Вища математика

Виконати дії : 

Використайте формулу Муавра

Приклад:

Аргументом комплексного числа буде:

Для визначення аргументу користуємось формулами

Приклад. Знайти аргумент комплексного числа

Оскільки то  треба взяти рівним .

Знайти тригонометричну форму числа z = 2i

Вираз називається тригонометричною формою комплексного числа.

Приклад. Подати в тригонометричній формі число

Оскільки то  треба взяти рівним .

Отже, 

Алгебраїчною формою комплексного числа буде:

Показникова форма комплексного числа

Приклад. Знайти алгебраїчну форму комплексного числа 

Оскільки r =2, , то

Виконати дії  

Формула ділення двох комлексних чисел

Приклад 

 Виконати дії:

Формула добутку двох комплексних чисел:

Приклад.

    Кидають дві гральні кості. Чому дорівнює ймовірність того, що сума очок, які випадають на двох костях дорівнює  4?

Приклад. Кидають дві гральні кості. Чому дорівнює ймовірність того, що сума очок, які випадають на двох костях менша  5?

     Нехай А – подія випадання на двох костях очок, сума яких менша 5. Тоді за формулою ймовірності події , де m – кількість елементарних подій сприятливих події А, n – загальна кількість елементарних подій.

        На кожній кості по 6 очок, тобто загальна кількість варіантів буде 6*6=36. Сприятливими комбінаціями (cума <5 очок) є наступні:    1 1,1 2,1 3, 2 1, 2 2, 3 1; всього 6 комбінацій. Тоді за формулою:

   Студенту потрібно за 8 днів скласти 4 екзамени. Скількома способами це можна зробити, якщо відомо, що не можна складати більше одного екзамену в день?

Приклад. Студенту потрібно за 6 днів скласти 3 екзамени. Скількома способами це можна зробити, якщо відомо, що не можна складати більше одного екзамену в день?

   Для складання першого іспиту він може обрати будь-який з шести днів. Для складання другого – вже тільки п’ять, оскільки не можна складати більше одного екзамену в день. Для складання третього іспиту – вже тільки чотири дні. За правилом добутку всього буде 6*5*4=120 способів.

   В урні 2 білих та 8 чорних кульки. З неї  послідовно виймають дві кульки. Яка ймовірність того, що друга кулька буде білою при умові, що перша кулька була теж білою?

Приклад. В урні 5 білих та 7 чорних кульок. З неї  послідовно виймають дві кульки. Яка ймовірність того, що друга кулька буде білою при умові, що перша кулька була чорною?

      Нехай А – подія виймання білої кульки після чорної. Тоді за формулою ймовірності події , де m – кількість елементарних подій сприятливих події А, n – загальна кількість елементарних подій. Загальна кількість елементарних подій 5+6=11 (оскільки чорних кульок стало на одиницю менше). Сприятливих подій 5 (залишилося 5 білих кульок, бо перший раз витягли чорну кульку). Тоді .

  Три гвинтівки стріляють у ціль незалежно одна від одної. Ймовірність влучання у ціль кожної дорівнює 0,9. Знайти ймовірність влучання у ціль двох гвинтівок.

Приклад. Три гвинтівки стріляють у ціль незалежно одна від одної. Ймовірність влучання у ціль кожної дорівнює 0,8. Знайти ймовірність влучання у ціль тільки одної гвинтівки.

     Нехай А – подія влучання в ціль однієї гвинтівки, В – подія невлучання, . С – подія влучання в ціль тільки однієї гвинтівки.

     У  випадку влучання в ціль однієї гвинтівки дві інші мають не влучити. А оскільки маємо три гвинтівки, таких ситуацій може бути три (перша влучила, дві інші не влучили; друга влучила, перша та третя не влучили; третя влучила, дві перші не влучили). Тоді за правилами суми та добутку ймовірностей маємо:

Модуль комплексного  числа    дорівнює

Нехай - комплексне число , тоді його модуль дорівнює

Приклад. Знайти модуль комплексного числа

   Виробник комп’ютерів отримує комплектуючі деталі від трьох постачальників, частки яких становлять 20 %, 45 %, 35 % відповідно. Деталі першого постачальника мають 2 % браку, другого – 1,5 %, третього – 1,7 %. Яка ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде з браком

Теорема  (формула повної ймовірності). Ймовірність події А, що може відбутись разом з однією з гіпотез  дорівнює сумі добутків ймовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А:

Приклад. У магазин надходить продукція із трьох підприємств у кількості 20, 50, 30 виробів відповідно. Ймовірності виготовлення неякісного виробу для кожного підприємства відповідно дорівнюють 0,01; 0,04; 0,03. Навмання вибраний виріб виявився неякісним. Якому підприємству, ймовірніше всього, належить цей виріб?

Розв’язання. Подія А – вибрано неякісний виріб. Гіпотези  – це вибір виробу із продукції відповідного підприємства. Ймовірності цих подій дорівнюють:

.

Використовуючи формулу повної ймовірності знаходимо:

.