІІ варіант

Задача 1.

(середній рівень)

Одна сторона трикутника лежить в площині α, а дві інші утворюють з площиною α кути, тангенси яких відповідно дорівнюють і , причому проекції цих сторін на площину α взаємно перпендикулярні. Визначити кут між площиною α і площиною трикутника.

Впишіть пропущені фрагменти в текст розв’язку.

Розв’язок: Нехай сторона АВ трикутника АВС лежить __________________ , а вершина С ___________________ . Опустимо з точки С перпендикуляр ____ на ________ . AD – проекція ______ на ____________ ; ВD - ______________ , отже, за умовою ˪ADВ = _____ , а ˪СAD = _____ , і ˪СВD = _____ - це кути ________________________________________________________________ . Ребром шуканого кута є _____ . Проведемо DК____ , тоді СК____ по _______________ . Отже ˪СКD =φ - ___________________ . СDAD; СDDВ;СDDК; по ________________________, отже, ∆СDA, ∆СDВ, ∆СDК - ____ . Шуканий кут φ визначаємо з _____ . В цьому трикутнику tgφ = _____ . Так як обидві величини невідомі, то їх необхідно пов’язати за допомогою інших даних.

З ∆САD tgβ = _____ , звідси АD = ______________________ .

З ∆СВD tgγ = _____ , звідси ВD = ______________________ .

З ∆DАВ АВ2 = ____________ АВ = ______ . ∆DКВ ~ ∆АDВ за _______________ = ____ , звідси DК = _________________________ . Так як tgφ = _____ , то tgφ = ______________ , звідси лінійний кут шуканого двогранного кута φ = ________ .

Після виконання на екран проектується очікуваний результат.

Розв’язок: Нехай сторона АВ трикутника АВС лежить в площині α , а вершина С не належить їй . Опустимо з точки С перпендикуляр СD на пл. α. AD – проекція АС на пл. α ; ВD–проекція ВС на пл. α, отже, за умовою ˪ ADВ = 900 , а ˪СAD = β , і ˪СВD = γ- це кути тангенси яких дорівнюють і . Ребром шуканого кута є АВ . Проведемо DК АВ , тоді СК АВ по т. про три перпендикуляри .

Отже ˪СКD = φ – кут між пл. АВС і α . СDAD; СDDВ; СDDК; по т. про перпендикулярність прям. і площ. у просторі , отже, ∆СDA, ∆СDВ, ∆СDК - прямокутні . Шуканий кут φ визначаємо з ∆СDК . В цьому трикутнику tg φ = . Так як обидві величини

невідомі, то їх необхідно пов’язати за допомогою інших даних.

З ∆САD tg β = , звідси АD = = 3 СD.

З ∆СВD tg γ = , звідси ВD = = 4 СD.

З ∆DАВ АВ2 = АD2 + ВD2 → АВ = 5 СD. ∆DКВ ~ ∆АDВ за власт. подібних трикутників = , звідси DК = = = СD . Так як tg φ = , то tg φ = СD : СD = , звідси лінійний кут шуканого двогранного кута φ = arctg.

Задача2.

(достатній рівень)

Через кінці трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, проведено перетин, площина якого з площиною основи паралелепіпеда утворює кут φ. Знайти площу перетину, якщо довжини суміжних ребер основи паралелепіпеда дорівнюють а і b.

Допоміжна

планіметрична

модель

Етапи розв’язку:

Диференційована самостійна робота

З точки О (точка перетину діагоналей квадрата)

проведено перпендикуляр ОМ до площини квадрата

так, що МА = МВ = МС = МD = АВ.

Рівень

Завдання

І варіант

ІІ варіант

ІІІ варіант

ІV варіант

Почат-ковий

Побудувати кут між площинами

АВМ і АВС

ВСМ і АВС

СDМ і АВС

АDМ і АВС

Середній

Обчислити його величину

Достатній

Побудувати кут між площинами та обчислити його величину

АВМ і ВСМ

ВСМ і СDМ

СDМ і АВМ

АDМ і ВСМ

Рефлексія:

На уроці найважливішим відкриттям для мене було…

Мені сподобався ( не сподобався) результат моєї роботи на уроці, тому що…

Сьогодні на уроці я навчився (згадав)…

Найбільше на уроці мені запам’яталось те, що…

Мої враження після уроку такі…

Домашнє завдання

Опрацювати конспект.

На початковому рівні. Навести приклади лінійного кута двогранного кута в просторі.

На середньому рівні. Підібрати фото для демонстрацій.

На достатньому рівні. Виконати схематичний малюнок лінійного кута двогранного кута, в моїй майбутній професії.

На високому рівні. Розв’язати задачу.

В трикутнику АВС сторона АВ = 9см, АС = 5см, ВС = 6см. Через сторону АС проходить площина α, яка утворює з площиною трикутника кут 450. Знайти площу проекціїАВС на площину α і відстань від вершини В до площини α.

Урок 2. Розв’язання вправ

Тестова перевірка домашнього завдання.

( на відповідність, по 1 б за правильну відповідь)

Дано куб АВСDА1В1С1D1 .

Відстанню між даною прямою і

площиною буде довжина відрізка:

А

Б

В

Г

1

2

3

  1. А1В1 і (СDD1) А ВС

  2. В1С1 і (АВС) Б А1D

  3. СD і (АВВ1) В ВВ1

Г А1D1

Відповідь проектується на екран.

А

Б

В

Г

1

Х

2

Х

3

Х

Інтерактивна гра: «Закінчи речення»

(по 0,5 б. за правильну відповідь)

1. Довжина перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину – це відстань…

2. Фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує називається…

3. Відстань від довільної точки однієї площини до другої площини - це відстань…

4. Довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки прямої на площину – це відстань…

5. Міра двогранного кута знаходиться в межах…

6. Відстань між мимобіжними прямими дорівнює довжині…

7.Кут, утворений двома півпрямими, по яких площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає даний двогранний кут називається...

8.Міра кута між прямою і площиною знаходиться в межах…

Відповіді (проектуються на екран і учні виконують взаємоперевірку):

1. від точки до площини;

2. двогранним кутом;

3. між паралельними площинами;

4. від прямої до паралельної їй площини;

5. від 0° до 180°;

6. їхнього спільного перпендикуляра.

7.лінійним кутом двогранного кута;

8.від 0° до 90°;

Тренувальні вправи

Учні самостійно обирають рівень завдань, які будуть виконувати.

Початковий рівень

Задача 1. (за зразком)

Разом.

Пряма CD утворює з площиною α кут 30°. Знайти похилу , якщо її проекція дорівнює 8см.

Розв’язок.

  1. За означенням =

  2. CD =

  3. =

  4. CD = = 8 * = 16

Відповідь: CD= 16 см.

Самостійно.

Пряма CD утворює з площиною α кут 45°. Знайти довжину перпендикуляра, опущеного з точки C на площину α, якщо довжина похилої CD дорівнює 10см.

Розв’язок.

  1. За означенням =

  2. CO = ----*

  3. =

  4. CO = ___*___ = ___

Відповідь: CO= ___ см.

Задача2.

До площини α проведено перпендикуляр АВ і похилу АС.

Знайти довжину проекції похилої, якщо АС = 10 см, АВ = 8 см.

Обери правильну відповідь: а) 8 см; б) 10 см; в) 6 см; г) 2 см.

Середній рівень

Задача 1.

З точки М до площини α проведені перпендикуляр МО і похилі МА і MB. МО = 5 см, МА = см, MB = 13 см.

Знайдіть відношення проекцій похилих.

а) 1:1; б)1:2; в) 1:3; г) :13.

Задача 2.

Точка А знаходиться на відстані 6 і 8 см від двох перпендикулярних площин.

Знайдіть відстань від цієї точки до лінії перетину площин.

а) 6 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 14 см.

Достатній рівень

Задача 1.

З вершини А прямокутного рівнобедреного трикутника АВС (<C = 90°) проведено перпендикуляр SA до площини трикутника АВС. AC=см, SA = см.

Знайдіть площу трикутника SBC.

Задача 2.

Точка S віддалена від вершин квадрата зі стороною см на 2см.

Чому дорівнює відстань від точки S до площини квадрата?

Високий рівень

Задача 1.

Точка S віддалена від усіх сторін правильного трикутника на см, а від площини трикутника — на 3 см. Чому дорівнює сторона трикутника?

Задача 2.

Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 45° і 30°. Кут між їх проекціями дорівнює 90° . Знайти відстань між кінцями похилих.

Диференційована самостійна робота

Рівень

І варіант

ІІ варіант

Початковий

Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпендикуляр SO до площини квадрата і OFCD. Яка з вказаних прямих перпендикулярна до прямої СD?

a) SC; б) SD; в) BD; г) SF.

До площини правильного трикутника АВС проведено перпендикуляр SA, АК ВС. Яка з вказаних прямих перпендикулярна до прямої ВС?

a) SC; б) SB; в) АВ; г) SK.

Середній

З точки до площини проведено похилу довжиною 50см, а точка віддалена від площини на 25см. Знайдіть кут між похилою і площиною.

Пряма AB з площиною α утворює кут 60°. Знайдіть довжину проекції похилої AB на площину α, якщо AB =48 см.

Достатній

Пряма CD перпендикулярна площині гострокутного трикутника AВC, CKйого висота. Доведіть, що прямі DK і AB взаємно перпендикулярні. Знайдіть відстань від точки А до площини DKC, якщо DA=см, DAK= 45°.

Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O. З точки O проведено перпендикуляр OM до прямої AB і перпендикуляр OK до площини чотирикутника. Доведіть, що кут між прямими MK і AB прямий. Знайдіть відстань від точки B до площини OKM, якщо KM = см, МКВ = 30°.

Рівень

І варіант

ІІ варіант

Високий

До площини трикутника АВС провели перпендикуляр CD. Відомо, що AB =12см, CD =6см, AC = CB =10см.

Провести перпендикуляр з точки D до прямої AB.

Знайти: відстань від точки D до прямої AB і кут між площинами АВС і АВD.

До площини трикутника АВС провели перпендикуляр CD. Відомо, що ACB =90°, CD =35см, BAC =15м, CB =20см.

Провести перпендикуляр з точки до прямої AB.

Знайти: відстань від точки D до прямої AB і кут між площинами АВС і АВD.

Проблемні питання(по 1 б. за повну відповідь):

Відстань між двома паралельними площинами дорівнює h. Точка А лежить в одній із цих площин, а точка В - у другій. Чи правильно, що: а)довжина відрізка АВ може дорівнювати h; б) довжина відрізка АВ може бути меншою від h; в) довжина відрізка АВ може бути більшою за h?

Домашнє завдання

На рисунку зображено куб із ребром а.

На початковому рівні.

а) Яка відстань від прямої СС1 до площини АВВ1?

б) Яка відстань від прямої В1D1 до площини АВС?

На середньому рівні.

в) Яка відстань між площинами ABC і B1D1C1?

г) Знайдіть відстань між мимобіжними прямими DD1 і B1C1 ; B1D1 і СС1.

На достатньому рівні.

Площини α і β перпендикулярні. Рівнобедрений трикутник ABC лежить у площині α так, що його основа АВ належить прямій перетину площин. Пряма b лежить у площині β, паралельна прямій перетину площин і віддалена від неї на 5 см. Обчисліть відстань від точки C до прямої b, якщо AB = 2см, АС = 20 см.

На високому рівні.

Трикутники ABC і ABD рівносторонні і лежать в перпендикулярних площинах. Довести, що площина CKD перпендикулярна площині кожного з них, якщо точка К – середина сторони АВ.

Урок 3. Контрольна робота

Інтерактивна гра «Чиста дошка»

На дошці записані поняття теми.

Учні по черзі надають пояснення до них.

Опрацьовані поняття витираються з дошки.

Тестова перевірка домашнього завдання

(на визначення істинності математичних тверджень)

Так чи ні ( по 1 балу за правильну відповідь)

Математичне твердження

Так

Ні

1

Чи завжди на площинах, які перетинаються, можна взяти по прямій так, щоб вони були перпендикулярні між собою?

2

Чи можна провести площину, перпендикулярну одночасно до двох прямих, які перетинаються?

3

Через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпендикулярну до цієї площини, і при тому тільки одну.

4

Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині.

5

На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи можуть ці прямі бути паралельними?

6

На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи можуть ці прямі перетинатися?

7

На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи можуть ці прямі бути мимобіжними?

Завдання для тематичного оцінювання

Варіант 1

Початковий рівень(3 бали).

Точка М рівновіддалена від сторін ромба ABCD. Які з наведених тверджень правильні?

а) площина АМС перпендикулярна до площини BMD;

б) площина AМC перпендикулярна до площини АВС;

в) площина АВМ перпендикулярна до площини ADC;

г) площина BMD перпендикулярна до площини АВС:

Середній рівень(3 бали).

Встановіть відповідність

Дано куб АВСDА1В1С1D1 . Встановіть відповідність між заданими прямими(1 – 3) і градусними мірами кутів між ними (А – Г).

А

Б

В

Г

1

2

3

  1. АВ і АС А 00

  2. АВ і В1D1 Б 450

  3. ВС1 і D1С В 600

Г900

Достатній рівень (3 бали).

1) Через гіпотенузу AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC проведено площину α під кутом 45° до площини ABC. Обчисліть кути нахилу катетів трикутника ABC до площини α.

2) ABCD – прямокутник. Через вершину A проведено пряму AЕ, перпендикулярну до сторін AB і AD прямокутника. Доведіть, що площини ЕCD і ЕAD перпендикулярні.

Високий рівень (3 бали).

Ортогональна проекція прямокутника, сторони якого дорівнюють 8 см і 6 см, нахилена до площини прямокутника під кутом 60°. Обчисліть площу проекції. Чи може ця проекція бути квадратом?

Завдання для тематичного оцінювання

Варіант2

Початковий рівень(3 бали).

Точка М рівновіддалена від вершин рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС), К середина ВС. Які з наведених тверджень правильні?

а) площина АМК перпендикулярна до площини АВС;

б) площина ВМС перпендикулярна до площини АВМ;

в) площина ВМС перпендикулярна до площини АВС;

г) площина АВМ перпендикулярна до площини АСМ.

Середній рівень(3 бали).

Встановіть відповідність

Дано куб АВСDА1В1С1D1 . Встановіть відповідність між заданими прямими(1 – 3) і градусними мірами кутів між ними (А – Г).

А

Б

В

Г

1

2

3

А 00

  1. АВ і СD Б 450

  2. АС і DС1 В 600

  3. ВD і А1С1 Г900

Достатній рівень(3 бали).

  1. Через сторону АВ рівностороннього трикутника АВС проведено площину α під кутом 60° до площини АВС. Обчисліть кути нахилу двох сторін трикутника АВС до площини α.

  2. ABCD – ромб. Через вершину А проведено пряму АМ, перпендикулярну до сторін АВ і AD ромба. О – точка перетину діагоналей ромба. Доведіть, що площини MBD і MOA перпендикулярні.

Високий рівень(3 бали).

Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого дорівнюють 8 см і 9 см, є чотирикутник, площа якого дорівнює 36 см2. Обчисліть кут між площинами цих чотирикутників. Чи може ця проекція бути квадратом?

Домашнє завдання

Завдання на вибір з прикладних задач.

Готуємось до ЗНО

Завдання з вибором однієї правильної відповіді у форматі ДПА

    1. . Кінці відрізка СD не перетинають площину α, точка М – середина відрізка СD. Відстань від точки С до площини α дорівнює 10 см, а від точки М до площини α дорівнює 6 см. Знайдіть відстань від точки D до площини α.

А) 8 см; Б) 4 см; В) 3 см; Г) 2 см.

    1. . Діагональ грані куба дорівнює 4%/2 см. Знайдіть відстань між паралельними гранями куба.

А)4см; Б)4см; В) 4 см; Г) 8 см.

1.3. Похила утворює з площиною кут 30°. Знайдіть довжину проекції похилої, якщо

довжина похилої дорівнює 6 см.

А) 3 см; Б) 3 см; В) 3 см; Г) 2 см.

Завдання з вибором однієї правильної відповіді у форматі ЗНО

2.1. Кінці відрізка СD завдовжки 17 см належать двом паралельним площинам.

Проекція відрізка на одну з площин дорівнює 15 см. Знайдіть відстань між

паралельними площинами.

А

Б

В

Г

D

12 см

8 см

10 см

14 см

16 см

2.2. Дві площини перетинаються під кутом 45°. Точка А належить одній з площин і

знаходиться на відстані 6 см від лінії перетину площин. Знайдіть відстань від

точки А до другої площини.

А

Б

В

Г

D

2 см

3 см

3 см

6 см

3 см

2.3. Якому із запропонованих значень не може дорівнювати кут між мимобіжними

прямими?

А

Б

В

Г

D

83°

45°

90°

2.4. Укажіть усі правильні твердження.

  1. Через точку А, що не належить площині α, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини α.

  2. Через точку А, що не належить площині α, можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.

  3. Через точку А, що не належить площині α, можна провести лише одну пряму, паралельну площині α.

  4. Через точку А, що не належить площині α, можна провести лише одну площину, паралельну площині α.

А

Б

В

Г

D

II, III, IV

II, III

І, III, IV

І, IV

II

Завдання на встановлення відповідностей у форматі ЗНО

3.1. На малюнку зображено куб АВСDА1В1С1 D1. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їх градусними мірами (А-Д).

Кут Градусна міра

  1. між прямими А1В1 і DD А 0°

    А

    Б

    В

    Г

    1

    2

    3

  2. між прямими А1С1 і С1D Б 30°

  3. між прямою А1 D і площиною АВС В 45°

  4. між площинами АВА1 і С DD1 Г 60о

Д 90о

Завдання з короткою відповіддю у форматі ЗНО

4.1. Точка М віддалена від кожної із сторін квадрата на 13 см і знаходиться на відстані

12 см від площини квадрата. Знайдіть ( у см2) площу квадрата.

4.2. Через вершину квадрата, периметр якого дорівнює 32 см, проведено

перпендикуляр до площини квадрата завдовжки 7 см. Знайдіть (у см) відстань від

кінця цього перпендикуляра, що не належить площині квадрата, до прямої, що

містить діагональ квадрата, яка не має з перпендикуляром спільних точок.

4.3. Два рівнобедрені прямокутні трикутники АВС і АВС1 мають спільну гіпотенузу

завдовжки 4 см. Площини трикутників взаємно перпендикулярні. Знайдіть

( у см) відстань між точками С і С1.

Завдання з короткою відповіддю у форматі ЗНО

5.1. Через вершину А прямокутника АВСD зі сторонами 3 см і 4 см проведено

перпендикуляр АМ, довжина якого 3,2 см. Знайдіть відстань від точки А до

прямої ВD.

5.2. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено площину α.

Відстань від точки С до площини α дорівнює 6 см. Який кут утворює пряма ВС з

площиною α, якщо АВ = 13 см; АС = 5 см?

5.3. У рівнобедреному трикутнику АВС: АВ = АС =5 см; ВС = 6 см; АМ АВС.

Площина МВС утворює з площиною трикутника кут 45о. Знайдіть тангенс кута

нахилу прямої МВ до площини трикутника.

Завдання з повним розв’язанням у форматі ЗНО

6.1. Площа ромба дорівнює 24 см2, а одна з його діагоналей дорівнює 6 см. Точка Р

рівновіддалена від прямих, що містять сторони ромба, і знаходиться на відстані

1 см від його площини. Знайдіть відстань від точки Р до сторін ромба.

6.2. Два рівнобедрені трикутники, площі яких 25 см2 і 40 см2, мають спільну основу

завдовжки 10 см. Кут між площинами трикутників дорівнює 60о. Знайдіть відстань

між вершинами трикутників, які протилежні основам.

Прикладні задачі

1. Чи буде провисати трос довжиною 5 м, якщо один його кінець прикріпити до вершини стовпа висотою 4 м, а інший закріпити на землі на відстані 2 м від його основи?

А

Б

Так

Ні

2. Як намітити лінії, по яких потрібно відпиляти частину балки, щоб площина розрізу була перпендикулярна до будь-якого ребра цієї балки?

Рисунок

Крок розв’язання

Обґрунтування

1) Через точку А на ребрі а проведемо прямі АВ і АС (АВа, АСа)

В площині через точку на прямій можна провести єдину пряму перпендикулярну даній

2) (АВС)а

За ознакою перпендикулярності прямої і площини

3) Всі інші бічні ребра також перпендикулярні (АВС). Тобто розпилювати брус потрібно по прямих АВ і АС.

Якщо одна з паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інші прямі також перпендикулярні до цієї площини

3. Скільки пар попарно перпендикулярних площин містять грані цеглини?

А

Б

В

Г

14

24

16

12

4. Телефонний дріт довжиною 15 м протягнуто від стовпа, на якому він прикріплений на відстані 8 м від поверхні землі, до дому, де його прикріпили на висоті 2 м. Знайдіть відстань між домом і стовпом, якщо дріт не провисає.

5. Три стержні приварені один до одного в їх серединах так, що кожен з них перпендикулярний до двох інших. Чи можна такий «їжак» протягти через люк діаметром 1,8 м, якщо довжина і товщина кожного зі стержнів дорівнює 2 м і 0,1 м відповідно.

6. Кінці балки закріплені на стелі та на стіні. Відстань від кінців балки до лінії перетину стелі зі стіною відповідно дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть довжину балки, якщо її проекція на лінію перетину стелі і стіни дорівнює 120 см.

7. Дах будівлі має форму піраміди, всі бічні грані якої утворюють з основою кут 300. Чому дорівнює площа даху, якщо площа будівлі 60 м2?

8. Кімната має форму куба з ребром 3 м. Знайдіть найкоротшу відстань між точками А і В по стінах, стелі або підлозі для економного прокладання електропроводки.

9. Квадратна стальна платформа площею 9 м2 підвішена на чотирьох тросах. Довжина кожного троса 3 м. Обчисліть кути нахилу тросів до платформи.

10. На каруселі «Ланцюжок» крісла прикріплені по колу діаметром 4 м. Максимальне відхилення крісел від осі при роботі каруселі становить 450 , довжина кожного ланцюга разом з кріслом дорівнює 4 м. Якого діаметра ділянку навколо каруселі потрібно огородити, якщо не можна знаходитись біля працюючої каруселі ближче ніж 2 м?

11. Основою чотирисхилого даху будівлі є прямокутник зі сторонами 10 м і 12 м. Кути нахилу даху рівні і дорівнюють 600 . Скільки черепиці потрібно для покриття даху, якщо на 1 м2 витрачається 20 штук черепиці?

Список використаних джерел

  1. Бабенко С. П. Усi уроки геометрії. 10 клас. Академічний рівень. — Х.: Вид. група «Основа», 2010. — 318, [2] с.

  2. Бевз Г.П., Геометрія: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. : профіл. рівень / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова, В.М. Владіміров. – К. : Генеза, 2010. – 232 с. (книга чотирьох авторів).

  3. Біляніна О. Я., Геометрія 10 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Академічний рівень /О. Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В. О. Швець – Київ «Генеза» 2010. – 256 c/

  4. Бондар Г.М. Кути в просторі. Урок-проект. 10 клас /Г.М. Бондар/ Математика в школах України. – 2007. - №13-14. – С. 55-56.

  5. Бурда М. І., Тарасенкова Н. А.. Геометрія 10 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Академічний рівень/ Видавництво «Зодіак-ЕКО», 2010.

  6. Власенко К.В. Геометрія для майбутніх інженерів: навчально-методичний посібник для учнів старшої школи /К.В. Власенко, І.М. Реутова; за ред. проф. О.І. Скафи; (Донбаська державна машинобудівна академія). – Донецьк: вид-во «Вебер» (Донецька філія), 2009. – 191 с.

  7. Гін О. Прийоми педагогічної техніки /О. Гін – Х.: Веста: Видавництво «Ранок», 2007. – 176 с.

  8. Інтерактивні технології на уроках математики /Упоряд. І.С. Макарова – Х.: Вид. група «Основа», 2007. – 128 с.- (Б-ка журн. «Математика в школах України», Вип. 3 (51)

  9. Корнієнко Т.Л., Геометрія. 10 клас. Академічний рівень: Розробки уроків / Т.Л. Корнієнко, В.І. Фіготіна. – Х.: Видавництво “Ранок”, 2010. – 272 с. (книга одного автора).

  10. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников /В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1968. – 403 с.

  11. Моторіна В.Г. Професійна компетентність вчителя математики профільної школи: Навчальний посібник для студентів природничо-математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ. – Харків: ХНУ імені Г.С. Сковороди, 2012. – 266 с.

  12. Моторіна В.Г. Технології навчання математики в сучасній школі: Монографія /В.Г. Моторіна. – Харків: «Лемінги», 2001. – 262 с.

  13. Нісімчук А.С. Сучасні педагогічні технології: Навчальний посібник /А.С. Нісімчук, О.С. Падалка, О.Т. Шпак. – К.: «Просвіта», Пошуково-видавниче агентство «Книга Пам’яті України», 2000. – 368 с.

  14. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: (Е. Полат, М. Бухаркина, М. Моисеева, А. Петров); Под ред. Е. Полат. – М.: Академия – 2000. – 271 с.

  15. Оварчук О.Л. Компетентності як ключ до оновлення змісту освіти /О.Л. Оварчук/ Стратегія реформування освіти в Україні. Рекомендації з освітньої політики. – К.: «К.І.С.», 2003. – С. 13-43.

  16. Освітні технології: Навч. – метод. Посібник /О.М. Пєхота, А.З. Кіктенко, О.М. Любарська та ін.; за заг. ред. О.М. Пєхоти. – К.: А.С.К., 2001. – 256 с.

  17. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник для студентів мат. спец. пед. навч. закладів /З.І. Слєпкань. – К.: Зодіак – ЕКО, 2000. – 138 с.

  18. Цибульська Л.В., Ващишина Т.П. Педагогічна майстерня вчителя математики – (Електронний ресурс) – Режим доступу: http://roippo.org.ua/upload/iblock/c4a/3tsybul%60s%60ka-l.v._-vashchyshyna-t.p.-pedagogichna-maysternya-vchytelya-matematyky.pdf

Інтернет-ресурси:

  1. https://www.google.com.ua

  2. http://matematuka.inf.ua

  3. http://powerpt.ru

  4. http://i-math.pp.ua/uroki/10_klas

  • 13.08.2019
  • Особливості організації освітнього процесу у 2019/2020 навчальному році
  • Інші методичні матеріали
  • 116
  • 0
  • 3
  • Стежити

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Географічні задачі»
Довгань Андрій Іванович
36 годин
590 грн

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.