ЗНО. Геометрія. Підготовка. ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ТРИКУТНИКИ

Математика - Ґрунтовна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО) за 100 днів - 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 11. ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ ТРИКУТНИКИ

Властивості серединного перпендикуляра до відрізка Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від двох даних точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, що з’єднує ці дві точки (серединний перпендикуляр — це пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього) (рис. 1).

Якщо АС= СВ і l — серединний перпендикуляр до відрізка AB, то С належить l, і навпаки, якщо С належить серединному перпендикуляру l, то СА = СВ.

Рис. 1

Коло, описане навколо трикутника

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини (рис. 2). Трикутник при цьому має назву вписаного.

Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (рис. 3).

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому тільки одне. Радіус R описаного кола можна обчислити за формулами:

R =  або R = ,

Рис. 2

Рис. 3

де а, b, с — довжини сторін трикутника, р =  — півпериметр трикутника, S — його площа.

Радіус R кола, описаного навколо рівносторонього трикутника, можна обчислити за формулою:

R =  = ,

де а — довжина сторони трикутника

Радіус R кола описаного навколо прямокутного трикутника, можна обчислити за формулою:

R =  = ,

де а, b — довжини катетів прямокутного трикутника, с — довжина його гіпотенузи.

Рис. 4

Рис. 5

Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, міститься всередині трикутника (рис. 4); описаного навколо тупокутного трикутника — поза трикутником (рис. 5); описаного навколо прямокутного трикутника — на середині гіпотенузи (рис. 6).

Рис. 6

Властивості бісектриси кута

Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін даного кута є його бісектриса.

Якщо точка М (рис. 7) рівновіддалена від сторін кута АОВ (МА = MB, МА ⊥ ОА, MB ⊥ ОВ), то точка М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, і навпаки, якщо точка М лежить на бісектрисі ОС кута АОВ, то вона рівновіддалена від його сторін (тобто МА = MB, МА ⊥ ОА, MB ⊥ ОВ).

Рис. 7

Коло, вписане в трикутник

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін (рис. 8). Трикутник при цьому називається описаним навколо кола.

Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 9). У будь-який трикутник можна вписати коло, причому тільки одне.

Радіус r вписаного в трикутник кола можна обчислити за формулами:

r =  або r = 

де а, b, с — довжини сторін трикутника, S — його площа, р — півпериметр,

p = .

Рис. 8

Радіус r кола вписаного в рівносторонній трикутник, можна обчислити за формулою:

r =  =  = ,

де а — довжина сторони трикутника, a R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Рис. 9

Радіус r кола, вписаного в прямокутний трикутник, можна обчислити за формулою:

r = .

де а, b — довжини катетів прямокутного трикутника, с — довжина його гіпотенузи.

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Якщо коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до його сторін у точках A₁, В₁, С₁, то

2. Якщо коло дотикається до гіпотенузи і продовження катетів прямокутного трикутника (див. рисунок), то його діаметр дорівнює

3. Знайдіть радіус кола (у см²), описаного навколо рівностороннього трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 2 см.

4. Знайдіть радіус кола (у см²), описаного навколо прямокутного рівнобедреного трикутника з гіпотенузою 10 см.

5. Знайдіть діаметр кола (у см²), описаного навколо трикутника зі сторонами 8 см, 15 см, 17 см.

6. Знайдіть діаметр кола (у см), вписаного в трикутник, сторони якого дорівнюють 15 см, 13 см, 4 см.

7. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в трикутник.

8. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а висота, проведена до основи, дорівнює 4 см. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо трикутника (у см).

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. У кожному реченні (1—4) доберіть закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження щодо властивостей трикутника.

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 12  см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в цей трикутник.

11. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 15  см. Знайдіть радіус кола (у см), описаного навколо цього трикутника.

12. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться як 5 : 4, а другий катет дорівнює 12 см. Знайдіть радіус кола (у см), вписаного в цей трикутник.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.