Лекція 6. Тема 1.4.Напруги на координатних площинах. Поняття про тензор напруг. Напруги на похилій площині.

Лекція 6.

Тема 1.4.Напруги на координатних площинах. Поняття про тензор напруг. Напруги на похилій площині.

В напруженому тілі кожна точка знаходиться у взаємодії з іншими точками, які її оточують, і тому на дану точку в любому напрямку будуть діяти внутрішні сили та напруги.

Побудуємо навколо вільно обраної точки А напруженого тіла паралелепіпед (рисунок 1) так, що б його грані були паралельними координатним площинам, а сама точка А лежала в однієї з його вершин. Приймемо ребра цього паралелепіпеду нескінченно малими, необмежено наближеними до точки. Тоді напруги, які діють в гранях, прохідних через точку А, можна прийняти рівними напругам в самій цій точці. Так як за побудовою грані паралелепіпеда паралельні координатним площинам, то їх називають координатними площадками.

Рисунок 1.Напруги на координатних площадках.

В кожній з цих трьох взаємно перпендикулярних координатних площадках будуть діяти напруги, які можна розкласти на три складових, паралельних осям координат: одну нормальну і дві дотичні. Нормальні напруги позначають літерою σ, а дотичні – τ з двома індексами. Перший індекс буде вказувати на ту координатну ось, по напрямку якої діє напруга, а другий індекс – координатну ось, перпендикулярну площадці, в якій діє ця напруга. Наприклад, τ_xy – дотична напруга, яка діє паралельно осі х в площадці перпендикулярній осі у. Оскільки у нормальних напруг обидва індекси співпадають, будемо позначати їх одним індексом, наприклад, σ_х замість σ_хх.

Напруги, діючі на координатних площинах, які проходять через точку А, зображені на рисунку 1.

Приймемо наступне правило знаків. Нормальна напруга буде мати знак +, якщо вона викликає розтягування, і знак - , якщо викликає стиснення.

Знак дотичних напруг будемо визначати в залежності від знаку і напрямку нормальної напруги.

Рисунок 2. Знаки нормальних і дотичних напруг.

Якщо напрямок нормальної напруги, яка діє на дану площадку, співпадає з відповідним її знаку напрямком паралельної їй координатної осі, то знак дотичної напруги на цій площадці встановлюється по тому напрямку паралельної їй осі , з якою співпадає ця дотична напруга (рисунок 2, зверху).

Якщо напрямок нормальної напруги не співпадає з відповідним його знаку напрямком паралельної їй вісі, то дотична напруга вважається зі знаком + в тому випадку, коли її напрямок співпадає з – напрямком паралельної їй вісі (рисунок 2, ).

В трьох координатних площадках будуть діяти дев'ять напруг: три нормальних і шість дотичних. Однак внаслідок закону парності дотичних напруг: τ_ху= τ_ух ;  τ_уz= τ_zy; τ_xz= τ_zx.

В зв’язку з цим напружений стан точки буде характеризуватися шістьма незалежними напругами. Ця залежність записується у вигляді матриці:

Матрицю, яка характеризує напружений стан , називають тензором напруг Т_σ.

Напруги на похилій площині.

Рисунок 3.Напруги на похилій площадці.

Побудуємо площадку, яка похила до осей координат. Проведемо нормаль N до похилої площадці. Тоді положення площадки можна визначити трьома направленими косинусами (косинусами кутів між нормаллю та осями координат). Введемо позначення:

cos α_x = cos (N,x) = α_x

cos α_y = cos (N,y) = α_y

cos α_z = cos (N,z) = α_z

Площа похилої площадки дорівнює F, а площі інших граней тетраєдра F_х ,

F_yF_z (індекс вказує на вісь перпендикулярну грані).

Знайдемо повну напругу S на похилій площадці та її складові : нормальну σ_н та дотичну τ.

Шляхом математичних перетворень отримаємо нормальну напругу σ_н проекцією повної напруги на нормаль:

S²= S²_х+ S²_y+S²_z

σ_н = S_ха_х  + S_yа_y + S_zа_z

σ_н = σ_ха_х² + σ_y а_y²+ σ_z а_z² + 2τ_хуа_х а_у +2τ_уzа_y а_z + 2τ_zx а_x а_z

Дотична напруга на похилій площадці :

τ² = S² - σ_н²

Контрольні питання.

1.Дайте визначення координатним площадкам.

2.Поясніть які напруги діють на координатних площадках.

3.Поясніть постановку індексів у нормальних та дотичних напруг.

4.Дайте визначення правилу знаків.

5.Поясніть закон парності дотичних напруг.

6.Поясніть що таке тензор напруг.

7.Як визначити нормальну напругу на похилій площадці?

8. Як визначити дотичну напругу на похилій площадці?

Уважно прочитайте текст лекції. Дайте відповіді на контрольні запитання (письмово).