ЗНО. Підготовка учнів. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ І ОБЕРНЕНО ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ

Тема 19. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ І ОБЕРНЕНО ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Означення та основні властивості тригонометричних функцій

Графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x подані відповідно на рис. 1—4.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Властивості функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx подано в таблиці.

Таблиця

Означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій

Функція у = arcsin x

Як відомо, функція у = sin х зростає на проміжку [-;] і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення функція набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [-;] має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin а.

Арксинусам числа а називають таке число з проміжку [-;],

синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin .

arcsin  = , бо sin  =  i  ∈ [-;].

Приклад 2. Знайдемо arcsin (-).

arcsin (-) = , бо sin (-) =  i  ∈ [-;].

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х ∈ [-;], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 5).

Рис. 5

Основні властивості функції у = arcsin х:

1. D (у) = [-1;1].

2. Е(у) = [-;].

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-х) = -arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁ > х₂, то arcsin х₁ > arcsin х₂.

5. у  = 0, якщо х = 0.

6. у_max = y(1) =, y_min = y(-1) = -.

Функція у = arccosx

Функція у = cos х спадає на відрізку [0; ] і набуває всіх значень від-1 до 1, тому рівняння cos х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [0; ] має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа а і позначають arccos а.

Арккосинусам числа а називають таке число з проміжку (0; ], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos .

arcсos  = , бо cos  =  i  ∈ [0;].

Приклад 2. Знайдіть arcos (-).

arcсos (-) = , бо cos  =  i  ∈ [0;].

Графік функції у = arccos х одержимо із графіка функції у = cos х, х ∈ [0; ], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 6). Основні властивості функції у = arccos х:

1. D (у) = [-1; 1].

2. Е (у) = [0; ].

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY:

arccos (-х) =  - arccos х.

4. Функція спадна. Якщо х₁ > х₂, то arccos х₁, < arccos х₂.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. у_max = у(-1) = , у_min = у(1) = 0.

Рис. 6

Функція у = arctgх

Функція у = tg х на проміжку (-;) зростає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого а рівняння tgх = a має єдиний корінь із проміжку (-;), який називають арктангенсом числам і позначають arctg а.

Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg = , бо tg  =  i  ∈ (-;).

Приклад 2. arctg(-1) = - , бо tg (-) = -1 i  ∈ (-;).

Графік функції у = arctg х одержимо із графіка функції у = tg х, х ∈(-;), перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 7).

Рис. 7

Основні властивості функції у = arctg х:

1. D (y) = R.

2. Е (у) = (-;).

3. Графік симетричний відносно початку координат; функція непарна: arctg (-х) = -arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х₁ < х₂, то arctg х₁ < arctg х₂.

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0,якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

Функція у = arcctgх

Функція у = ctgх на інтервалі (0; ) спадає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; ) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg а.

Арккотангенсам числа а називають таке число з інтервалу (0; ), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg = , бо ctg  =  i  ∈ [0;].

Приклад 2. arcctg(-) = , бо ctg  =  i  ∈ [0;].

Графік функції у = arcctg х можна одержати із графіка функції у = ctg х у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 8).

Основні властивості функції у = arcctgx:

1. D (y) = R.

2. Е(у) = (0; ).

Рис. 8

3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі ОУ:

arcctg (-х) =  - arcctg x.

4. Функція спадна. Якщо х₁ < х₂, то arcctg х₁ > arcctgx₂.

5. х = 0, якщо у = .

6. у > 0 для всіх х ∈ R.

Зауваження

При знаходженні області визначення треба пам’ятати:

1. Якщо функція має вигляду = tg (f(x)), то слід вважати f(х) ≠  +  n, n∈Z (тангенс чисел + от, n∈Z, не визначений).

Наприклад: якщо y = tg (x - ), то х -  ≠  + n, n∈Z, тобто х ≠  + , n∈Z.

2. Якщо функція має вигляд у = ctg (f (х)), то слід вважати f(х) ≠  n, n∈Z (котангенс чисел  n, n∈Z, не визначений).

Наприклад: якщо у = ctg (2x - ), то 2х -  ≠  + n, n∈Z, тобто х ≠  + , n∈Z.

3. Якщо функція має вигляд у = arcsin (f (х)), то слід вважати -1 ≤ f(х) ≤ 1 (арксинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).

Наприклад: якщо у = arcsin (3х- 1), то -1 ≤ 3х - 1 ≤ 1, тобто 0 ≤ x ≤ .

4. Якщо функція має вигляду = агссоs(f(x)), то слід вважати -1 < f(х) < 1 (арккосинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).

Наприклад: якщо у = arccos (2х + 1), то -1 ≤ 2х + 1 ≤ 1, тобто -1 ≤ х ≤ 0.

Виконайте тест 19

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.

1. Знайдіть область визначення функції у = sin 3x + tg2x.

2. Знайдіть нулі функції y = 5cos(-).

3. Знайдіть область значень функції у = 10 - 9sin² 3x.

4. Знайдіть область визначення функції у = arccos(1 - х²).

5. Знайдіть найменший додатний період функції у = 2cos (2x -  ).

6. Знайдіть найменший додатний період функції у = -3 tg 5х.

7. Знайдіть найбільше значення функції y = sin²x - 2cos²x.

8. Оберіть найменше значення серед чисел: sin; sin; sin; sin; sin.

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їхніми властивостями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Скільки цілих чисел входять в область визначення функції у = arccos(х - 1)?

11. Обчисліть cos(arcsin ).

12. Знайдіть найбільше значення функції у = (1 + sinх)².

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.