Лекція 7. Тема 1.4. Еліпсоїд напруг. Шаровий тензор. Девіатор напруг.

Лекція 7.

Тема 1.4. Еліпсоїд напруг. Шаровий тензор. Девіатор напруг.

Головні осі та головні напруги.

Через всяку точку, яка знаходиться в напруженому стані, завжди можна провести такі три взаємно перпендикулярні площадки, в яких будуть діяти тільки нормальні напруги, а дотичні напруги будуть дорівнювати нулю.

Такі площадки називають головними площадками, перпендикулярні їм осі – головними осями, а діючі на них нормальні напруги – головними нормальними напругами.

На відміну від довільних осей x, y, z головні осі позначають індексами 1,2,3, а діючі паралельно їм головні нормальні напруження σ₁, σ₂, σ₃.

Проекція повної напруги на похилій площадці визначається:

S₁=  σ₁ а₁                             S₂  = σ₂ а₂                                S₃= σ₃ а₃ ;

Повна напруга      S²= σ₁ а₁+  σ₂ а₂+ σ₃ а₃ ;

Нормальна напруга     σ_н=  σ₁ а₁²+  σ₂ а₂²+ σ₃ а₃ ²;

Дотична напруга      τ²= σ₁ а₁²+  σ₂ а₂²+ σ₃ а₃ ²-( σ₁ а₁²+  σ₂ а₂²+ σ₃ а₃ ²)² ;

Тензор напруг в головних напругах записується так:

Т_σ =

Із аналітичної геометрії : а₁= S₁/ σ₁ ; а₂= S₂/ σ₂; а₃= S₃/ σ₃ ;

а₁²  + а₂²  + а₃ ² =1;

S₁/ σ₁ + S₂/ σ₂ + S₂/ σ₂=1

Це рівняння є рівнянням трьохосного еліпсоїда, напів-вісі якого є головними напругами в даній точці, а координати точок поверхні – проекції повної напруги для похилої площадки. Всякий вектор, проведений з початку координат в точку поверхні еліпсоїду називають вектором повної напруги

Цей еліпсоїд називають еліпсоїдом напруг, і він є геометричним проявом тензора напруг.

Якщо усі три головні напруги дорівнюють між собою (по величині і знаку), то еліпсоїд перетворюється в шар. Тензор, який відповідає такому напруженому стану, називається шаровим тензором.

Всі осі в такому випадку будуть рівнозначним тобто головними, а на всіх площадках, проведених через цю точку будуть діяти однакові нормальні напруги, а дотичні напруги – відсутні. Висновок: точка буде знаходитися в стані рівномірного всебічного розтягу або стиснення.

Рисунок 1.Схеми напруг, які відповідають шаровому тензору.

Стан рівномірного всебічного розтягу або стиснення може визвати тільки зміну об’єму тіла і не змінює його форму. Такий напружений стан може визвати лише пружню деформацію тіла.

Рисунок 2.Еліпсоїд напруг.

Висновок: характер формозмін не зміниться, якщо на данний напружений стан накласти всебічний розтяг або стиснення (накласти шаровий тензор).

Тензори можна віднімати та додавати.

Віднімемо шаровий тензор із загального тензору, який описує напружений стан точки. Отримаємо новий тензор – девіатор напруг.

В головних осях девіатор напруг має вигляд:

                               σ₁ - σ_ср      0        0

              D_σ =             0     σ₂- σ_ср     0

                                  0        0      σ₃ - σ_ср   

Особливістю девіатора напруг є  те, що сума його компонент по головній діагоналі дорівнює нулю.

(σ₁ - σ_ср) + (σ₂ - σ_ср ) +  (σ₃ - σ_ср)  = 0

Взагалі напружений стан викликає зміну і об’єму і форми тіла, а напружений стан, який описує шаровий тензор – тільки зміну об’єму. Значить, якщо напружений стан, в якому знаходиться тіло, визначається девіатором, то тіло буде змінювати форму без зміни об’єму навіть при пружньому деформуванні.

Контрольні запитання.

1.Дайте визначення головним нормальним напругам. Як вони позначаються?

2.Як записується тензор напруг в головних напругах?

3.Що представляє собою еліпсоїд напруг?

4.Дайте визначення шаровому тензору.

5.Які схеми напруженого стану відповідають шаровому тензору? Чому?

6.Що таке середня напруга?

7.Що таке девіатор напруг? Яка його головна особливість?

Уважно прочитайте текст лекції. Дайте відповіді на запитання (письмово).