Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця
Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік
АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ II. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАСУ
Тема 19. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ І ОБЕРНЕНО ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Означення та основні властивості тригонометричних функцій
Графіки функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x подані відповідно на рис. 1—4.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Властивості функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctgx подано в таблиці.
Таблиця
№ з/п | Властивості | Функції | |||
y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x | ||
1 | D (y) | R | R | x ≠ | x ≠ |
2 | E (y) | [-1;1] | [-1;1] | R | R |
3 | Парність | непарна sin(-x) = -sinx | парна cos (-x) = cosx | непарна tg(-x) = -tgx | непарна ctg(-x) = -ctgx |
4 | Періодичність, період | 2 | 2 | | |
5 | Нулі функції |
|
|
|
|
6 | Якщо х = 0 | sinx = 0 | cosx = 1 | tgx = 0 | не визначено |
7 | Проміжки, на яких у > 0 | (2 | (- | ( | ( |
8 | Проміжки, на яких у < 0 | (- | ( | (- | (- |
9 | Проміжки зростання |
| [- | (- | немає |
10 | Проміжки спадання |
| [2 | немає | ( |
11 | Найменші значення | y = -1, якщо х = - | y = -1, якщо х = | немає | немає |
12 | Найбільші значення | y = 1, якщо х = | y = 1, якщо х = 2 | немає | немає |
Означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій
Функція у = arcsin x
Як відомо, функція у = sin х зростає на проміжку [-;
] і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення функція набуває в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [-
;
] має єдиний корінь, який називають арксинусом числа а і позначають arcsin а.
Арксинусам числа а називають таке число з проміжку [-;
],
синус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдемо arcsin .
arcsin =
, бо sin
=
i
∈ [-
;
].
Приклад 2. Знайдемо arcsin (-).
arcsin (-) =
, бо sin (-
) =
i
∈ [-
;
].
Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х ∈ [-;
], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 5).
Рис. 5
Основні властивості функції у = arcsin х:
1. D (у) = [-1;1].
2. Е(у) = [-;
].
3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна): arcsin (-х) = -arcsin х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2, то arcsin х1 > arcsin х2.
5. у = 0, якщо х = 0.
6. уmax = y(1) =, ymin = y(-1) = -
.
Функція у = arccosx
Функція у = cos х спадає на відрізку [0; ] і набуває всіх значень від-1 до 1, тому рівняння cos х = а, |а| ≤ 1, на проміжку [0;
] має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа а і позначають arccos а.
Арккосинусам числа а називають таке число з проміжку (0; ], косинус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдіть arccos .
arcсos =
, бо cos
=
i
∈ [0;
].
Приклад 2. Знайдіть arcos (-).
arcсos (-) =
, бо cos
=
i
∈ [0;
].
Графік функції у = arccos х одержимо із графіка функції у = cos х, х ∈ [0; ], перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 6). Основні властивості функції у = arccos х:
1. D (у) = [-1; 1].
2. Е (у) = [0; ].
3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY:
arccos (-х) = - arccos х.
4. Функція спадна. Якщо х1 > х2, то arccos х1, < arccos х2.
5. у = 0, якщо х = 1.
6. уmax = у(-1) = , уmin = у(1) = 0.
Рис. 6
Функція у = arctgх
Функція у = tg х на проміжку (-;
) зростає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого а рівняння tgх = a має єдиний корінь із проміжку (-
;
), який називають арктангенсом числам і позначають arctg а.
Арктангенсом числа а називають таке число з проміжку (-;
), тангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arctg =
, бо tg
=
i
∈ (-
;
).
Приклад 2. arctg(-1) = - , бо tg (-
) = -1 i
∈ (-
;
).
Графік функції у = arctg х одержимо із графіка функції у = tg х, х ∈(-;
), перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 7).
Рис. 7
Основні властивості функції у = arctg х:
1. D (y) = R.
2. Е (у) = (-;
).
3. Графік симетричний відносно початку координат; функція непарна: arctg (-х) = -arctg х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1 < х2, то arctg х1 < arctg х2.
5. у = 0, якщо х = 0.
6. у > 0,якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.
Функція у = arcctgх
Функція у = ctgх на інтервалі (0; ) спадає і набуває всіх значень із R. тому для будь-якого числа а в інтервалі (0;
) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg а.
Арккотангенсам числа а називають таке число з інтервалу (0; ), котангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arcctg =
, бо ctg
=
i
∈ [0;
].
Приклад 2. arcctg(-) =
, бо ctg
=
i
∈ [0;
].
Графік функції у = arcctg х можна одержати із графіка функції у = ctg х у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 8).
Основні властивості функції у = arcctgx:
1. D (y) = R.
2. Е(у) = (0; ).
Рис. 8
3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі ОУ:
arcctg (-х) = - arcctg x.
4. Функція спадна. Якщо х1 < х2, то arcctg х1 > arcctgx2.
5. х = 0, якщо у = .
6. у > 0 для всіх х ∈ R.
Зауваження
При знаходженні області визначення треба пам’ятати:
1. Якщо функція має вигляду = tg (f(x)), то слід вважати f(х) ≠ +
n, n∈Z (тангенс чисел + от, n∈Z, не визначений).
Наприклад: якщо y = tg (x - ), то х -
≠
+
n, n∈Z, тобто х ≠
+
, n∈Z.
2. Якщо функція має вигляд у = ctg (f (х)), то слід вважати f(х) ≠ n, n∈Z (котангенс чисел
n, n∈Z, не визначений).
Наприклад: якщо у = ctg (2x - ), то 2х -
≠
+
n, n∈Z, тобто х ≠
+
, n∈Z.
3. Якщо функція має вигляд у = arcsin (f (х)), то слід вважати -1 ≤ f(х) ≤ 1 (арксинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).
Наприклад: якщо у = arcsin (3х- 1), то -1 ≤ 3х - 1 ≤ 1, тобто 0 ≤ x ≤ .
4. Якщо функція має вигляду = агссоs(f(x)), то слід вважати -1 < f(х) < 1 (арккосинус визначений лише для чисел, модуль яких не перевищує 1).
Наприклад: якщо у = arccos (2х + 1), то -1 ≤ 2х + 1 ≤ 1, тобто -1 ≤ х ≤ 0.
Виконайте тест 19
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку A.
1. Знайдіть область визначення функції у = sin 3x + tg2x.
А | Б | В | Г | Д |
х ≠ | х ≠ | х ≠ | х ≠ | х ≠ |
2. Знайдіть нулі функції y = 5cos(-).
А | Б | В | Г | Д |
- | - | | |
|
3. Знайдіть область значень функції у = 10 - 9sin2 3x.
А | Б | В | Г | Д |
[1; 2] | [1; 1] | [1; 10] | (1; 2) | (1; 10) |
4. Знайдіть область визначення функції у = arccos(1 - х2).
А | Б | В | Г | Д |
(-∞;- | [ | (-∞;- | (- | [- |
5. Знайдіть найменший додатний період функції у = 2cos (2x - ).
А | Б | В | Г | Д |
| | | | 4 |
6. Знайдіть найменший додатний період функції у = -3 tg 5х.
А | Б | В | Г | Д |
| | | | |
7. Знайдіть найбільше значення функції y = sin2x - 2cos2x.
А | Б | В | Г | Д |
-1 | -2 | 0 | 1 | 2 |
8. Оберіть найменше значення серед чисел: sin; sin
; sin
; sin
; sin
.
А | Б | В | Г | Д |
sin | sin | sin | sin | sin |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1—4), та їхніми властивостями (А—Д).
1 | у = ctg х | А | Найменше значення функції дорівнює - 1 при х = - |
2 | у = sin х | Б | Функція найменшого значення не має |
3 | у = cos x | В | Функція є спадною на всій області визначення |
4 | у = cos 3х | Г | Функція зростає на проміжках [- |
|
| Д | Найменший додатний період функції дорівнює |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Скільки цілих чисел входять в область визначення функції у = arccos(х - 1)?
11. Обчисліть cos(arcsin ).
12. Знайдіть найбільше значення функції у = (1 + sinх)2.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»