Сплайн та інтерполяція

Опис документу:
У цьому документі йде мова про використання сплайів при інтерполіції.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Використання однієї інтерполяційної формули для великого числа вузлів, як у випадку інтерполяційних формул Ньютона чи Лагранжа являється недоцільним. Такий інтерполяційний многочлен сильно проявляє свої коливальні властивості, і його значення між вузлами можуть сильно відрізнятися від значень інтерпольованої функції. Однією з можливостей обійти такий недолік є застосування сплайн-інтерполяції. Ідея сплайн-інтерполяції полягає в побудові поліномів між парами сусідніх вузлів інтерполяції, причому для кожної пари вузлів будується свій поліном. Найпоширеніший у практиці є кубічний сплайн, для побудови якого необхідно побудувати n многочленів третьої степені:

Для визначення невідомих многочлена (1) необхідно 4n рівняннь. Частина з них, а саме 2n, може бути отримана з умови проходження сплайна через вузли інтерполяції :

де . Науступні (2n-2) рівняння знайдемо з умови неперервності перших і других похідних у вузлах інтерполяції, тобто з умови гладкості кривої в усіх точках. Для цього знайдемо першу і другу похідну тричлена (1):

після чого прирівняємо отримані похідні в точці , обчисленні через лівий і правий інтервал від  ():

Замінивши у формулах (4), (5)  з урахуванням , отримаємо:

На даному етапі ми маємо 4n невідомих і (4n-2) рівняння. Тобто, необхідно знайти ще два рівняння. Їх отримаємо прирівнявши до нуля другі похідні в першому і останньому вузлах інтерполяції: . В результаті будемо мати:

Таким чином ми отримали систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка складається з рівнянь (2), (3), (6) — (9) і з допомогою якої легко можна знайти невідомі коефіцієнти . Для цього приведемо її до більш зручного вигляду. З умови (2) знаходимо всі коефіцієнти . Далі, з (7) — (9) отримуємо:

Підставляючи (2), (8) і (9) у формулу (3), отримаємо розрахункові формули для обчислення коефіцієнтів :

Підставимо тепер формули (10), (11) у формулу (7), і таким чином виключимо з неї невідомі  та . В рузультаті отримуємо систему рівнянь з трьохдіагональною матрицею у якій невідомими являються тільки коефіцієнти :

Розв'язавши її методом прогонки, за  знайденими коефіцієнтами  знаходимо  і .

Тобто, для того, щоб знайти наближене значення таблично заданої функції у вузлах відмінних від заданих, використовуючи для цього кубічну сплайн-інтерполяцію, необхідно в першу чергу знайти коефіцієнти , в наступній послідовності: спочатку з формули (2) знаходимо коефіцієнти ; далі, розв'язавши систему (12) знаходимо  та  знаходимо з допомогою формул (10) та (11) відповідно. Наступним кроком є визначення інтервалу в який потрапляє аргумент після чого, в якості наближеного значення в цій точці береться значення: .

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
7
дн.
2
0
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!