Взяти участь
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень 2.0».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

ЗНО. Підготовка учнів. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Курс:«Google сервіси в роботі вчителя»
Левченко Ірина Михайлівна
16 годин
700 грн
190 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №OP577966
За публікацію цієї методичної розробки Каламбет Юлія Олегівна отримав(ла) свідоцтво №OP577966
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ

Тема 26. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку

Відомо, що функцію f(х) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать проміжку, з умови х2 > xвипливає, що f2) > f1).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції (див. рис. 1), утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична є паралельною осі ОХ).

Виходячи з геометричного змісту похідної, tg а = f'(x0). Це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(х) виконується умова

f'(x) ≥ 0.

Рис. 1

Функцію f(х) називають спадною на проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, з умови х2 > х1 випливає, що f2) < f1). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 2) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції f(х), яка спадає на деякому проміжку, виконується умова f'(х) ≤0.

На рис. 3 видно також, що одна й та сама функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

Рис. 2

Отже, наочне уявлення дозволяє- сформулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(х) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку невід’ємна.

Якщо функція у = f(х) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку недодатна.

Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження. які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(х) додатні на деякому проміжку, тобто f'(х) > 0. Оскільки f'(x) = tg а, то з умови tg а > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 4).

Якщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg а = f'(х) до графіка функції у = f(х) від’ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на даному проміжку «опускається», тобто функція f(х) спадає (рис. 5).

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f'(х) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називають ознаками зростання (спадання) функції на проміжку.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

Поняття екстремуму функції

При дослідженні поведінки функції в деякій точці зручно користуватися поняттям околу. Окопам точки а називають будь-який інтервал, що містить цю точку.

Наприклад: інтервали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) — околи точки 3.

Розглянемо графік функції, зображений на рис. 6. Як видно з рисунка, існує такий окіл точки х = а, що найбільше значення функція у = f(x) у цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно точку х = b називають точкою мінімуму функції у = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше порівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.

Означення. Точка а з області визначення функції f(х) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки а, що для всіх х ≠ а із цього околу виконується нерівність f(х) < f(a) (рис. 7).

Означення. Точка b із області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх х ≠ b із цього околу виконується нерівність f(x) > f(b) (рис. 8).

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках — екстремумами функції (максиму i мінімум функції).

Точки максимуму позначають хmax, а точки мінімуму — хmin. Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначають відповідно уmax і уmin.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Необхідна умови екстремуму

Розглянемо функцію у = f(х), яка визначена в деякому околі точки хі має похідну в цій точці.

Якщо х0 — точка екстремуму диференційованої функції у = f(х), то f'(x) = 0.

Це твердження називають теоремою Ферма на честь французького математика П’єра Ферма (1601—1665).

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f'(x0) дорівнює нулю (рис. 9).

Рис. 9

Наприклад: функція f(х) = х2 - 2 має в точці х0 = 0 мінімум (рис. 10), її похідна f'(0) = 0.

Функція f(х) = 1 - х2 (рис. 11) має максимум у точці , x0 = 0, f'(х) = -2х і f'(0) = 0.

Слід зазначити, що якщо f'(х0)= 0, то х0 необов’язково є точкою екстремума.

Наприклад, якщо f(х) =х3, то f'(х) = Зх2 і f'(0) = 0. Проте точка х = 0 не є точкою екстремуму, оскільки функція f(х) =х3 зростає на всій числовій осі (рис. 12).

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рівняння f'(х) = 0, але не завжди корінь рівняння f'(х) = 0 є точкою екстремуму.

Внутрішні точки області визначення функції y = f(х), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка х0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.

Сформулюємо достатні умови для того, щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч—від’ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак із «+» на «-», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 13).

Дійсно, у цьому разі ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точкою максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від’ємна, а праворуч —додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак із «-» на «+», то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму (рис. 14).

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знака, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від’ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Найбільше і найменше значений функції на проміжку

Розглянемо рис. 15 і 16, на яких зображено графіки функцій у = f (х) і у = (х), заданих на відрізку [а; b].

Рис. 15

Рис.16

Функція у = f(х) зростає, а функція у = g (x) спадає. На відрізку [а; b] найменше значення функції у = f(x) дорівнює f (а), а найменше значення функції g(x) дорівнює g (b). Відповідно найбільші значення цих функцій наданому відрізку дорівнюють f(b) тa g (а). Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на деякому відрізку, то найбільшого і найменшого значень функція набуває на кінцях цього відрізка.

Розглянемо рис. 17, на якому зображено графіки трьох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і найменше значення функцій неперервних і диференційованих на проміжку [а; b] досягаються цими функціями, або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

Отже, неперервна і диференційована функція па заданому відрізку набуває найбільшого і найменшого значень у стаціонарних точках або на кінцях відрізка

Рис. 17

Виконайте тест 26

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть проміжки спадання функції f(х) = х3 - 3х2.

А

Б

В

Г

Д

(-∞; 0)

(2;- ∞)

(-∞; +∞)

(1; +∞)

(0; 2)

2. Знайдіть максимум функції, графік якої зображено на рисунку.

А

Б

В

Г

Д

-1

-2

1

0

2

3. Знайдіть найбільше значення функції f(x)=e на відрізку [-1; 2].

А

Б

В

Г

Д

2

2 + 

1

е - 1

0

4. Знайдіть найбільше значення функції а(x) =  на відрізку [-2; 0].

А

Б

В

Г

Д

1

2

3

5. Яка з поданих функцій є спадною на своїй області визначення?

А

Б

В

Г

Д

у = хех

y =  

у = хе

у = ех

у =  

6. Яка з поданих функцій має дві точки максимуму?

А

Б

В

Г

Д

у = хе

у = х

у = х2

у = ех

у = 

7. Укажіть проміжки спадання функції y = x3 - .

А

Б

В

Г

Д

(- 1;-0,5]

(-0,25; 0,25)

[-0,5; 0]

[-0,75;-0,25]

[0; 0,5]

8. Знайдіть проміжки зростання функції у = х2 - 6х + 9.

А

Б

В

Г

Д

(- 3; +∞)

(-∞; - 3)

(-3; 3)

(3; +∞)

(-∞; 3)

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Користуючись графіком функції, установіть відповідність між властивостями функції (1—4) та їх числовими характеристиками (А—Д).

1

Точка мінімуму

А

0

2

Локальний максимум

Б

1

3

Найменше значення функції на проміжку [-3; 3]

В

-2

-1

Кількість точок екстремуму

Г

- 1

 

 

Д

2

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіть найменше значення функції f(x) = х- 12х на відрізку [- 1; 3].

11. Знайдіть найбільше значення функції у =  на проміжку [- 5; - 2].

12. У коло радіуса 5 вписали прямокутник найбільшої площі. Знайдіть його площу.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ Розділ III.ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАСУ Тема 26. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
  • Додано
    13.11.2018
  • Розділ
    Зовнішнє незалежне оцінювання
  • Переглядів
    31
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    OP577966
  • Вподобань
    0
Курс:«Створення та ведення власного блогу на платформі Blogger»
Левченко Ірина Михайлівна
36 годин
1400 грн
290 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №OP577966
За публікацію цієї методичної розробки Каламбет Юлія Олегівна отримав(ла) свідоцтво №OP577966
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Зима – 2018-2019»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти