і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Сплайн та інтерполяція

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Використання однієї інтерполяційної формули для великого числа вузлів, як у випадку інтерполяційних формул Ньютона чи Лагранжа являється недоцільним. Такий інтерполяційний многочлен сильно проявляє свої коливальні властивості, і його значення між вузлами можуть сильно відрізнятися від значень інтерпольованої функції. Однією з можливостей обійти такий недолік є застосування сплайн-інтерполяції. Ідея сплайн-інтерполяції полягає в побудові поліномів між парами сусідніх вузлів інтерполяції, причому для кожної пари вузлів будується свій поліном. Найпоширеніший у практиці є кубічний сплайн, для побудови якого необхідно побудувати n многочленів третьої степені:

Для визначення невідомих многочлена (1) необхідно 4n рівняннь. Частина з них, а саме 2n, може бути отримана з умови проходження сплайна через вузли інтерполяції :

де . Науступні (2n-2) рівняння знайдемо з умови неперервності перших і других похідних у вузлах інтерполяції, тобто з умови гладкості кривої в усіх точках. Для цього знайдемо першу і другу похідну тричлена (1):

після чого прирівняємо отримані похідні в точці , обчисленні через лівий і правий інтервал від  ():

Замінивши у формулах (4), (5)  з урахуванням , отримаємо:

На даному етапі ми маємо 4n невідомих і (4n-2) рівняння. Тобто, необхідно знайти ще два рівняння. Їх отримаємо прирівнявши до нуля другі похідні в першому і останньому вузлах інтерполяції: . В результаті будемо мати:

Таким чином ми отримали систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка складається з рівнянь (2), (3), (6) — (9) і з допомогою якої легко можна знайти невідомі коефіцієнти . Для цього приведемо її до більш зручного вигляду. З умови (2) знаходимо всі коефіцієнти . Далі, з (7) — (9) отримуємо:

Підставляючи (2), (8) і (9) у формулу (3), отримаємо розрахункові формули для обчислення коефіцієнтів :

Підставимо тепер формули (10), (11) у формулу (7), і таким чином виключимо з неї невідомі  та . В рузультаті отримуємо систему рівнянь з трьохдіагональною матрицею у якій невідомими являються тільки коефіцієнти :

Розв'язавши її методом прогонки, за  знайденими коефіцієнтами  знаходимо  і .

Тобто, для того, щоб знайти наближене значення таблично заданої функції у вузлах відмінних від заданих, використовуючи для цього кубічну сплайн-інтерполяцію, необхідно в першу чергу знайти коефіцієнти , в наступній послідовності: спочатку з формули (2) знаходимо коефіцієнти ; далі, розв'язавши систему (12) знаходимо  та  знаходимо з допомогою формул (10) та (11) відповідно. Наступним кроком є визначення інтервалу в який потрапляє аргумент після чого, в якості наближеного значення в цій точці береться значення: .

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
У цьому документі йде мова про використання сплайів при інтерполіції.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Стратегії профілактики та вчасного реагування на прояви суїцидальної поведінки неповнолітніх»
Мельничук Вікторія Олексіївна
36 години
590 грн
295 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти