Інтерполяція сплайнами

Опис документу:
У цьому документі йде мова про інтерполяцію сплайнами, а також квадратичний та кубічний сплайн.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Інтерполяція сплайнами. Квадратичний, кубічний сплайн

Одним із способів інтерполяції на всьому відрізку є інтерполяція за допомогою сплайн-функцій. 
Сплайн-функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, що визначена на відрізку і має на цьому відрізку деяке число безперервних похідних.

Ідея сплайн-інтерполяції полягає в побудові поліномів між парами сусідніх вузлів інтерполяції, причому для кожної пари вузлів будується свій поліном. Коли відрізок [a;b] досить великий, то не можна підвищувати точність інтерполяції за рахунок збільшення порядку інтерполяційного полінома. Це пов’язано з тим, що у полінома n-го порядку може бути n-1 точка екстремуму. При n→∞ графік полінома починає сильно коливатись і  не наближається до нуля. 

Розглянемо кусочно-квадратичну функцію.

Нехай f(x) задана таблично на відрізку [a;b], але n=2m (парне) a≤x0<x1<…<xn≤b</x</x.

Кусочно-квадратичною функцією (квадратичним сплайном) називається функція:

.

Для пошуку невідомих коефіцієнтів ak,bk,ck, , формується система рівнянь на основі критерію інтерполяції φ(xi)=yi=f(xi), . Ця система складається з к систем:

.

( Наприклад, при k=1:

Графічно ця функція має вигляд (рис. 6.3):

Рисунок 6.3 – Графік кусочно-квадратичної функції ))

 

Кусочно-квадратична функція всередині кожного інтервалу (xi-2,xi) є безперервною та диференційована два рази, а в точках xi безперервна, але не диференційована. Очевидно, що кусочно-квадратична функція є інтерполяційним сплайном порядку 2, дефекту 2.

Найпоширеніший у практиці є кубічний сплайн, для побудови якого необхідно побудувати n многочленів третьої степені:

Можна показати (вживаючи теорію згину брусу при малих деформаціях), що сплайн – це група сполучених кубічних багаточленів, в місцях сполучення яких перша та друга похідні безперервні.

Для їх побудови необхідно задати коефіцієнти, які однозначно визначають поліном у проміжку між двома точками.

Наведемо математичний опис кубічних сплайнів:

Нехай на відрізку  дійсної осі  задана сітка
 , в вузлах якої визначені значення  функції . Потрібно побудувати на відрізку  неперервну функцію – сплайн , яка задовольняє такі вимоги:

1) На кожному відрізку  сплайн  є багаточленом  третього степеня:

 (6.5)

2) У вузлах  сплайн  приймає задані значення , тобто

                     (6.6)

Умови (6.6) потрібні для проходження сплайнів через вузли заданої сітки . Попередні дві умови утворюють  рівнянь.

3) У внутрішніх вузлах  сплайн має неперервну першу і другу похідну, тобто:

В точках спряження сплайнів, їх перші та другі похідні повинні бути рівними.
Для знаходження сплайна потрібно знайти коефіцієнти
 , , ,  багаточленів , , тобто  невідомих, які задовольняють  рівнянь.

Для отримання розв’язку системи потрібно два додаткових рівняння.
Їх отримують, визначивши значення кривизни графіка сплайна на кінцях:

Якщо , тоді такий сплайн називають природним. Коли є додаткові відомості про поведінку функції на кінцях інтервалу інтерполяції, то записуються інші краєві умови.

Таким чином, кубічний сплайн «склеєний» з кубічних парабол проходить через задані точки, є гладеньким і має безперервну кривизну.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
3
дн.
0
5
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!