Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік
ГЕОМЕТРІЯ
Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ
Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ
Тема 11. ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ТРИКУТНИКИ
Властивості серединного перпендикуляра до відрізка Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від двох даних точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, що з’єднує ці дві точки (серединний перпендикуляр — це пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього) (рис. 1).
Якщо АС= СВ і l — серединний перпендикуляр до відрізка AB, то С належить l, і навпаки, якщо С належить серединному перпендикуляру l, то СА = СВ.
Рис. 1
Коло, описане навколо трикутника
Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини (рис. 2). Трикутник при цьому має назву вписаного.
Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (рис. 3).
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому тільки одне. Радіус R описаного кола можна обчислити за формулами:
R = або R =
,
Рис. 2
Рис. 3
де а, b, с — довжини сторін трикутника, р = — півпериметр трикутника, S — його площа.
Радіус R кола, описаного навколо рівносторонього трикутника, можна обчислити за формулою:
R = =
,
де а — довжина сторони трикутника
Радіус R кола описаного навколо прямокутного трикутника, можна обчислити за формулою:
R = =
,
де а, b — довжини катетів прямокутного трикутника, с — довжина його гіпотенузи.
Рис. 4
Рис. 5
Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, міститься всередині трикутника (рис. 4); описаного навколо тупокутного трикутника — поза трикутником (рис. 5); описаного навколо прямокутного трикутника — на середині гіпотенузи (рис. 6).
Рис. 6
Властивості бісектриси кута
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін даного кута є його бісектриса.
Якщо точка М (рис. 7) рівновіддалена від сторін кута АОВ (МА = MB, МА ⊥ ОА, MB ⊥ ОВ), то точка М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, і навпаки, якщо точка М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, то вона рівновіддалена від його сторін (тобто МА = MB, МА ⊥ ОА, MB ⊥ ОВ).
Рис. 7
Коло, вписане в трикутник
Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін (рис. 8). Трикутник при цьому називається описаним навколо кола.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 9). У будь-який трикутник можна вписати коло, причому тільки одне.
Радіус r вписаного в трикутник кола можна обчислити за формулами:
r = або r =
де а, b, с — довжини сторін трикутника, S — його площа, р — півпериметр,
p = .
Рис. 8
Радіус r кола вписаного в рівносторонній трикутник, можна обчислити за формулою:
r = =
=
,
де а — довжина сторони трикутника, a R — радіус кола, описаного навколо трикутника.
Рис. 9
Радіус r кола, вписаного в прямокутний трикутник, можна обчислити за формулою:
r = .
де а, b — довжини катетів прямокутного трикутника, с — довжина його гіпотенузи.
Виконайте тест
Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.
1. Якщо коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до його сторін у точках A1, В1, С1, то
А | Б | В | Г | Д |
2 АС1 = АС + ВС - АВ | 2АС1 = АВ + ВС - АС | 2АС = АВ + АС - ВС | 2АС1 = АВ - ВС | 2АС1 =АВ + АС + ВС |
2. Якщо коло дотикається до гіпотенузи і продовження катетів прямокутного трикутника (див. рисунок), то його діаметр дорівнює
А | Б | В | Г | Д |
гіпотенузі | сумі катетів | півпериметру трикутника | Периметру трикутника | різниці гіпотенузи і меншого катета |
3. Знайдіть радіус кола (у см2), описаного навколо рівностороннього трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 2 см.
А | Б | В | Г | Д |
1 см |
| 2 см | 3 см | 4 см |
4. Знайдіть радіус кола (у см2), описаного навколо прямокутного рівнобедреного трикутника з гіпотенузою 10 см.
А | Б | В | Г | Д |
1 см | 2 см | 3 см | 4 см | 5 см |
5. Знайдіть діаметр кола (у см2), описаного навколо трикутника зі сторонами 8 см, 15 см, 17 см.
А | Б | В | Г | Д |
8 см | 10 см | 15 см | 17 см | 19 см |
6. Знайдіть діаметр кола (у см), вписаного в трикутник, сторони якого дорівнюють 15 см, 13 см, 4 см.
А | В | В | Г | Д |
2 см | 3 см | 4 см | 6 см | 8 см |
7. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в трикутник.
А | Б | В | Г | Д |
1 см | 2 см | 3 см | 4 см | 5 см |
8. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а висота, проведена до основи, дорівнює 4 см. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо трикутника (у см).
А | Б | В | Г | Д |
7 см | 8 см | 9 см | 10 см | 12 см |
У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).
9. У кожному реченні (1—4) доберіть закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження щодо властивостей трикутника.
1 | Якщо в трикутнику центр описаного кола збігаєтеся з центром уписаного кола, то такий трикутник | А | рівнобедрений, але не рівносторонній і не тупокутний |
2 | Якщо в трикутнику одна із медіан є радіусом описаного кола, то такий трикутник | Б | рівнобедрений, тупокутний |
3 | Якщо центр уписаного кола лежить на одній із медіан, а центр описаного кола лежить на продовженні цієї медіани, то такий трикутник | В | довільний тупокутний |
4 | Якщо в трикутнику центри описаного і вписаного кіл лежать на одній із медіан і не збігаються, то такий трикутник | Г | рівносторонній |
|
| Д | прямокутний |
Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.
10. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в цей трикутник.
11. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 15 см. Знайдіть радіус кола (у см), описаного навколо цього трикутника.
12. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться як 5 : 4, а другий катет дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в цей трикутник.
Бланк відповідей А
У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:
У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.
Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу