Сьогодні о 18:00
Вебінар:
«
Підвищення кваліфікації та атестація педагогічних працівників ЗДО і ЗЗСО за новим профстандартом
»
Взяти участь Всі події

Додатки до програми "Наступність і перспективність у реалізації математичної освіти"

Математика

Для кого: 5 Клас, 6 Клас, 7 Клас, 8 Клас, 9 Клас, 10 Клас, 11 Клас

02.02.2019

7570

16

0

Опис документу:
Навчання математики в школі ґрунтується на низці концептуальних положень. Зміст сучасної шкільної математичної освіти - це не просто знання, уміння і навички, а людська культура, що знаходить відображення в освітній галузі "Математика". Мета навчання математики - всебічний розвиток дитини.
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Додатки

до програми занять для організації позакласної роботи (гуртки, студії, факультативи, клуби за інтересами).

Наступність і перспективність

у реалізації математичної освіти

Математичні сходинки – джерело успіху

Автор-укладач: Іскрова Тетяна

Анатоліївна - вчитель математики

Вишнівського ЗЗСО І-ІІ ступенів

кваліфікаційна категорія –

Спеціаліст вищої категорії

Вчитель- методист

Вивчення математики - неначе підйом альпіністів на високу гірську вершину. Вивчаючи цю науку, будь старанним і спокійним, працюй систематично, життєрадісно і уважно. Тільки в цьому випадку ти станеш розвиненою людиною і будеш здібним до вивчення всіх інших наук.
Пам'ятай: "Саме на подоланні труднощів росте і розвивається математик"

Олександр Хінчин

ПАМ`ЯТКА ДО РОЗВ`ЯЗАННЯ ЦIКАВИХ ЗАВДАНЬ :

1. Прочитайте вдумливо завдання.

2. Не соромтесь перечитати або прослухати повторно.

3. Не поспiшайте подивитись у вiдповiдь.

4. Намагайтесь зробити самостiйно, i ви одержите велике задоволення.

Пам'ятка

Як розв'язувати задачу

  • 1.Уважно прочитай задачу. Зрозyмiй, що в нiй дано i що потрiбно виконати. Якщо розв'язуєш геометричну задачу, накресли вiдповiднi фiгури, введи позначення. Довгий текст задачi читай декілька разiв.

  • 2.Склади план розв'язання задачi. Якщо одразу зробиrи це не можеш, ще раз прочитай задачу, проаналізуй її умову та вимоги. Мiркуй, яким

чином пов' язaнi мiж собою величини, що розглядаються. Спробуй

розв' язати задачу «з кінця». Що необxiдно знати, щоб одержати вiдповiдь?

Вiдтвори ситуацію, що розглядається в задачi, схематично, графiчно.

Розчленуй на частини, спробуй розв'язати частину задачi. Що витікає з

окремих частин умови? Якщо не можеш розв' язати задачу зi змiнними або

великими числовими значеннями, замiни їх на невеликі зрyчнi числа та

розв' яжи спочaткy цю допомiжнy задачу.

  • 3. Якщо розв'язуєш геометричну задачу, шукай на кресленнi рівні

трикутники або iншi фiгури, або подiбнi трикутники. Може, варто

виконати паралельне перенесення, або повернути частину фiгypи, або

розглянути фiгypу, симетричну даній? Якщо йдеться про знаходження

мiсця гeoметричного розташування точок, знайди декілька таких точок, уяви,

чим є шyкaнe мiсце точок. Перше креслення до задачі може бути невдалим, змiни його, щоб важливi для даної задачi елементи креслення було краще видно, більш вдало розташовано. Якщо в задачi йдеться про квадрати

відстаней, застосуй теорему Пiфагора, або теорему косинусiв, або

координатний метод.

Якщо розв' язуєш задачу на доведення iснування чого-небудь, спробуй мiркувати «від протилежного». Якщо потрiбно знайти величину кута або довести перпендикулярністъ деяких вiдрiзкiв, скористайся властивiстюскалярного добутку векторів. Задачi на знаходження найбiльшиx або найменших значень зазвичай розв' язуються за допомогою похідної або

властивостей нерівностей. Якщо в задачi дано довжини вiдрiзкiв та мiри

кутів, або трикутники, що їх мiстять, розв' яжи цi трикутники або введи

невідоме i розв' яжи одержане рiвняння.

  • 4. Виконай намiчений план. Одержавши вiдповiдь, прикинь, чи

відповідає вона умові задачi, чи є реальною. Якщо можеш, зроби

перевiрку або проконтролюй якимось способом відповідь. Якщо

дозволяє час, видозмiни задачу, розглянь окремий або бiльш загальний

випадок. Мiркуй, чи не можна спростити розв' язок.

  • 5. Оформляй розв'язання у зошиті розбiрливо й акуратно.

Використовуй лише загальноприйнятi символи та термiни.

Записуй розв' язання таким чином, щоб його міг зрозумiти кожен. Недбaлi записи до рисунків свiдчать про твоє ставлення до роботи взагалi й

до того, хто це розв' язання буде читати.

ЦIКАВІ ЛОГIЧНІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ УЧНIВ 1 - 4 КЛАСIВ

1) Сума цифр двоцифрового числа дорiвнює найбiльшому одноцифровому, а число десяткiв – на 1 менше вiд цiєї суми.

( 89 )

2) Над пiд`їздом будинку висить таблиця – покажчик квартир – з числами 33 - 48. Чи є в цьому пiд`їздi квартири 30, 39, 41, 51 ?

( 30, 51, немає )

3) Сестра старша вiд брата на 5 рокiв. На скiльки вона буде старша через 6 рокiв?

( на 5 рокiв )

4) Десятилiтровий бiдон наповнений водою. Як з нього за допомогою семилiтрового i трилiтрового бiдонiв вiдлити 5л води?

5) Татовi, матерi i сину разом 75 рокiв. Татовi i сину – 42 роки, матерi i сину – 40. Скiльки рокiв кожному окремо ? ( татовi - 35, матерi - 33, сину - 7 )

6) За якою ознакою складено рядки слiв :

а) ранок, день, нiч ( доба )

б) весна, лiто, осiнь, зима ( пори року )

в) вересень, жовтень, листопад ( осiнь )

г) доба, тиждень, мiсяць, квартал ( мiри часу )

7) Мама з сином їхали в електричцi. Мама запитала в сина: в якому по порядку вагонi ми їдемо? Син вiдповiв : "В шостому, якщо лiчити з голови, або у третьому, якщо лiчити з хвоста." Скiльки було вагонiв в електричцi ?

( 8 )

8) Є двi групи чисел : 11, 21, 35, 47, 14 та 11, 12, 53, 43, 18.

Назви всi рiзнi числа, якi входять до цих груп.

( 21, 35, 47, 14, 12, 53, 43, 18 )

9) Володя назвав усi числа другого десятка, а Михась – усi двоцифровi числа, кожне з яких записується двома однаковими цифрами. Якi числа назвав Володя, а якi Михась ?

( Володя - вiд 11 до 20, Михась - 11, 22,..., 99 )

10) Запиши два таких одноцифрових числа, щоб їх суми i рiзницi закiнчувались тiєю самою цифрою. Скiльки пар таких чисел можна скласти ?

( 5+5, 6+5, 7+5, 8+5, 9+5 )

11) На двох деревах сидiли галки. З першого дерева двi галки полетiли зовсiм, а з другого перелетiло на перше 5 галок. Пiсля цього на кожному деревi стало по 8 галок. Скiльки галок було на кожному деревi спочатку ?

( 5 та 13 )

12) Богдан, Максим i Руслан – брати. Богдан не старший вiд Максима, а Руслан – не молодший, нiж Максим. Хто з них найстарший ?

( Руслан, Максим, Богдан )

13) У кошику 6 яблук. Треба роздати яблука 6 дiвчаткам, по одному кожнiй

але так, щоб одне яблуко залишилось у кошику. Як це зробити ?

( Однiй дiвчинi вiддати з кошиком )

14) Якi 4 однакових числа треба додати, щоб одержати 16 ?

( 4 )

15) Як вишикувати загiн з 40 бiйцiв у 4 ряди так, щоб у кожному було по 11

( квадратом )

16) Сума двох чисел дорiвнює 77. Коли до меншого числа приписати справа 0 то числа будуть рiвними. Якi це числа ?

( 70 та 7 )

17) У змаганнях з шахiв беруть участь 4 шахiсти. Кожен з них грає по 1 разу з рештою гравцiв. Скiльки всього буде зiграно партiй ?

( 6 партiй )

18) Парне чи непарне число ми дiстанемо :

а) Якщо додамо два парнi числа ? ( парне )

б) Якщо додамо три парнi числа ? ( парне )

в) Якщо додамо два непарнi числа ? ( парне )

г) Якщо додамо три непарнi числа ? ( не парне )

д) Якщо вiд парного числа вiднiмемо парне ? ( парне )

е) Якщо непарне число помножимо на 2 ? ( парне )

19) Чи можна 30 горiхiв розкласти на 5 купок так, щоб у кожнiй з купок була непарна кiлькiсть горiхiв ?

( не можна )

20) Довжина однiєї сторони шкiльного саду 32 метри. Цю сторону загородили парканом з дощок. Причому кожнi 4м закопували стовп. Скiльки всього стовпiв закопали ?

( 9 )

21) Як, використовуючи знаки дiй, можна записати число 10 чотирма трiй -

ками ? П`ятьма трiйками ?

( (3:3)+3*3=10, (3:3)+3+3+3=10 )

22) Чи можна число 9 зобразити у виглядi двох доданкiв так, щоб один з них був удвiчi бiльший за другий ?

( можна, 6+3 )

23) Є 5 квадратiв зi сторонами по 4см. З усiх квадратiв склеїли прямокутник. Ширина мiсця склеювання становить 1см. Яка довжина прямокутника?

( 16см )

24) Цiна книжки 31 гривня. Книжка дорожча за обкладинку на 11 гривень. Визнач цiну книжки.

( 31 гривня )

25) Iшов з риболовлi Вовк, зустрiв Лисицю i питає :

– Кума, де ти була ?

– карасiв у ставку ловила.

– Чи багато взяла ?

– До десятка трьох не добрала.

– А в мене два десятки та ще вiсiм.

У скiльки разiв Вовк пiймав бiльше карасiв, нiж Лисиця ?

( у 4 рази )

26) Катя i Оксана живуть в одному будинку. Катя на 5 поверсi, Оксана – на третьому. Повернувшись зi щколи додому, Катя проходить 60 схiдцiв. Скiльки проходить схiдцiв Оксана ?

( 36 )

27) Два хлопчики разом йшли до школи й по дорозi знайшли 10 копiйок. Скiльки грошей знайдуть 4 хлопчики ?

( 10 коп )

28) Записати всi одноцифровi та двоцифровi числа, якi можна розкласти на 2 однаковi множники.

( 2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 )

29) Скiльки можна накреслити рiзних квадратiв з периметром 24см ? Скiльки iснує прямокутникiв з периметром 16см ?

( 1, багато )

30) Скiльки пальцiв на двох руках ? А на 10 руках ?

( 10, 50 )

31) Брат на запитання, скiльки йому рокiв, вiдповiв : "Менi разом з сестрою 19 рокiв, а 5 рокiв тому я був удвiчi старший вiд неї." Скiльки рокiв йому тепер ?

( 11 рокiв )

32) Помiркуй :

а) Коли сума двох чисел дорiвнює першому числу ? (один з доданкiв 0 )

б) Якi числа перемножили, якщо у вiдповiдi одержали 7 ? ( 7 та 1 )

в) Яке число подiлили на 7, якщо у вiдповiдi вийшов 0 ? ( 0, 7 )

г) Яке число подiлили на 7, якщо у вiдповiдi одержали 1 ?

33) Що бiльше : сума чи добуток чисел 0, 1, 2, 3, 4 ?

( сума )

34) У числi 37 закреслити цифру 7. Якi дiї треба виконати, щоб дiстати той самий результат ?

( додати 7 )

35) Андрiйко записав на дошцi такi рiвняння :

Х * 4 = 36 (14 + Х) - 7 = 7Х + 25 = 40 - 5 54 : Х = 9

Потiм вiн сказав : "У цих рiвняннях Х позначає число, яке я задумав.

Вiдгадайте, якi числа я задумав ?"

( 9, 0, 10, 6 )

36) О третiй годинi стiнний годинник вiдбиває три удари за 6 секунд.

За скiльки секунд цей годинник вiдiб`є 6 ударiв о 6 годинi ?

( 12 секунд)

37) Хлопчики збирали в лiсi гриби. Найбiльше зiбрав Роман. Про кiлькiсть грибiв вiн сказав так :"Якщо це число зменшити у 6 разiв i одержаний результат зменшити на 6, то дiстанемо 6".Скiльки грибiв зiбрав Роман ?

( 72 гриби )

38) Маємо числа 1, 2, 3, 4, 5. Поставити мiж ними знаки дiї i дужки так, щоб в результатi обчислень одержати 2. Числа не переставляти.

( (1+2+3+4):5=2 )

39) Записати такi двоцифровi числа, зменшуючи якi в 2 рази, дiстанемо теж двоцифровi числа, записанi однаковими цифрами.

( 22, 44, 66, 88 )

40) Лiкар приписав хворому вiтамiни – по 2 таблетки 2 рази в день. У коробцi 60 таблеток. На скiльки днiв вистачить вiтамiнiв ?

( на 15 днiв )

41) На двох столах було 27 тарiлок. Коли з одного взяли 3 тарiлки, то в обох стало порiвну. Скiльки тарiлок було на столах спочатку ?

( 15 та 12 )

42) Я хотiв купити кавун на 3кг, а купив на 5кг, тому i заплатив на 80 копiйок бiльше. Скiльки коштував кавун ?

( 2 гривнi )

43) До 7 дописати праворуч одну таку цифру, щоб вийшло число, яке дiлилося б на 6.

( 72, 78 )

44) Коли у Києвi полудник, у Петропавловську-на-Камчатцi 9 година вечора. Котра година буде в Києвi, коли в Петропавловську-на-Камчатцi 18 год ?

( 8 година ранку )

45) Опiвночi йшов дощ. Чи можна чекати сонячну погоду через двi доби ?

( не можна )

46) Яка з календарних пiр року - весна, лiто, осiнь, зима - найкоротша?

Чи завжди вона найкоротша ?

( зима )

47) У коробцi лежало 10 олiвцiв. Кольорових – у 9 разiв бiльше, нiж простих. Скiльки простих i скiльки кольорових олiвцiв було в коробцi ?

( 1 простий i 9 кольорових )

48) Скiльки рiзних слiв потрiбно, щоб назвати будь-яке число з чисел вiд одиницi до 1000 ?

49) Скiльки рiзних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 3, 7

( 333, 337, 373, 377, 733, 737, 773, 777 )

50) З множини метр, кiлометр, кiлограм, дециметр, сантиметр, мiлiметр вилучити зайве. Якою спiльною ознакою можна об`єднати слова, що залишились ?

( кiлограм, мiри довжини )

51) Запиши 100 п`ятьма одиницями.

( 111 - 11 = 100 )

52) У прикладi 48 : 8 + 4 * 2 постав дужки так, щоб пiсля обчислення вийшло :

а) 8

б) 3

( 48:(8+4)*2=8 48:(8+4*2)=3 )

53) Якi числа можна записати, якщо тричi використати цифру 2, знаки дiй i дужки ?

( 2-2*2=0, (2+2)*2=8, 2:2+2=3, 2*2-2=2 )

54) У трьох пакетах було порiвну горiхiв. Коли з кожного пакета взяли по 6 горiхiв, то в них стало стiльки горiхiв, скiльки було ранiше у двох пакетах. Скiльки горiхiв було в кожному пакетi спочатку ?

( по 18 горiхiв )

55) Як можна швидко знайти суму чисел у другому i третьому рядках, користуючись сумою першого рядка ?

8 + 7 + 6 = 21

28 + 27 + 26 = ( 20 + 20 + 20 = 60 додати 21 )

208 + 207 + 206 = ( 200 + 200 + 200 = 600 додати 21 )

56) С два пакети. Один вмiщує 300 грам цукрового пiску, а другий 650г.

Як за допомогою цих пакетiв вiдсипати 1кг цукру ?

( два рази по 650г i забрати 300г )

57) 10 телеграфних стовпiв розмiщено в один ряд. Вiдстань мiж двома сусiднiми стовпами 50м. Яка вiдстань мiж крайнiми стовпами ?

( 450м )

58) Як записати число 1000 трьома десятками ?

( 10*10*10*10 )

59) Батьковi 37 рокiв, а сину 12. Скiльки рокiв доньцi, якщо через 15 рокiв вiк доньки й сина дорiвнюватиме вiку батька ?

( 10 рокiв )

60) Паперовий квадрат треба розiрвати одним розрiзом на 4 менших квадрати.

Як слiд скласти квадрат, щоб можна було це зробити ?

61) Три дiвчинки на запитання скiльки рокiв кожнiй, вiдповiли :

– Нам разом 25 рокiв.

– Я старша за Наталку на 1 рiк.

– Менi разом з Тетянкою 17 рокiв.

Скiльки рокiв кожнiй дiвчинцi ?

( старшiй 9р, Наташi 8р, Танi 8р )

62) На двох деревах сидiли синички. З одного дерева полетiла 1 синичка, потiм з другого на нього перелетiло 3 синички. Пiсля цього на кожному деревi виявилось 5 синичок. Скiльки синичок було на кожному деревi спочатку ?

( 3 та 8 )

63) Якi знаки дiй треба поставити мiж цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, щоб дiстати 100 ?

( 0+1+2+3+4+5+6+7+8*9=100 )

64) Як можна записати число 8 п`ятьма п`ятiрками ?

( 5+(5+5+5):5=8 )

65) Як можна записати число 7 п`ятьма двiйками ?

( 2*2*2-(2:2)=7 )

66) Записати число 21 чотирма двiйками.

( 22-2:2+21 )

67) Запиши число 100, використовуючи 6 раз одну i ту саму цифру.

68) Розв`яжи перше рiвняння, а в двох наступних визнач невiдоме усно :

777 * Х = 111111777 * Х = 222222777 * Х = 333333

( 143, 286, 429 )

69) Галинка написала всi числа по порядку вiд 1 до 99. Скiльки раз вона написала цифру 7 ?

( 11 раз )

70) Двоє хлопчикiв грали в шахи 1год 20хв. Скiльки хвилин грав кожен iз суперникiв ?

( 1год 20хв )

71) Крiль важить 2кг та ще стiльки, скiльки важить його половина. Скiльки важить крiль ?

( 4кг, якщо 2кг його половина )

72) Трiйка коней пробiгла 12км. Скiльки кiлометрiв пробiг кожен кiнь ?

( 12км )

73) Iз 7 паличок склади три трикутники.

74) Iз 5 паличок склади два трикутники.

75) Число 27 запиши однаковими цифрами : трiйками, четвiрками, п`ятiрками

( 3*3*3=27, (4+4)*4-(4+4:4)=27, 5*5+(5+5):5=27 )

76) Тарасик написав число 89 i сказав Танi : "Не виконуючи нiяких записiв, зменш це число на 21". Таня одразу це зробила. Як ?

( перевернули число )

77) Школярi посадили в один ряд 30 молодих дерев на вiдстанi 5м одне вiд одного. Яка вiдстань мiж крайнiми деревами ?

( 145м )

78) Замiсть зiрочок постав потрiбнi знаки дiй :

8 * 4 > 9 * 3 8 * 4 < 9 * 3 8 * 4 = 9 * 3

( * * * + + + ) –-

80) На вулицi 4 будинки i в кожному по 4 вiкна, у кожному вiкнi – по 4 шибки. Скiльки шибок у цих будинках ?

( 64 )

81) На яблунi 5 гiлок, на кожнiй по 5 гiлочок, а на кожнiй гiлочцi – по 5 яблук. Скiльки всього яблук ?

( 625 )

82) Роздiли порiвну 3 апельсини мiж двома батьками i двома синами.

( по одному : дiд, батько, син )

83) У колесi 12 спиць. Скiльки промiжкiв мiж ними ?

( 12 )

84) На полицi стоїть 15 книжок. Якою по порядку буде дев`ята книжка, якщо рахувати справа налiво ?

( 7 книжка )

86) На мiсцi пропускiв встав знаки, яких не вистачає :

(10... 4) : 2 = 7(12 - 2)... 3 = 3024... 2 * 3 = 36

54 : 6 + 48... 8 = 15 15... 40 : 5 = 7

( +, *, :, :, - )

Цікаві запитання і задачі на кмітливість

1. а) Скільки одержимо, якщо додамо до найбільшого однозначного числа найменше однозначне натуральне число?

б) Скільки одержимо, якщо додамо найбільше двозначне число і найменше однозначне число?

2. На скільки одиниць більше найбільше двозначне число, ніж найбільше однозначне число?

3. а) В рамках двадцяти назвати число, в якому число одиниць на 7 більше, ніж число його десятків. (Відповідь: 18).

б) Написати двозначне число, в якому число десятків на 9 більше числа одиниць. (Відповідь: 90).

4. Використовуючи 2 картки з цифрами 1 і 7, виразити найбільше і найменше двозначне число. (Відповідь: 17 і 71).

5. Я провів у бабусі понеділок, вівторок, середу і четвер, а моя сестра на цьому ж тижні - середу, четвер, п'ятницю і суботу. Скільки всього днів ми гостювали у бабусі? (Відповідь: 6 днів).

6. Як скласти два квадрати із 7 однакових паличок?

7. Мама купила мені 4 стрічки червоного і блакитного кольору. Червоних стрічок було більше ніж блакитних. Скільки стрічок кожного кольору купила мама?

8. У літні канікули Сергійко побував в Києві, Москві, Каневі, а його сестра Оленка - в Москві, Каневі, Львові. В яких містах побували діти? В яких містах були і Сергійко і Оленка?

9. Яке найменше число однакових паличок потрібно взяти, щоб за допомогою їх скласти 3 квадрати? (Відповідь: 10 паличок.).

10. В нашому класі всього 42 учнівських міста. Спочатку навчального року у нас було 19 хлопчиків і 18 дівчаток, а потім до нас прийшли ще 4 дівчинки. Чи вистачить учнівських міст для всіх учнів нашого класу?

11. Складіть за умовою задачі вираз і знайдіть його значення: Петрик нижчий за Миколку на 19 см , а Миколка вищий за Витю на 11 см. Зріст Виті 132 см. Який зріст Петрика?

12. Як за допомогою 5 одиниць і одного знаку дії написати число 100? (Відповідь: 111-11=100.).

Задачі-жарти

1. На столі лежали 3 цукерки в одній кучці. Дві матері, дві дочки та бабуся з внучкою взяли цукерки по одній штучці, і не стало цієї кучки. Як це зрозуміти. Скільки людей брали цукерки?

2. Перед вами стоять в ряду 6 склянок, з яких перші 3 з водою, а решта 3 пусті. Що потрібно зробити, щоб склянки пусті і з водою чергувались між собою при умові, що із всіх склянок можна брати лише 1 і всього 1 раз? (Відповідь: взяти другу склянку, перелити з неї воду у п'яту і поставити на місце.).

3. Два чоловіки підійшли до річки. Біля пустого берегу стояв човен, в якому міг поміститися тільки один чоловік. Обидва без всякої допомоги переправилися на цьому човні через річку і продовжили свій шлях. Як вони це зробили? (Відповідь: двоє підійшли до різних берегів річки.).

4. Два батьки і два сини з’їли 3 апельсина. По скільки з’їв кожен з них? (Відповідь: по одному.).

5. В клітці знаходилося 4 кролика. Четверо дітей купили по одному із цих кроликів і один кролик залишився в клітці. Як це могло статися? (Відповідь: один кролик був куплений з кліткою.).

6. 6 картоплин зварилося в каструлі за 30 хвилин. За скільки хвилин зварилась одна картоплина?

7. У п’ятницю, стомившись від занять у школі та ігор, Костя ліг спати в 9 годин вечора. Щоб не вставати рано вранці, але і не проспати дуже довго, він завів будильник на 11 годин наступного дня. Скільки всього годин він проспить, перш ніж розбудить його будильник? (Відповідь: Костя проспить всього 2 години, так як в 11 годин вечора того ж дня, тобто в 23 години будильник його розбудить.).

8. Скільки кінців у 10 палок? А у десяти з половиною?

9. На березі сиділи дві ворони і дивилися в різні сторони: одна на південь, а друга на північ.

- А у тебе, - говорить перша ворона, - лапки в багні.

-А у тебе, - відповідає друга, - дзьоб у землі.

Як же так? Дивляться в різні сторони, а одна одну бачать? (Відповідь: вони дивляться одна на одну, а це і є різні сторони.).

10. Що дорожче кілограм гривеників чи півкіло двогривенників? (Відповідь: кілограм гривеників дорожче чим півкіло двогривенників, так як вартість металічних монет зв'язана з вагою витраченого на них металу.).

11. Якщо в 12 год. дня іде дощ, то чи можна ждати через 36 годин сонячної погоди?

12. Хто назве п'ять днів підряд, не користуючись вказівкою чисел місяця, не називати днів тижня? (Відповідь: позавчора, вчора, сьогодні, завтра, післязавтра.).

Загадки

1. Одна нога і шапка, а голови нема. Що це таке? (Гриб.).

2. Штучка-одноручка, носик стальний, а хвостик лляний. Що це? (Голка).

3. Під двома дугами два яблука з кругами. Що це? (Брови і очі).

4. Коли сухо - клинок, коли мокро - блинець. Одна нога і та без чобота. Що це? (Парасолька).

5. Дві вони кленові, підошви - двохметрові. На них поставиш дві ноги - і по глибокому снігу біжи. (Лижі).

6. Біля ялинок із голок лютневим днем побудовано дім. За травою не видно його, а жильців у ньому мільйон. (Мурашник).

7. Під дахом чотири ноги, на даху суп та ложки. Що це таке? (Стіл).

8. Два брюшка, чотири вушка. Що це таке? (Подушка).

9. Шестинога на стелі, а восьминогий жде її в кутку. Що це? (Муха і павук).

10. П'ять хатин, а хід один? Що це? (Рукавичка).

11. Шість ніг без копит, ходить, та не стукає, літає, а не птах, може вверх ногами сидіти. (Муха).

12. Чотири ноги, сто голок несе, а шити не уміє. (Їжачок).

13. Син мого батька, а мені не брат. Хто це? (Я сам).

14. Сімдесят одежинок та всі без застібок. (Капуста).

15. Є, діти, у мене два срібних коня. Їду зразу ж на обох! Що за коні у мене? (Ковзани).

16. Хто за рік чотири рази перевдягається? (Земля).

17. Сидить баба у сто шуб вдягнута. Хто її роздягає, той сльози проливає. (Цибуля).

18. Цей кінь не їсть вівса, замість ніг - два колеса. Сідай верхи і мчись на нім, - тільки краще керуй рулем! (Велосипед).

Ребуси

1. сви 100 к (свисток)

2. ли 100 к (листок)

3. ті 100 (тісто)

4. Е 100 нія (Естонія)

5. 100 ляр (столяр)

6. 40 а (сорока)

7. ш 3 х (штрих)

8. с 3 ж (стриж)

9. ві 3 на (вітрина)

10. мі 100 (місто)

11. 7’я (сім’я)

12. 100 лиця (столиця)

13. і 100 рія (історія)

14. 100 янка (стоянка)

15. нами 100 (намисто)

Для когось математика – це надзвичайно цікаво, для інших – нудно. Але математика від Пустунчика це зовсім інше.

Ви навіть уявити собі не могли, що гратися числами, діями множення і додавання дуже захоплююче, весело, корисно і прикольно. І щоб не бути голослівним, я пропоную Тобі пограти зі мною в одну цікаву математичну гру.

Цю гру можна назвати також дослідом. Виконуючи кожну дію, будь уважним. Дотримуйся поданих вказівок.

І так, для початку Тобі потрібен калькулятор, або ж відкрий його на комп’ютері, і Твій номер телефону.

Тепер уважно читай завдання і ретельно виконуй кожну дію.

1. Для початку згадай або подивись три перші цифри свого номеру телефону. Зверни увагу, код оператора чи міста не враховується!

2. Множимо ці цифри на 80.

3. Наступний крок – це додавання до отриманого числа 1.

4. Число, отримане в результаті, множимо на 250.

5. Тепер згадай 4 останні цифри свого номеру телефону і додай їх.

6. Дію повторюємо знову, тобто ще раз додаємо 4 останні цифри Твого номеру телефону.

7. А зараз віднімаємо 250.

8. Отримане число ділимо на 2.

Ну що, здивований? От бачиш, з Пустунчиком навіть математика стає цікавішою!))

Математика – це цікава гра не лише цифрами, а й лініями. Не віриш? Я переконаю Тебе у цьому.

1. Візьми аркуш паперу прямокутної форми або ж виріж прямокутник.

2. Накресли 10 однакових вертикальних ліній, паралельних одна одній.

3. Далі проведи діагональ, як показано на малюнку.

4. А тепер розріж прямокутник по діагоналі. Його нижню частину зсунь вниз.

5. Останнім кроком перед Твоїм здивуванням буде підрахунок кількості вертикальних ліній.

Їх стало 9!))

Отака-от математика. Недаремно ж Фелікс Хаусдорф сказав: «Є в математиці щось таке, що викликає людське захоплення».

Історичні задачі

Загальнокультурна компетентність – це компетенція, яка важлива для багатьох сфер життя, є складовою успішного життя особистості та добре функціонуючого суспільства. Вибір та визначення ключових компетентностей, до яких належить загальнокультурна компетентність, залежить від суспільних цінностей.

Це положення ґрунтується на функціональному підході, за якого учень є компетентним не сам по собі, а відносно реалізації зовнішніх функцій, від того, які суспільні функції він виконує у даний час.

Розв’язання задач – це найбільш характерна для людини сфера її діяльності та основна діяльність учня, що займається математикою. Поняття про математику та ставлення до неї формують, насамперед, задачі, які розв’язує учень. Саме під час розв’язання задач учні свідомо і міцно оволодівають системою знань, умінь і навиків, що відображені в курсі шкільної математики.

Важливим засобом формування загальної культури у школярів та активізації навчання математики є ефективна організація і керування навчальною діяльністю школярів у процесі розв’язання різноманітних задач, у тому числі історичних.

Історичні задачі це задачі, збережені історією, що передаються від покоління до покоління. Це задачі з давніх історичних пам'яток, створені відомими математиками або іншими історичними постатями, з давніх підручників і трактатів, журналів та інших друкованих джерел, а також задачі з математичних фольклорів різних народів. Багато задач, які дійшли до нас із сивої давнини, цікаві не стільки в математичному, скільки в історичному розумінні: вони дають можливість сучасникам оцінити рівень розвитку математики в різні часи [1, 34].

Математичні задачі, збережені для нас історією, дають можливість учням отримати додаткову теоретичну інформацію, допомагають з'ясувати роль і місце математики в практичній діяльності людей, пробуджують інтерес та любов до предмета, потяг до самостійної творчості, прояв ініціативи і кмітливості, критичного ставлення до нових фактів. Ряд задач сприяють естетичному вихованню учнів, дають можливість учителю врахувати інтереси і нахили окремих учнів, здійснювати диференційований підхід до навчання. Під час розв'язування таких задач буде доречним проведення невеликих історичних екскурсів.

Незаперечним є те, що розв’язання історичних задач – один із засобів, що сприяють кращому засвоєнню математики і підвищенню математичної культури учня. За їх допомогою учні виразніше розуміють сутність математичних понять, теорем, математичних перетворень. Історичні задачі активізують розумову діяльність учнів, розвивають увагу, спостережливість, пам'ять, мову, підвищують інтерес до матеріалу.

Окрім того, у процесі розв’язання математичних задач з історичним контентом в учнів природнім чином можуть бути сформовані якості, що властиві творчій особистості.

Історичні задачі були поставлені потребами практики і розв'язувалися ще 2000 років до нашої ери, про що свідчать тексти єгипетських папірусів. Подальший розвиток математики стимулював розв'язування абстрактних задач.

Історія математики має переважно гуманітарний характер: «Математику робили живі люди зі своїми характерами, нахилами, уподобаннями, здібностями, можливостями, кругозором, світосприйняттям; математика творилась не за зачиненими дверима» [1, 3]. Тому, використовуючи історичні задачі, ми відтворюємо історичний і культурологічний фон епохи, зв’язки математики з конкретними практичними потребами певної епохи і країни, зв’язки математики з розвитком інших наук, зокрема, з гуманітарними науками, з економікою, із соціальною структурою суспільства, які мали і мають значний вплив на розвиток науки, мистецтва, духовного життя. Аналіз навчально-методичної літератури показує, що історичні задачі відрізняються від звичайних задач, до яких звикли учні. Різницю можна спостерігати у формулюванні умови і питання задачі, у характері даних до задачі значень величин, у виборі можливого підходу до розв’язання задачі і т. ін. Крім того, розв’язуючи історичні задачі, учні зустрічаються з невідомими для них поняттями – стародавніми одиницями виміру тощо, які зараз не використовуються тому, що світ бачиться крізь призму шкільних підручників, він чітко детермінований і в ньому нема місця тій історичній спадщині, що, крім усього, виявляє внесок окремих народів і вчених у певні епохи. Буває, що пошук розв’язування історичної задачі викликає серед учнів великі труднощі, і це не дивно, бо деякі задачі відображають шлях, пройдений людством за великий проміжок часу, іноді довжиною у людське життя. Вашій увазі пропонуємо ряд історичних задач, які можуть на практиці задовольнити потребу у формуванні й розвитку загальнокультурної компетентності учнів.

Основними шляхами формування і розвитку загальнокультурної компетенції учнів на уроках математики є використання педагогічного потенціалу історії – науки як засобу формування загальнокультурної компетентності учнів.

Розв’язання історичних задач створює педагогічні умови для формування загальнокультурної компетентності особистості учня, а саме:

  • формування позитивної мотивації учнів до навчальної діяльності як високоінтелектуальної праці;

  • орієнтація на соціально цінні, гуманістичні мотиви;

  • створення емоційно сприятливої атмосфери заняття і т. ін.

До посібника увійшли задачі різних часів, що збережені історією, створені відомими математиками або іншими історичними постатями, з давніх підручників і трактатів, журналів та інших друкованих джерел, а також задачі з математичних фольклорів різних народів. Вони є своєрідною історичною пам’яткою, що дає можливість сучасникам оцінити рівень розвитку математики в різні часи.

Задачі різноманітні за змістом і ступенем складності, вони об’єднані за тематикою і розділами відповідно до чинних програм з математики. Їх можна використовувати під час фронтальної, групової та індивідуальної роботи з учнями. Учитель на свій розсуд може скористатися ними під час підготовки до вивчення нового матеріалу, під час первинного ознайомлення, закріплення, для усунення прогалин у знаннях учнів, під час формування умінь і навичок застосовувати отримані знання у подібних та нових ситуаціях. Щоб полегшити працю вчителя, у кінці кожної задачі подано розв’язування, рекомендації та відповіді.

Задачі, які розв’язуються по діях

Задача з "Курса чистой математики" Войтяхівського

 1. Послано чоловіка з Москви до Вологди, і звеліли йому проходити кожен день по 40 верст. Наступного дня навздогін йому послано другого чоловіка, і наказано йому проходити в день по 45 верст. На який день другий посланець наздожене першого?

Розв’язання. Оскільки перший вийшов на день раніше і пройшов 40 верст, то другому треба нагнати ці 40 верст.

40:(45-40) = 8 днів.

Відповідь. За 8 днів другий посланець наздожене першого.

Задача з «Азбуки» Л.М.Толстого

 2. П'ятеро братів розділили між собою спадщину батька порівну. У спадщині було три будинки. Три будинки не можна було ділити, їх взяли старші три брати. Кожен із старших заплатив по 800 рублів меншим. Менші розділили ці гроші між собою, і тоді у всіх п'яти братів стало порівну. Чи багато коштували будинки?

Розв’язання. 8003=2400 (руб.) – заплатили двом меншим братам;

2400:2=1200 (руб.) – одержав кожен у спадщину;

12005:3=2000 (руб.) – коштував будинок.

Відповідь. 2000 руб. – коштував будинок.

Задача з "Курса чистой математики" Войтяхівського

 3. Собака побачив на відстані 150 сажнів зайця. Заєць пробігає за 2 хвилини 500 сажнів, а собака за 5 хвилин 1300 сажнів. За який час собака наздожене зайця?

Розв’язання. 500:2=250 (сажнів/хв) – швидкість зайця,

1300:5=260 (сажнів/хв) – швидкість собаки,

150:(260-250)=15 (хвилин).

Відповідь. Через 15 хвилин собака дожене зайця.

Задача з"Арифметики" Л.Ф. Магницького

 4. Каже дід онукам: «Ось вам 130 горіхів. Розділіть їх на 2 частини так, щоб менша частина, збільшена у 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази». Як розділити горіхи?

Розв’язання. Зменшивши втричі кількість горіхів у більшій частині, ми отримаємо їх стільки ж, як у чотирьох менших частинах. Отже, більша частина повинна містити в 34=12 разів більше горіхів, ніж менша, а загальне число горіхів має бути в 13 разів більше, ніж у меншій. Тому менша частина повинна містити 13013=10 горіхів, а більша 130-10=120 горіхів.

Відповідь. 10 і 120 горіхів.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького. Селяни і картопля

5. Йшли троє селян і зайшли на заїжджий двір відпочити й пообідати. Замовили господині зварити картоплю, а самі заснули. Господиня зварила картоплю, але не стала будити постояльців, а поставила миску з їжею на стіл і пішла. Прокинувся перший селянин, побачив картоплю і, щоб не будити товаришів, порахував картоплю, з'їв свою частку і знову заснув. Незабаром прокинувся другий, йому невтямки було, що один із товаришів уже з'їв свою частку, тому він, порахувавши всю картоплю, з'їв третю частину і знову заснув. Після цього прокинувся третій. Вважаючи, що він прокинувся першим, він порахував картоплю, що залишилась у мисці, і з'їв третю частину. Тут прокинулися його товариші і побачили, що в мисці залишилося 8 картоплин. Порахуйте, скільки картоплин подала на стіл господиня, скільки з'їли вже і скільки має ще з'їсли кожен, щоб усім дісталося порівну.

Розв’язання. Маємо 1) 83/2=12 – залишок після другого;

2)123/2=18 – залишок після першого;

3) 183/2=27- початкове число.

Відповідь. Усього було подано на стіл 27 картоплин. Кожен повинен був з'їсти по 9 картоплин, перший з'їв свою частку, другому залишилося з'їсти 3 картоплини, а третій повинен з'їсти ще 5 картоплин.

Задача, автором якої вважають Ейлера

6. Вирішивши всі свої заощадження поділити порівну між усіма своїми синами, один чоловік склав такий заповіт: «Старший із моїх синів повинен отримати 1000 руб. і 1/8 частину залишку; наступний 2000 руб. і 1/8 нового залишку, третій син 3000 руб. і 1/8 частину третього залишку і т.д.». Визначте, скільки було синів і суму заповіданого заощадження.

Розв’язання. Оскільки всі сини отримали порівну, то 1/8 частина кожного нового залишку була на 1000 руб. менше від 1/8 частини попереднього залишку, а отже, весь новий залишок був на 8000 руб. менше від попереднього. Оскільки за умовою всі гроші були поділені повністю, то, коли молодший син отримав за заповітом, крім кількох тисяч рублів, ще 1/8 частину залишку, більше залишку не виявилося. Але тоді попередній залишок – 8000 руб. З нього передостанній син отримав 1/8 частину, що дорівнювала 1000 руб., а решту, 7000 руб., отримав молодший син, який, таким чином, був сьомим сином.

Відповідь. Синів було 7, а заповідана сума 7000 * 7 = 49000 (руб.).

Задача з папірусу Райнда

7. «Було сказано: «Розділи 10 мір ячменю між десятьма людьми; різниця між кожною людиною і його сусідом повинна становити 1/8 міри зерна».

Розв’язання. 1) 1/8+2/8 +3/8 +4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мір) – на стільки менше мір, якщо було б порівну;

2) 10-45/8 =35/8 (мір) – ячменя на 10 осіб;

3) 35/8:10=35/80=7/16 (мір) – отримає 1-й чоловік.

Відповідь. 7/16 мір отримає 1-й чоловік, інші – на 1/8 міру більше за кожного наступного.

Задача Л. Керрола

8. Є 5 мішків. Перший і п'ятий мішки разом важать 12 фунтів, другий і третій 13,5 фунтів, третій і четвертий 11,5 фунтів, четвертий і п'ятий 8 фунтів, перший, третій і п'ятий 16 фунтів. Потрібно дізнатися, скільки важить кожен мішок.

Розв’язання. Сума результатів усіх 5 зважувань дорівнює 61 фунт, при цьому вага третього мішка входить у 61 фунт тричі, а вага інших мішків лише двічі. Віднімаючи від 61 фунта подвоєну суму результатів першого та четвертого зважувань, отримуємо, що потроєна вага 3-го мішка дорівнює 21 фунт. Отже, вага 3-го мішка дорівнює 7 фунтам. З результатів 2 і 3 зважувань знаходимо вагу 2 і 4 мішків; другий мішок важить 6,5 фунтів, четвертий – 4,5. Потім вирахуємо, що 5 мішок важить 5, 5 фунтів, 1 мішок – 3,5 фунта.

Відповідь. Вага 1-го мішка 3,5 фунтів, 2-го – 6,5 фунтів, 3-го – 7 фунтів, 4-го – 4,5 фунтів, 5-го – 5, 5 фунтів.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

9. Один чоловік прийшов у торговий ряд, купив іграшки для дітей. За першу іграшку заплатив одну п'яту своїх грошей, за другу три сьомих залишку від купівлі першої іграшки, за третю заплатив три п'ятих залишку від другої іграшки, а після повернення додому виявив, що в нього залишилося 1 рубль 92 копійки. Скільки в гаманці грошей було спочатку і скільки за кожну іграшку заплатив чоловік?

Розв’язання. – залишок;

(грошей) – за першу іграшку;

(грошей) – залишок від другої іграшки;

(грошей) – коштує друга іграшка;

(грошей) залишилося в гаманці;

(руб.) – було в гаманці;

(руб.) – коштувала перша іграшка;

(руб.) – коштувала друга іграшка;

(руб.) – коштувала третя іграшка.

Відповідь. 10,5 руб.; 2,1 руб., 3,6 руб., 2,88 руб.

Задача Ісаака Ньютона

10. Двоє листонош А і В, яких розділяє відстань у 59 миль, виїжджають вранці назустріч один одному. Листоноша А проїжджає за 2 години 7 миль, а листоноша В за 3 години 8 миль, при цьому B вирушає у дорогу годиною пізніше А. Скільки миль проїде листоноша В до зустрічі з листоношею А?

Розв’язання. Для початку дізнаємося швидкості обох листонош: швидкість А = 3,5 м/год., швидкість В = 8/3 м/год. Якщо відомо, що А проїхав на годину більше, віднімаємо цю відстань із загальної величини: 59-3,5 = 55,5. Потім ділимо отриману різницю на швидкість зближення: 55,5:37/6 = 9 год. Швидкість В помножити на час: 9*8/3 = 24 м.

Відповідь. 24 милі.

Задачі на сумісну роботу

Задача Ананія з Ширака (Ананія Ширакаці, вірменського математика VII ст.).

 11. У місті Афіни було водоймище, до якого підведено 3 труби. Одна труба може наповнити водоймище за одну годину, друга тонша – за дві години, третя, ще тонша за три години. Отже, дізнайся, за яку частину години всі три труби разом наповнять водойму.

Розв’язання. За 6 год. перша труба наповнить 6 таких водоймищ, друга – 3, а третя – 2. Усього 11 водоймищ. Отже, три труби разом наповнять одну водойму за год.

Відповідь. За год.

Китай (II ст.)

12. Дика качка від південного моря до північного летить 7 днів, а дикий гусак від північного моря до південного летить 9 днів. Якщо дика качка і дикий гусак вилетять одночасно. Через скільки днів вони зустрінуться?

Розв’язання.

Відповідь. Через 3,9375 дні качка і гусак зустрінуться.

Старовинна задача XVII століття

13. Лев з'їв вівцю за 2 години, вовк з'їв вівцю за 3 години, пес з'їв вівцю за 6 години. За скільки годин усі троє разом – лев, вовк і пес – можуть зїсти вівцю?

Розв’язання. Лев за годину з’їсть частину вівці, Вовк за годину з’їсть частину вівці, Пес за годину з’їсть частину вівці. Разом: (вівцю).

Відповідь. За 1 годину.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

14. Чотири теслі хочуть побудувати будинок. Перший тесля сам може побудувати будинок за рік, другий тесля може побудувати будинок за два роки, третій – за три роки, четвертий – за чотири роки. За який час теслі побудують будинок, якщо працюватимуть разом?

Розв’язання.

Наведемо розв’язання за оригіналом: «Возьми число первому плотнику 12, а другому вполы 6, а третьему ⅓ 4, а четвертому ¼ 3. Сочти же все те перечни как 12 да 6, да 4, да 3, станет 25. То стал деловой перечень. Разочти же те 12 годов – первое число на дни; умножи с 365-ю дни, придет 4380 дней. Дели же те дни на 25, придет дни, столько они вместе делали. Станет 25 недель часа».

Таким чином, у рукопису задача розв’язується зведенням кількості роботи кожного теслі до одного і того самого часу, а саме, до 12 років. За 12 років перший тесля можуть побудувати 12 будинків, другий – 6, третій – 4, четвертий – 3, а разом вони можуть побудувати 25 будинків. Тому один будинок вони побудують у 25 разів швидше, тобто за року, або за днів.

Відповідь. днів.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

15. На одному млині були три жорна. На першому з них за добу можна змолотити 60 чвертей зерна, на другому за той самий час можна змолоти 54 чвертей, а на третьому за той час самий час можна 48 чвертей. Один чоловік хоче змолоти 81 чверть зерна за найкоротший час на цих трьох жорнах. За скільки годин можна змолотити зерно і яку кількість для цього на кожне жорно треба насипати зерна?

Довідка. Чверть 6 пудів, 1 пуд 16,38 кг.

Розв’язання. За годину всі три жорна намолотять:

.

Тоді, щоб помолоти 81 чверть, потрібно: год.

За 12 год. Перші жорна намолотять чвертей,

другі чвертей, треті чвертей.

Відповідь. За 12 год.; І 30 чвертей; ІІ 27 чвертей; ІІІ 24 чверті.

Задачі, які розв’язуються за допомогою рівнянь

(Алгебраїчний метод)

Задача Евкліда (ІІІ ст.до н.е.)

16. Мул і віслюк, нав’ючені мішками йшли дорогою. Жалібно охав осел, придавлений важкою ношею. Мул звернувся до віслюка, мовивши: «Що ж, старий, ти заскиглив, ніби дівчина? Ніс би я вдвічі більше, ніж ти, коли б віддав ти мені одну міру. Якби ж ти у мене лише одну міру взяв, то ми зрівнялися б». Скільки ніс кожен з них, повідай нам це.

Розв’язання. Якщо х – вага ноші мула, тоді (х–1) – вага ноші віслюка, збільшеної на 1; отже, початкова його ноша (х2). Але (х+1) у 2 рази більше, ніж ноша віслюка, зменшена на 1, тобто (х3). Маємо рівняння х+1=2(х-3). х=7. Отже, ноша мула – 7 кг, ноша віслюка 5 кг.

Відповідь. Ноша мула – 7 кг, ноша віслюка 5 кг.

Задача з Бахшалійського рукопису

17. З чотирьох жертвувателів другий дав удвічі більше, ніж перший, третій – утроє більше, ніж другий, четвертий – учетверо більше, ніж третій, а всі разом дали 132. Скільки дав перший?

Розв’язання. Нехай перший дав x. Тоді другий – 2x, третій – 3(2x), четвертий – 4(3(2x)). Разом же вони пожертвували: x+2x+3(2x)+4(3(2x))=132. Розв'язавши рівняння, дізнаємось, що перший дав 4.

Відповідь. 4.

Задача з підручника «Вступ до алгебри» Ейлера

18. Дві селянки принесли на ринок разом 100 яєць; одна принесла більше, ніж друга. Обидві виручили однакові суми. Перша сказала тоді другій: «Були б у мене твої яйця, я виручила б 15 крейцерів». Друга відповіла: «А будь твої яйця у мене, я виручила б за них 6 2/3 крейцерів». Скільки яєць було у кожної жінки?

Розв’язання. У першої селянки було х яєць, у другої . Якщо б перша мала яєць, вона виручила б, ми знаємо, 15 крейцерів. Значить, перша селянка продавала яйця за ціною 15:(100-х) за штуку. Друга селянка продавала яйця за ціною за штуку.

Виторг першої селянки , другої .

Оскільки виторги рівні, то .

Після перетворення маємо: .

Звідки

Відповідь. Перша селянка принесла на ринок 40 яєць, друга – 60.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

 19. Біля мосту через річку зустрілися ледар і чорт. Ледар поскаржився на свою бідність. У відповідь чорт запропонував: "Я можу допомогти тобі. Щоразу, як ти перейдеш цей міст, у тебе гроші подвояться. Але щоразу, перейшовши міст, ти маєш віддати мені 24 коп.". Тричі проходив ледар міст, а коли заглянув у гаманець, там було порожньо. Скільки грошей було в ледаря?

Розв’язання. Нехай x коп. було у ледаря, тоді після 1 разу стало 2х-24, після 2 разу стало 2(2x-24)-24=4x-72, після 3 разу стало 2(4x-72)-24=8x-144-24=0. Отже, 8х=168, x=21.

Відповідь. 21 коп.

Задача з оповідання А.П.Чехова «Репетитор»

 20. Купець придбав 138 аршин чорного і синього сукна на 540 карбованців. Cкільки аршин він купив того й іншого сукна, якщо синє коштувало 5 карбованців за аршин, а чорне 3 крб.

Розв’язання. Нехай синього сукна було х аршин, тоді чорного (138- х) аршин.

5 х +3(138- х)=540;

5 х +414-3 х =540;

2 х =126;

х =63(аршини) – синього;

138-63=75(аршин) – чорного.

Відповідь. 63 аршини синього сукна, 75 аршин чорного.

Задача з "Курса чистой математики" Войтяхівського

21. Пляшка з пробкою коштують 12 копійок. Пляшка коштує на 10 копійок дорожче, ніж пробка. Скільки коштує пляшка і скільки пробка?

Розв’язання. Нехай пробка коштує х коп., тоді пляшка (х +10) коп.

х+(х+10)=12;

2 х=2;

х=1(коп.) – коштує пробка.

1+10=11 (коп.) – вартість пляшки.

Відповідь. Пробка коштує 1 коп., пляшка – 11 копійок.

Задача про життя Діофанта

22. Про Діофанта відомо дуже мало, навіть не відомі роки його життя. На могильній плиті Діофанта написано:

«Подорожній! Поховано тут Діофанта.

І числа розкажуть тобі,

Який дивний шлях він життєвий пройшов.

Шосту частину його становило дитинство.

Минула частина дванадцята –

І пухом покрилось його підборіддя.

Сьому – в бездітному шлюбі прожив Діофант.

Минуло п’ять літ. Ощасливлений був він

Народженням первістка – сина,

Якому судилася лише половина життя його батька.

У глибокій журбі старець закінчив шлях на землі,

Ще проживши років чотири з часу, коли сина не стало.

Скажи, віку якого досягши славетний помер Діофант».

Розв’язання.

Алгебраїчний спосіб. Нехай Діофант прожив х років. Тоді отримаємо рівняння:

;

х=84.

Спосіб підбору. Число років Діофанта ділиться на 6,12,7 і 2. НСК (6,12,7,2) = НСК (12,7) = 84.

Відповідь. Діофант прожив 84 роки.

Задача зі старовинної перської легенди «Історія Морадбальса», яка увійшла до збірки «1001 ніч»

23. Мудрець дає юній дівчині завдання: «Одна жінка пішла в сад збирати яблука. Щоб вийти із саду, їй потрібно було пройти через четверо дверей, біля кожних із них стояв стражник. Стражникові біля перших дверей жінка віддала половину зірваних нею яблук. Дійшовши до другого стражника, жінка віддала йому половину яблук, що залишилася. Так вона вчинила і з третім стражником; а коли вона поділилася яблуками зі стражником біля четвертих дверей, то в неї лишилося тільки 10 яблук. Скільки яблук жінка зібрала в саду?».

Розв’язання. Якщо х – число яблук, що жінка зібрала в садку, то перший стражник отримає яблук, другий яблук, третий – яблук і четвертий – яблук. Так як , то х =160 яблук. Отже, жінка зібрала у саду 160 яблук.

Відповідь. 160 яблук.

Задача Ейлера

24. Селянка принесла на ринок певну кількість яєць. Одному покупцеві вона продала половину того, що мала, і ще пів’яйця; другому половину того, що залишилося і ще пів’яйця; третьому половину нового залишку і ще пів’яйця; нарешті, четвертому половину того, що залишилося після торгівлі, і ще пів’яйця. Після цього в неї нічого не залишилося. Питання: скільки було яєць?

Розв’язання. Щоб вирішити це, позначимо через х число яєць на початку торгу.

І спосіб (з використанням рекурентної формули):

(((0,5×2+0,5)×2+0,5)×2+0,5)×2. Отримуємо, що: 15=х.

ІІ спосіб:

Перший покупець отримав . Тоді, залишиться: .

Другий покупець отримав . Залишок ().

Третій – (). А, четвертий .

Маємо таке рівняння: . Розв’язавши його, отримаємо відповідь – 15 яєць.

Відповідь. 15 яєць.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

25. Купець купував олію. Коли він давав гроші за 8 бочок олії, то у нього залишилося 20 алтин. Коли ж став давати за 9-ту бочку, то не вистачило півтора рублі з гривнею. Скільки грошей було у купця?

Довідка.

1 рубль=10 гривень, 1 гривня=10 копійок, 1 алтин=3 копійки.

Розв’язання. Нехай бочка коштує х руб.

8х+0,6=9х-1,6;

х=2,2 руб.

До покупки в нього було 2,28+0,6=18,2 руб.

Відповідь. У купця було 18 рублів і 2 гривні.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

26. Один чоловік, найнявши працівника на рік, пообіцяв йому дати 12 руб. і кафтан. Але той, відпрацювавши 7 місяців, захотів звільнитись і попросив гідної плати з кафтаном. Господар дав йому гідний розрахунок 5 руб. і кафтан. Питається, яка ціна кафтана?

Розв’язання. Нехай х – вартість кафтана. Маємо рівняння:

7·(x + 12):12 = x + 5;

7х+84=12х+60;

5х=24;

х=4,8.

Відповідь. 4,8 руб. вартість кафтана.

Задача Герона Александрійського ( 1 ст. до н.е.)

27. З-під землі б'ють чотири джерела. Перше заповнює басейн за 1 день, друге за 2 дні, третій за 3 дні та четверте за 4 дні. За скільки часу наповнюють басейн чотири джерела разом?

Розв’язання. Приймемо об’єм басейна за 1. Нехай – х кількість днів, за які джерела разом заповнюють басейн.

;

;

;

.

Отже, разом усі джерела заповнюють басейн за 12/25 дня.

Відповідь. 12/25 дня.

З народної творчості

28. Летить зграя гусей, а назустріч їм летить один гусак і каже: «Здрастуйте, сто гусей!». «Нас не сто гусей, відповідають йому гуси. Якби нас було стільки, скільки тепер, та ще стільки, та півстільки, та чверть стільки, та ще ти, гусак, з нами, так тоді нас було б сто гусей». Скільки було гусей у зграї?

Розв’язання. Нехай кількість гусей – х, тоді отримаємо рівняння: x+x+x/2+x/4+1=100.

Відповідь. 36 гусей.

Задача Піфагора

29. Кажуть, що на запитання про те, скільки у нього учнів, давньогрецький математик Піфагор відповів так: «Половина моїх учнів вивчає математику, четверта частина вивчає природу. Сьома частина проводить час у мовчазному роздумі, це одну частину складають 3 діви». Скільки учнів у Піфагора?

Розв’язання. Нехай x – кількість учнів Піфагора, тоді для того, щоб знайти, яку кількість складали діви, потрібно від x відняти учнів, які вивчають математику, – , частину учнів, що вивчають природу, – та частину учнів, що перебувають у мовчазному роздумі, – . Таким чином, отримаємо рівняння: .

Відповідь. 28.

Задача Бхаскара II (1114–1185рр.)

30. Одна третя, одна п'ята і одна шоста квіток лотоса у вінку присвячена богам Шиві, Вішну, Сурьє, одна четверта Бхавані. Інші 6 квіток призначені шанованому праведникові. Скільки квіток лотоса сплетено у вінок?

Розв’язання. Нехай х квіток у вінку. Присвячені Шиві – 1/3 х квіток, присвячені Вішну – 1/5 х, квіток, присвячених Сурьє – 1/6 х, квіток присвячені Бхавані, – 1/4 х, квітки, присвячені праведникові, – 6.

Складемо рівняння х-1/3 х-1/5 х-1/6 х-1/4 х=6. Звідки х=120.

Відповідь. 120 квіток.

Задача зі збірника «Рахункова мудрість» (XVII ст.)

Дану задачу наведемо мовою оригіналу:

31. «Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки).»

Розв’язання. 120 гривень = 1200 копійок = 400 алтин. Нехай кількість чоловіків – х, жінок – y.

Одержимо систему рівнянь:

Звідки: х=40, y=80.

Відповідь. Чоловіків було 40, жінок – 120 («мужска полу было 40, женска – 80»).

Задача зі Стародавнього Вавилону (біля 2 тис. р. до н.е.)

32. Довжина і чверть ширини разом становлять 7 долонь, а довжина і ширина разом – 10 долонь. Скільки долонь становлять довжина і ширина окремо?

Розв’язання. Нехай довжина – а долонь, ширина – в долонь.

Одержимо систему рівнянь: Звідки: а=6, в=4.

Відповідь. Ширина – 4 долоні, довжина – 6 долонь.

З народної творчості

33. У клітці знаходяться фазани та кролики. У всіх тварин 35 голів і 94 ноги. Скільки в клітці кроликів і скільки фазанів?

Розв’язання. Нехай кролів – х, фазанів – у. Тоді кількість голів – х+у, що за умовою задачі складає 35. Маємо рівняння: х+у=35 – (1). А кількість ніг: 4х+2у=94 – (2). Отримали систему, що складається з рівнянь (1) і (2):

Відповідь. Кроликів – 12, фазанів – 23.

Зі староіндійської математики (близько 2000 р. до н. е.)

34. Бджоли числом, рівним квадратному кореню з половини числа їх у всьому рої, сіли на кущ жасмину, 8/9 бджіл полетіли назад до рою. І тільки одна бджола з того ж рою кружляла над квіткою лотоса, залучена дзижчанням подруги, яка необережно потрапила в пастку пахучої квітки. Скільки всього бджіл було в рої?

Розв’язання. Нехай х – число бджіл у рої. Тоді маємо . Позначивши , , , звідки

Цим значенням у відповідають такі значення х: Оскільки число бджіл у рої може бути тільки натуральним числом, то в рої було 72 бджоли.

Відповідь. 72 бджоли.

Старовинна китайська задача. Викрадення рису

35. З трьох бочок рису однакової ємності викрадено трьома злодіями деяку кількість рису. Загальна кількість його була невідома, але з'ясувалося, що в першій бочці залишився 1-го рису, у другій 1 шинг 4-го і в третій 1- го. Спіймані злодії показали: перший, що він відсипав рис з першої бочки за допомогою лопати, другий користувався дерев'яним черевиком, а третій мискою, причому вони відповідно брали з 2-ї та 3-ї бочок. Лопата, черевик і миска знайдені на місці злочину. При обмірі їх виявилося, що ємність лопати 1 шинг 9-го, черевика 1 шинг 7-го, миски 1 шинг 2-го. Потрібно дізнатися, скільки викрав кожен злодій.

Довідка. 10 го = 1 шингу, 10 шинг =1 тау, 10 тау = 1 ши.

Розв’язання. Нехай х – число, що виражає, скільки разів відсипали рис лопатою; у – число, що виражає, скільки разів відсипали рис черевиком; z – число, що виражає, скільки разів відсипали рис мискою.

19х +1=17y +14+12z;

19x = 12z;

x = 12z/19.

Оскільки x, y, z – цілі додатні числа, то позначимо z=19t;

17y+13 = 228t.

Оберемо найменше значення t , при якому у буде цілим і додатнім (14);

x = 168;

y = 187;

z = 266.

Отже, злодії поцупили: перший – 3 ши 1 тау 9 шингів 2 го, другий – 3 ши 1 тау 7 шингів 9 го, третій – 3 ши 1 тау 9 шингів 2 го.

Відповідь. Перший – 3 ши 1 тау 9 шингів 2 го, другий – 3 ши 1 тау 7 шингів 9 го, третій – 3 ши 1 тау 9 шингів 2 го.

Задачі, які розв’язуються за допомогою послідовностей

Старовинна індійська задача. Шахова гра

36. Шахова гра була винайдена в Індії. Коли індійський цар Шерам познайомився з нею, він був у захваті від її оригінальності і наказав нагородити винахідника, якого звали Сету.

Я бажаю гідно винагородити тебе, Сету, за прекрасну гру, яку ти придумав, – сказав цар. – Вислови свої бажання, я не пошкодую нічого, щоб виконати його!

Володарю, – відповів Сету, – накажи видати мені за першу клітку шахівниці одне пшеничне зерно, за другу два зерна, за третю 4, за четверту 8, за п'яту 16,за шосту 32 і т.д.

Скільки зерен отримав Сету?

Розв’язання. Всього 64 клітинки на шахівниці. Ми маємо геометричну прогресію з .

Відповідь. 18446744073709551615 зерен.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

37. Купець мав 14 срібних чарок, причому вага чарок зростає в арифметичній прогресії з різницею 4. Остання чарка важить 59 латів. Визначте, скільки важать усі чарки.

Розв’язання.

Відповідь. Усі чарки важать 462 лата.

Задача Ахмеса

38. У будинку 7 кішок, кожна кішка з'їдає 7 мишей, кожна миша з'їдає 7 колосків, кожен колос дає 7 рослин. На кожній рослині виростає 7 зерен. Скільки всіх разом?

Розв’язання. Маємо геометричну прогресію, де Обчислимо суму п’яти перших членів геометричної прогресії: . Разом 19607 предметів.

Відповідь. 19607 предметів.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

40. Один чоловік продавав коня за 156 руб. Але покупець передумав його купувати і повернув коня продавцеві, кажучи при цьому:

- Навіщо мені купувати за таку ціну коня, який стільки не коштує.

Тоді продавець запропонував інші умови:

- Якщо для тебе ціна зависока, то купи тільки цвяхи, якими він підкований, коня ж отримаєш безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 9. За перший цвях дай мені всього 1/4 коп., за другий – 1/2 коп., за третій – 1 коп. і т.д.

Продавець, спокушений низькою ціною і бажаючи задарма отримати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться сплатити не більше 10 рублів. На скільки покупець проторгувався?

Розв’язання. За 24 цвяхи потрібно заплатити:

Приблизно 42000 руб. потрібно заплатити скупому покупцеві.

Відповідь. 42000 руб.

Задача з "Курса чистой математики" Войтяхівського

41. Служивому воїну надана винагорода за першу рану 1 коп., за другу 2 коп., за третю 4 коп. і т.д. Усього воїн отримав 655 руб. 35 коп. Скільки в нього ран?

Розв’язання. Маємо геометричну прогресію: 1,2,4,8,... Знаменник прогресії 2. Сума 65535. . , 2п=65536, п=16.

Відповідь. 16 ран отримав воїн.

Задача з використанням чисел Фібоначчі

Головоломка з «Книги абака» Леонардо Фібоначчі

42. У січні тобі подарували новонароджених кроликів. Через два місяці вони народжують нову пару кроликів. Кожна нова пара кроликів через два місяці після народження народжує нову пару. Питання: скільки пар кроликів у тебе буде в грудні?

Розв’язання. Розв’язуючи цю задачу, можна побачити, що кількість кроликів, народжуваних кожен наступний місяць - це числа Фібоначчі. У січні 1 пара, у лютому 1 пара, у березні 2 пари, в квітні 3 пари, у травні 5 пар, у червні 8 пар, у липні 13 пар, у серпні 21 пара, у вересні 34 пари, у жовтні 55 пар, у листопаді 89 пар, у грудні 144 пари.

Відповідь. 144 пари.

Геометричні задачі

Арифметика давніх китайців (2000 р. до н.е.)

43. У центрі квадратного ставка завширшки 10 кроків росте очерет, що підноситься на 1 крок над поверхнею води. Якщо, стоячи на березі водойми, притягти очерет до середини будь-якої зі сторін, то він торкається краю ставка. Яка глибина ставка?

Розв’язання. За теоремою Піфагора: , звідки х =12.

Відповідь. Глибина ставка – 12 кроків.

Задача арабського математика XI ст. Птахи біля річки

44. На обох берегах річки росте по пальмі, одна навпроти другої. Висота однієї – 30 ліктів, другої – 20 ліктів; відстань між основами – 50 ліктів. На верхівці кожної пальми сидить птах. Раптом обидва птахи помітили рибу, що пливла до поверхні води між пальмами, вони кинулися до неї разом і досягли її одночасно. На якій відстані від основи вищої пальми з'явилася риба?

Розв’язання. За теоремой Піфагора: АВ²=30²+х², АС²= 20²+(50-х)². Але АВ=ВС, тому що обидва птахи одночасно пролетіли ці відстані за однаковий час. Тому 30²+х²= 20²+(50-х)². Звідки х=20.

Відповідь. Риба з’явилась на відстані 20 ліктів від тієї пальми, висота якої 30 ліктів.

Головоломка Перельмана. З шести сірників

45. З шести сірників скласти чотири рівносторонні трикутники, так щоб жодна зі сторін не була коротшою за сірник.

Розв’язання. Дана задача у площині не має розв’язків. Необхідно з 6 сірників скласти піраміду з трикутною основою. Одержимо 4 рівносторонні трикутники з 6 сірників.

Відповідь. Трикутна піраміда.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

46. Наведемо задачу мовою оригіналу: «Случилося некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?»

Потрібно одному чоловіку драбину до стіни приставити, висота стіни 117 стоп. Довжина драбини 125 стоп. На скільки стоп нижній кінець драбини треба від стіни відставити?

Розв’язання. Довжина драбини – гіпотенуза, висота стіни – катет, відступ від нижнього кінця драбини – невідомий катет.

Застосуємо теорему Піфагора: 1252 - 1172 = 442.

Отже, невідомий катет 44.

Відповідь. 44 стопи.

Головоломка Перельмана. Ящик

47. У мене є ящик. Його кришка містить 120 квадратних дюймів, передня стінка – 96 квадратних дюймів, а бічна – 80. Які розміри мого ящика?

Розв’язання. Автор пропонує таке розв’язання задачі:

довжина × ширина = 120;

висота × ширина = 80;

висота × довжина = 96.

Перемножимо перші дві рівності. Одержимо:

довжина × висота × ширина × ширина = 120 × 80.

Розділимо дану рівність на 3-тю рівність:

.

Скоротимо дріб і одержимо:

ширина × ширина = 100.

Отже, ширина = 10 дюймів, висота = 8 дюймів, довжина = 12 дюймів.

Відповідь. Ширина = 10 дюймів, висота = 8 дюймів, довжина = 12 дюймів.

Задачі, які розв’язуються логічними міркуваннями

Задача, яку в юні роки розв’язав Пуассон (1781–1840 рр.)

Ця задача визначила життєвий шлях Пуассона, який присвятив математиці все своє життя.

48. Один чоловік має 12 пінт меду і хоче відлити з цієї кількості половину, але в нього немає посудини місткістю 6 пінт. У нього 2 посудини: одна місткістю 8 пінт, а друга – 5пінт. Яким чином налити 6 пінт у посудину на 8 пінт?

Розв’язання. Основні ходи переливання по 2 посудинах представлені такою таблицею:

8-пінтова посудина 8 3 3 0 8 6 6

5- пінтова посудина 0 5 0 3 3 5 0

Відповідь. У таблиці.

Задача Р. Смалліана

Ця задача цікава і дуже проста. Вона здобула широку популярність.

49. У темній кімнаті стоїть шафа, у ящику якої лежать 24 червоних і 24 синіх шкарпеток. Скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб з них свідомо можна було скласти принаймні одну пару шкарпеток одного кольору?

Відповідь. Зазвичай на це питання дають неправильну відповідь: 25 шкарпеток. Якби в задачі запитувалося, скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб серед них було принаймні 2 шкарпетки різного кольору, то 25 шкарпеток була б правильною відповіддю. Але в нашій задачі мова йде про те, щоб серед узятих з ящика шкарпеток принаймні 2-і шкарпетки були одного кольору, тому правильною є відповідь 3 шкарпетки.

Задача Р. Смалліана. Про залізничний рух

50. Потяг відходить з Бостона до Нью-Йорка. А через годину інший потяг відправляється з Нью-Йорка до Бостона. Обидва поїзди їдуть з однією і тією ж швидкістю. Який з них у момент зустрічі буде на меншій відстані від Бостона?

Примітка: розмірами (довжиною) поїздів можна знехтувати.

Відповідь: Потяги в момент зустрічі будуть на однаковій відстані від Бостона.

Суд Париса

51. Богині Гера, Афродита і Афіна прийшли до юного Париса,  щоб той вирішив, хто з них найпрекрасніша. Поставши перед Парисом, богині стверджували:

Афродита. Я найпрекрасніша. (1)

Афіна. Афродита не найпрекрасніша. (2)

Гера. Я найпрекрасніша. (3)

Афродита. Гера не найпрекрасніша. (4) 

Афіна. Я найпрекрасніша. (1)

Парис, прилігши відпочити на узбіччі дороги, не вважав за потрібне навіть зняти хустку, якою прикривав очі від яскравого сонця. Але богині були наполегливі, і йому потрібно було обирати. Твердження  найгарнішої     з богинь  істинні, а  всі твердження  двох інших богинь помилкові.  Чи міг Парис винести рішення, хто найпрекрасніший серед богинь?

Відповідь. Афродита найвродливіша з богинь, згідно з "суду Париса", оскільки істинними можуть бути твердження 1 і 4, помилковими 2, 3, 5.

Головоломка Перельмана. Задача про розмноження мікробів

52. У банку потрапив 1 мікроб, і через 35 хвилин банка була наповнена мікробами, причому відомо, що кількість мікробів щохвилини подвоювалася. За скільки хвилин банка була наповнена мікробами наполовину?

Відповідь. За 34 хвилини, тому що за 35 хвилин вся банка буде заповнена.

Головоломка Переламана. Рік за три

53. Позавчора Федору було 17 років У наступному році йому буде 20 років. Як таке може бути?

Відповідь. Дане твердження висловлене 1 січня. День народження Феді 31грудня. Позавчора йому було 17. Вчора йому виповнилося18. У цьому році буде 19, а в наступному рівно 20.

Головоломка Перельмана. Зграя качок

54. Летіла зграя качок. Одна попереду, дві позаду, одна позаду і дві попереду, одна між двома і три в ряд. Скільки летіло качок?

Відповідь. Летіли одна за одною три качки.

Картина Богданова-Бельського «Складна задача»

55. Картина Богданова-Бельского «Складна задача» відома багатьом, але мало хто вникав у зміст тієї «складної задачі», яка на ній зображена. Полягає вона в тому, щоб усним рахунком швидко знайти результат (10²+11²+12²+13²+14²):365

Відповідь. 10²+11²+12²=13²+14². Оскільки 100+121+144=365,то на картині вираз дорівнює 2.

Математика – наука молодих. Інакше й не може бути. Заняття математикою – це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молодості.
Н. Вінер

Математичне чаклунство

Багато хто вважає математику нудною і важкою наукою: складні задачки, рівняння, формули… Голова обертом. Проте світ чисел і прикладів набагато цікавіший, ніж здається на перший погляд. Хочеш відчути себе фокусником і викликати захоплення та здивування у друзів? Тоді вперед! Пустунчик покаже Тобі, як математика творить дива.

За допомогою цього фокусу Ти зможеш безпомилково порахувати, скільки братів і сестер у Твоїх знайомих, не питаючи їх про це. Необхідно, щоб спочатку Твій друг (чи подружка) до кількості своїх братів додав число 3 (але тобі результат поки не каже).

Потім отримане число помножить на 5, приплюсує 20, суму помножить на 2.

До результату необхідно додати ще й кількість сестер, плюс число 5.

Він чи вона називають остаточний результат. Тоді справа за Тобою!

Від отриманого числа відніми 75 (звісно, другу про це нічого не кажи). Двозначне число, яке Ти отримаєш, вкаже на склад сім'ї: перша цифра – кількість братів, друга – сестер.

Ось як усе просто!

Фокус з календарем

Вражати друзів за допомогою знань деяких математичних закономірностей дуже просто. Та ще й неабияк цікаво!

Скажіть присутнім, що легко зможете вирахувати суму дев'яти будь-яких чисел, які друзі загадають, не знаючи, що це за числа.

Для цього нехай хтось один відмітить на календарі дев'ять чисел так, щоб вони утворили квадрат, а вам лише назве найменше число із відмічених. І ви одразу, або ж трішки подумавши, назвете суму.

Секрет такий: для цього до названого числа додайте 8, а результат помножте на 9. Наприклад, закреслено так, як показано на малюнку. Отож, найменшою є цифра 3.

Далі робимо таким чином: 3 + 8 = 11, 11 х 9 = 99. Оголошуємо суму – 99.  Ну, тепер нехай друзі додають і перевіряють результат.

Звісно, спочатку необхідно навчитися гарно і швидко рахувати в умі.

Отож вперед вчити математику!

 «Цифрові» картини

Мистецтво з глибоким філософським змістом презентує американська художниця Сієна Моріс.

Її оригінальні картини – це нагромадження чисел від 1 до 12. Спитаєте, чому саме до 12? А тому, що вона використовує цифри тільки із циферблатів годинників, до того ж розбитих, оскільки творчість художниці – не просто малюнки з математичним ухилом. Це філософські роботи про те, як зникають секунди і як четвертий вимір, а саме час, формує три інші.

Сієні 27 років. Більшу частину життя вона присвятила зображальному мистецтву. І тільки три роки тому відмовилася від звичних штрихів і почала малювати числами. Для цієї техніки художниця винайшла власну назву – numberism (числізм)

Філософські картини виникли у результаті стресу. Біда, як говориться, допомогла, хоч і не одразу. Дівчину мучили думки про майбутнє, те, скільки жити їй залишилося і чи встигне вона зробити усе, що запланувала. 

У результаті художниця зрозуміла: поки роздумує, час спливає. Ні мрії про майбутнє, ні жаль за минулим нічого не варті. Необхідно цінувати дійсність, адже іншого шансу «намалювати» картину власного життя не буде. 

Секунди біжать і губляться у потоці нашого існування, як числа на полотнах. І тільки усі разом вони створюють довершене зображення.

Геометрія, з давніх часів до сьогодення

Геометрія завжди мала численні практичні застосування. Основними її споживачами були землеміри, ремісники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, користуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протягом століть правилами, згідно з якими певні геометричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.

Будівельники використовували також правило пропорційного поділу. Ремісникам потрібні були поняття про геометричні фігури та форми, про об'єми геометричних тіл. Використовували вони й правило пропорційного поділу. Завдання художників було складнішим: їм потрібно було відтворити на двовимірній площині те, що відбувається в тривимірному просторі. Для цього їм довелося розробити своєрідну геометрію — рід проективної геометрії.

Потреби розв'язувати задачі фортифікації та оборони фортець зумовили створення в останній чверті XVIII ст. ще однієї галузі геометрії — нарисної геометрії.

Ідеї геометрії — одна з основ, на якій у XIX ст. була фактично створена сучасна теорія проектування будівельних споруд, а також загальне машинобудування.

Геометричні міркування під час виконання багатьох робіт часто бувають вирішальними.

Геометрія допомагає визначати площі різних поверхонь, що важливо не лише для сільського господарства, а й для будівельних робіт, для розрахунків, пов'язаних з пошивом одягу та взуття, з обчисленням витрати палива тощо, знаходити об'єми тіл, які потрібні, наприклад, при розрахунках витрати матеріалів під час будівельних робіт. При будівництві гідротехнічних споруд, створенні системи зрошування земель доводиться визначати кількість води, яка проходить за одиницю часу в тому чи іншому місці каналу. І тут швидкість течії множать на площу поперечного перерізу потоку, тобто знову звертаються до геометрії.

Розрахунки роботи багатьох машин і приладів ґрунтуються на відповідних властивостях геометричних фігур.

Різні вироби як важкої (верстати, двигуни тощо), так і легкої (взуття, головні убори тощо) промисловості випускають кількома серіями. При визначенні розмірів в основу кладуть подібність фігур і властивості прогресій.

При будівництві шляхів заокруглення на поворотах здійснюють за допомогою спеціально дібраних кривих (не лише кола).

Математика вчить чіткості й строгості й чіткості міркувань, учить усвідомлювати всі застосовувані в доведеннях посилання й розрізняти доведене і здогад, виховує вимогливість до повноцінності аргументації. Завдяки своїй строгості математичні теорії є надійним знаряддям у розкритті таємниць природи.

Особливо приємними для зору є геометричні форми, підпорядковані закономірностям так званого золотого поділу (перерізу) — поділу відрізка на такі дві частини, що відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню частин. Величина цього відношення 1,618. Таку величину має відношення діагоналі правильного п'ятикутника до його сторони, зустрічається воно і в інших фігурах.

З поняттям про золотий переріз відрізка були обізнані, мабуть, ще піфагорійці, які вміли будувати правильний опуклий п'ятикутник. Уперше задачу про золотий переріз сформулював Евклід у «Началах» (II книга).

У Стародавній Греції золотий поділ широко використовували як архітектори (Парфенон в Афінах), так і скульптори (статуя Аполлона).

Існує правило, за яким лоб, ніc і нижня частина обличчя красивої людини повинні мати однакові розміри. У людини, обличчя якої здається особливо пропорційним, рот ділить нижню частину обличчя, а дуги брів — усе обличчя в золотому відношенні.

Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за правилом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам, книжкам (коли це, звичайно, не суперечить вимогам практики).

Таким чином, золотий переріз застосовується в таких, здавалося б, віддалених од математики питаннях, як теорія віршування, музика, архітектура, естетика, живопис.

Ми звикли розрізняти навколишні предмети за їх розмірами, кольором, масою тощо. Щоб виявити ці відмінності, потрібні спостереження та вимірювання. Зокрема, внаслідок вимірювання ми робимо висновок, що аркуш учнівського зошита має форму прямокутника з довжиною 20 см і шириною 17 см, причому його розбито на квадрати, у кожного з яких довжина сторони 5 мм.

Такий опис, очевидно, не охоплює всіх особливостей і властивостей аркуша. Тут не сказано нічого, наприклад, про його товщину, колір та якість (зокрема, про те, чи прозорий він, чи можна писати на ньому ручкою, чи тільки олівцем тощо).

Проте саме форма речей та їх розміри й цікавлять геометрію.

Математика, у тому числі й геометрія, є однією з найстародавніших наук. Історія людства налічує понад 2 мільйони років. Вже первісним людям доводилося лічити: треба було визначати, скільки людей в тій чи іншій групі, давати кількісну оцінку здобичі (м'яса, риби, плодів, поживних коренів) тощо.

Не могли люди не звернути увагу також і на форми речей: щоб виготовити наконечник стріли або списа, видовбати човен із стовбура, треба було придивлятися до відповідних форм камінців, стовбурів дерев тощо. Фіксуючи найприйнятніші форми, люди навчилися виготовляти посуд, пристосування для роботи і полювання, обладнувати житло.

З розвитком людського суспільства нагромаджувалися знання про форми і властивості цих форм, що сприяло удосконаленню трудових процесів, пов'язаних з будівництвом каналів, городищ і різних за призначенням великих споруд.

Перехід до осідлого землеробства висунув проблему вимірювання земельних ділянок. З'явилися й перші фахівці у цій галузі — землеміри. Щоб краще виконувати свої професійні завдання, вони змушені були виявляти і вивчати властивості різних форм та фігур.

Грандіозні єгипетські піраміди, дивовижні споруди в Америці, Індії, Китаї, багатьом з яких по кілька тисяч років, свідчать, що вже в сиву давнину люди багато знали про форми речей і вміло використовували ці знання.

Проте це ще не були наукові знання. Математика стала наукою лише в VII—VI століттях до н. е.— з того часу, коли в ній почали не лише описувати фігури та їх властивості, а й обґрунтовувати наявність цих властивостей, доводити правильність висловлених про ці фігури тверджень.

Значно раніше від того часу з'явилися посібники для вивчення математики.

Але всі вони являли собою певні набори задач (здебільшого практичного змісту) з вказівками щодо того, як знайти невідоме число — кількість речей, відстань, час, площу і т. п. І зовсім не пояснювалося, чому слід робити саме так, а не інакше. Просто подавався зразок, за яким треба було розв'язувати аналогічні задачі.

Тепер становище докорінно змінилося: на перше місце висувається обґрунтування правильності розв'язування, доведення. За 600 років до н. е. такий підручник з геометрії нового типу написав грецький вчений Фалес Мілетський (640-548 до н. е.). Він був філософом-матеріалістом, астрономом і математиком, його вважали одним з найвидатніших мудреців стародавніх часів, двічі нагороджували золотою триногою як наймудрішого з еллінів. Підручник Фалеса був невеликим за обсягом, але саме з нього починається історія геометрії як науки. Кожне твердження про геометричні фігури Фалес обґрунтовує. Відтоді математики саме так оформлюють свої міркування. Через це Фалеса з повною підставою називають батьком геометрії.

Автор біографій багатьох видатних діячів стародавніх часів Плутарх писав, що Фалес був єдиним ученим, який у своїх дослідженнях «пішов далі того, що було необхідним для практичних потреб».

Уже за часів Фалеса геометрія займалася не лише вимірюванням земельних ділянок, проте назва її (вона походить від грецьких слів — «земля» і — «вимірювати») передає саме це первісне її призначення. У підручнику Фалеса було порівняно небагато математичних тверджень. Але вчені, які працювали після нього, продовжували розвивати геометрію.

Серед учених-геометрів особливе місце належить грецькому математику Евкліду (IV-III ст. до н. е.). Близько 300 р. до н. е. він написав твір під назвою «Начала», у 13 книгах якого систематизував математичні знання того часу, подавши їх у стрункій системі. «Начала» Евкліда протягом двох тисяч років вважали зразком наукового твору взагалі і перевидавали різними мовами понад 500 разів.

Побудова геометрії і в наш час багато в чому здійснюється за планом Евкліда, а геометрію, яку ми вивчаємо, називають евклідовою. До XIX ст. у школах ряду країн геометрію взагалі вивчали за «Началами» Евкліда, Дещо переробивши їх. Сучасні підручники, хоч і мають істотні відмінності од «Начал», доведення багатьох теорем подають в основному за Евклідом.

Термін «точка» походить від дієслова «ткнути», первісний зміст — наслідок миттєвого уколу (латинське pungo — «колю»). Термін «лінія» походить від латинського Ііnеа, Що означає «лляна нитка». Спочатку під лінією розуміли тільки пряму (натягнену нитку, вірьовку), але вже в IV ст. до н. е. поняття лінії розширилося, і пряму вважали лише одним з видів ліній.

Градусне вимірювання кутів з'явилося у вавілонян приблизно 45 віків тому. Перехід до осідлого землеробства обумовив потребу ведення календаря, а він міг базуватися лише на даних астрономії. Тому не випадково у Вавілоні велися систематичні спостереження за сузір'ями і планетами, за їх видимими переміщеннями по небесній сфері. При цьому помітили, що діаметри видимих кругів У Сонця і Місяця майже однакові, причому в половині кола, яке описують над горизонтом, вкладаються 180 раз. Це і привело до думки поділити розгорнутий кут на 180 рівних частин.

До XVII століття у грецьких і європейських математиків йшлося лише про кути, не більші від розгорнутого. Вчення про кути довільної величини з'явилося значно пізніше.

Термін «градус» — походить від латинського gradus, буквально означає «крок». Сучасні позначення градусів та їх частин (мінут, секунд) увів в 1558 р. французький лікар і математик Пелетьє. На початку XVII століття вони вже широко розповсюдилися.

У Франції ввели поділ прямого кута на 100 рівних частин, які назвали градами. Град поділяється на 100 метричних мінут, а метрична мінута на 100 метричних секунд. Такі одиниці вимірювання використовують також у Бельгії, Голландії, Люксембургу.

Моряки поділяють розгорнутий кут на 16 рівних частин — румбів.

У військовій справі розгорнутий кут поділяють на 30 частин, які називають великими поділками кутоміра. Велика поділка кутоміра поділяється на 100 малих, так званих тисячних.

Вимірюють кути (у градусах та їх частинах) за допомогою звичайного транспортира, про який розповідається в навчальному посібнику. Використовують і досконаліші транспортири, які дозволяють вимірювати кути з більшою точністю (до 6').

При вимірюванні кутів на місцевості використовують спеціальні кутомірні інструменти — теодоліт, гоніометр, астролябію та ін.

Моделі суміжних кутів відомі людям давно. Уявлення про такі кути складається під час розгляду шляхів або каналів, які перетинаються, при спорудженні внутрішніх стін будинків тощо. Проте тривалий час основну властивість суміжних кутів практично не використовували. До XVIII ст. в підручниках окремо доводили, що у рівнобедреного трикутника рівні кути при основі, а також рівні зовнішні кути при основі.

Суміжні кути пов'язані ще з одним означенням прямого кута (перше полягало в тому, що це кут, градусна міра якого 90o): прямим кутом називається кут, який дорівнює своєму суміжному.

Після цього очевидний перехід до перпендикулярних прямих.

Термін «перпендикуляр» походить від латинського perpendre — зважувати і пізнішого perpendiculum — важок, висок.Перед вивченням цієї теми доцільно пояснити учням, чому питанням рівності фігур приділяється така велика увага.Масове промислове виробництво пов'язане із стандартизацією. Зокрема, встановлюються розміри окремих деталей і зазначаються допустимі відхилення від них. Саме тому, наприклад, гайки, виготовлені в певному цеху, можна використовувати не лише для якогось конкретного автомобіля, а для будь-яких автомобілів, де є болти такого самого діаметра. Щоб стандартів було додержано, на кожному підприємстві є служба контролю, працівники якої стежать за тим, щоб кожна деталь і весь виріб в цілому мали встановлені розміри. Контроль здійснюється не на око і не прикладанням однієї деталі до другої (або до еталону) — існує контролююча апаратура (відповідні інструменти і пристрої), розроблено прийоми і методи контролю.

Трикутник є однією з найпоширеніших геометричних фігур, у багатьох технічних виробах використовуються трикутні деталі або їх частини. Порівнювання двох трикутників часто є елементом порівнювання двох складніших геометричних фігур.

Порівнювати за розмірами дві геометричні фігури накладанням не тільки не просто, а в реальних умовах іноді взагалі нездійсненно. Саме тому порівнювати геометричні фігури потрібно геометричними методами.

ЦІКАВА ГЕОМЕТРІЯ


ЧОРНИЙ КВАДРАТ»

У геометрії відома чудова теорема угорського математика Фаркаша Бойаї: якщо два многокутники рівновеликі (тобто мають рівні площі), то завжди можливо один з них розрізати на кінчену кількість таких многокутників, з яких може бути складений другий. Це значить, що якщо взяти, наприклад, квадрат, то без усякої втрати площі можна його перетворити в правильний п'ятикутник або правильний шестикутник, в один або кілька рівносторонніх трикутників і т.д. Таке перекроювання квадрата в іншу фігуру може бути здійснено не єдиним способом, але буде потрібно виявити велику спритність і винахідливість, щоб знайти хоча б один підходящий спосіб. Привабливість цих задач - у можливості різних рішень. Одні з них, вирішені ще в далекій давнині, одержали згодом кращі рішення. Інші - дотепер мають "спортивний" інтерес і нерідко фігурують на математичних олімпіадах.

Вправи в конструюванні фігур з частин квадрата є не тільки корисною геометричною забавою, але і мають практичний сенс: вони можуть допомогти в раціональному розкрої матеріалів, у використанні так званих "відходів" - обрізків шкіри, тканини, дерева і т.п., для перетворення їх у корисні речі. Відомо багато прикладів величезної економії, досягнутої виробниками за рахунок продуманої зміни розкрою промислових матеріалів.

У вмілих руках допитливої людини самий звичайний квадрат стає дивною геометричною фігурою. Він може весь без залишку перетворитися в іншу фігуру або в кілька інших фігур правильної або неправильної форми. Але для кожного перетворення попередньо повинний бути розрізаний на визначені частини. У складанні будь-якої фігури (за винятком особливо обговорених випадків) повинні брати участь усі частини квадрата.

Дуже дотепно розрізав квадрат (чорний квадрат) ще кілька тисяч років тому китайський вчений Та-нг (див. рис. 1). Ймовірно, ці частини квадрата спочатку служили для демонстрації геометричних фігур. З частин чорного квадрату легко скласти прямокутник, паралелограм, трапецію і т.д.

Рис. 1. Чорний квадрат

З часом було замічено, що з цих частин можна скласти безліч фігур-силуетів самої вигадливої форми, уживаючи для складання кожної фігури всі сім частин квадрата. Так створилася захоплююча гра-головоломка "танграм", що одержала широке поширення в Китаї. Там ця гра відома також широко, як у нас шахи. Улаштовуються навіть спеціальні змагання на складання найбільшої кількості фігур з найменшою витратою часу. Переможці одержують спеціальні призи.

Надалі пропонується з усіх частин чорного квадрату скласти двадцять три фігури, нижче зображених.

Головоломка

Розв’язок головоломки

Рис. 2. Місток

Рис. 3. Кепка

Рис. 4. Молоток

Рис. 5. Револьвер

Рис. 6. Вісімка

Рис. 7. Кішка

Рис. 8. Журавель

Рис. 9. Заєць

Рис. 10. Кенгуру

Рис. 11. Страус

Рис. 12. Гусак

Рис. 13. Курка

Рис. 14. Риба

Рис. 15. Порося

Рис. 16. Вершник

Рис. 17. Молода жінка

Рис. 18. Жінка у дзеркала

Рис. 19. Жінка похилого віку

Рис. 20. Жінка з хусткою

Рис. 21. Будинок

Рис. 22. Свічка

Рис. 23. Паровоз

Рис. 24. Трубка

Задачі на відсотки та норми харчування.

Мета: повторити з учнями основні задачі на відсотки на прикладах, пов’язаних з нормами здорового харчування. Розвивати інтерес учнів до задач практичного спрямування та вчити практичному застосуванню математичних задач. Виховувати відповідальне ставлення до власного здоров’я, необхідність уважного ставлення до харчування як невід’ємної складової здорового способу життя.

Три задачі на відсотки

Алгоритми

Задача

Знаходження (%)

від числа

  1. Виразити (%) дробом

  2. Число (*) на цей дріб

Знайти 20% від 35г

20% = 0,2

35*0,2= 7(г)

Знаходження числа за (%)

  1. Виразити (%) дробом

  2. Число(:) на цей дріб

Знайти число ,20% якого становить 35

35:0,2= 350:2=175

Знаходження відсоткового відношення числа

  1. Знайти відношення чисел

  2. (*) його на 100%

Скільки % становить 18 від 36

18:36*100%= 50%

Тренувальні вправи

Задача 1. Вода – важлива складова кожного живого організму. Організм дорослої людини на 65% складається із води. Скільки води містить організм людини масою 50кг?

50*0,65=32,5(кг)

Задача 2. Вода необхідна людині для розчинення поживних елементів, виведення зайвих речовин, регуляції температури тіла. Відомо, що без їжі людина може прожити 30- 40 днів, а без води лише 10% цього часу. Скільки днів може прожити людина без води?

30*0,1=3 дні

40*0,1=4 дні

Відповідь: 3-4 дні

Задача 3. Добова потреба у воді дітей 11-14 років становить 45г на 1кг маси тіла. Скільки склянок по 200 грамів поступає при харчуванні у ваш організм ? Який це відсоток від норми.

Учень ,масою 45кг, випиває 4 склянки рідини.

Розв’язання

45*45=2025(г) - води необхідно,

200*4= 800(г) – поступає води,

800:2025*100%= 40%

Недостатня кількість води призводить до порушення водно-сольового обміну речовин, що є причиною багатьох захворювань нирок, серцево-судинної системи і вцілому організму.

Задача 4.

Їжа людини складається з білків, жирів та вуглеводів. Поживні речовини засвоюються організмом не повністю. Це залежить від стану здоров’я, якості їжі, її приготування, зовнішнього вигляду, запаху, смаку, обстановки та настрою. Білки засвоюються на 94,5%, жири на 0,9% більше, а вуглеводи на 2% краще білків. Мінеральні речовини на 14,5% гірше білків. На скільки відсотків засвоюються поживні речовини?

  1. 94,5+0,9=95,4(%)- засвоюються жири

  2. 94,5+2=96,5(%)- засвоюються вуглеводи,

  3. 94,5-14,5=80(%)- засвоюються мінеральні речовини.

Задача 5.

Білки містяться у м’ясі, рибі, молоці, яйцях, сирі, а вуглеводи у крупах, хлібові, цукрі і т.д. Співвідношення білків, жирів та вуглеводів у раціоні школяра повинно бути 1:1:4.

Скільки відсотків білків, жирів та вуглеводів повинен містити раціон харчування?

  1. 1+1+4=6(ч.) – становить раціон,

  2. :6= 162/3(%) – білки і жири,

  3. 162/3*4=662/3(%) – вуглеводи.

Задача 6.

Вранці потреба у поживних речовинах не велика. Вона підвищується протягом дня. Перший сніданок повинен становити 35% всього раціону доби, а другий на 10% 100менше, обід повинен становити 40% раціону. Скільки % повинна становити вечеря?

  1. 25-10=15% - другий сніданок;

  2. 25+15+40=80%- сніданок та обід;

  3. 100-80=20%- вечеря

Задача 7. Обід школяра повинен обов’язково складатися з першого(суп, борщ), другого (м’ясне, рибне, овочеве). Перше обов’язково повинно бути рідким, що підвищує засвоєння другого блюда на ¼. На скільки відсотків підвищує засвоєння другого суп?

¼*100=25%

Задача 8. Вітамін В2 (рибофлавін) сприяє росту організму. Його недостатність викликає запалення слизових оболонок( очей, куточків рота) та шкіри (вугрі). Найбільше його у хлібові, м’ясі, молоці, яйцях. На 65% потреби у рибофлавіні задовольняються хлібом. Скільки чорного хліба треба з’їдати за добу, якщо при 100% задоволенні потреби

рибофлавіну його треба 300г?

300*0,65=195(г)

Задача 9. Обід школяра повинен містити білків 35г, жирів на 20% більше, а вуглеводів на 500% більше. Скільки грамів жирів і вуглеводів повинен становити обід?

  1. 25*0,2=5(г)

  2. 25+5=30(г)- жирів

  3. 25*5=125(г)

  4. 125+25=150(г)- вуглеводів

Цікава математика у розв’язках і міркуваннях

Вiд якостi, глибини i обсягу знань якими оволодiває пiдростаюче поколiння, значною мiрою залежить дальший прогрес нашого суспiльства.

І тому сьогоднi актуальною стає проблема навчити учнiв мислити, розв’язувати задачi не лише стандартнi, а й такi що вимагають певної незалежностi мислення, творчих пошукiв оригiнальностi, винахiдливостi.

В таких задачах учнi не знають заздалегiдь нi способу їх розв’язання, нi того, на якому навчальному матерiалi ґрунтується розв’язання. Щоб виконати таку вправу, треба всебiчно врахувати взаємозв’язки між даним i шуканим, правильно оцiнити окремi компоненти завдання, поданого в нестандартнiй формі, зрозумiти властивостi величин та залежностi мiж ними, якi безпосередньо не зазначенi в умовi, але випливають з певних закономірностей, причинних залежностей.

Задачi логiчного спрямування стимулюють дiтей до активної розумової дiяльностi, до творчого пошуку, розвиваютъ логiчне мислення, кмiтливiсть, комбiнаторнi здiбностi, а головне — сприяють усвiдомленню математичних закономiрностей, формуванню навичок свiдомого вибору дiй, практичних умiнъ i загалом пiдвищують культуру мислення.

Досвiд показує, що сильнi учнi з iнтересом розв’язують такi задачi, виявляють творчу самостiйнiсть, насолоджуються радiстю перемоги. А емоцiї, викликанi розв’язуванням нестандартних творчих задач, пережитi людиною в шкільному вiцi, можугь пробудити у неї смак до розумової дiяльностi, залишити свiй слiд в розумі i характерi людини на довгi роки, а може бути, i на все життя.

1. Половину вiдстанi вiд села до мiста велосипедист проїхав зi швидкiстю

20 км/годину, а другу половину вiдстанi — зi швидкiстю 10 км/годину. На зворотньому шляху iз мiста вiн їхав так, що половину часу, за який повернувся iз мiста в село, вiн проїхав зi швидкiстю 20 км/годину, а другу половину часу рухався зi швидкiстю 10 км/годину. Коли велосипедист проїхав весь шлях швидше: iз села в мiсто чи навпаки?

Розв’язування. При поїздцi iз села в мiсто зi швидкiстю 20 км/год (бiльшою) велосипедист проїхав тiльки половину вiдстанi. А на зворотньому шляху в село з такою ж швидкiстю (бiльшою) вiн проїхав половину всього часу. Отже, зворотнiй шлях велосипедист проїхав швидше, тобто, за менший промiжок часу.

2. Два села знаходяться на одному i тому ж березi рiчки. Дорога, яка з’єднує їх, проходить вздовж рiчки. З одного села в iнше одночасно вiдправились велосипедист i човняр. Швидкiсть велосипедиста i лодки в стоячiй водi однаковi. Швидкiсть велосипедиста на всьому шляху не змiнювалась, а плин рiчки змiнював швидкiсть руху лодки. Тривалiсть зупинок i у велосипедиста, i у човняра була однаковою. Хто швидше повернувся назад?

Розв’язування. Лодка за течiєю йшла менше часу, нiж проти течiї, тому лодка зi зменшеною швидкiстю йшла бiльше часу, нiж зi швидкiстю збiльшеною, а швидкiсть велосипедиста не змiнювалась. Вiн повернувся назад швидше човняра.

3. У лютому одного року понеділки тричі припадали на непарні числа. Яким днем тижня було 25 лютого?

Вказівка: сума двох непарних чисел є парним числом, а парного і непарного – непарним.

Міркування. У тижні 7 днів. Якщо один понеділок припав на непарне число, то наступний на парне і т. д. Щоб три понеділка припали на непарні числа, необхiдно, щоб у лютому було 5 понедiлкiв. Це можливо лише у високосному роцi, тобто коли у лютому 29 днiв. У цьому випадку понедiлки будуть 1, 8, 15, 22, 29 лютого. Тодi 25 лютого — четвер.

4. Лев може з’їсти вiвцю за 2 год., вовк — за 3 год., а собака — за 6 год. За який час вони разом з’їли б вівцю?

Мiркування: Лев —2 год.

Лев — за 6 год. — 3 вiвцi.

Вовк — 3 год.

Вовк — за 6 год. —2 вiвцi.

Собака —6 год.

Собака — за 6 год. —1 вiвцю.

За ? год. — 1 вiвця

Разом за 6 год. — 6 овець

а за 1 год. — 1 вiвця

Вiдповiдь: за 1 годину.

5. У Андрiя i Бориса разом 11 горiхiв. У Андрiя i Володі — 12 горiхiв, у Борi i Володі — 13 горiхiв. Скiльки всього горiхiв у Андрiя, Бориса i Володі разом.

Мiркування 1: Позначимо кiлькiсть горiхiв у Андрiя — А, у Бориса — Б, у Володі — В. Тодi умову задачi можна записати трьома рiвностями:

А + Б = 11

А + В = 12

Б + В = 13

Склавши рiвностi (1), (2) i (3), отримуємо:

2А + 2Б + 2В = 11 + 12 + 13 = 36.

Звiдси, А + Б + В = 36 : 2 = 18 горiхiв.

Мiркування 2: iз рiвностi (1) i (2) видно, що у Вови на один горiх бiльше, нiж у Борi: 12 – 11 = 1 (горiх). Так як у Вови i Бориса разом 14 горiхiв, то можна взнати, скiльки у них було б горiхiв, якби у Вови було стiльки ж горiхiв, скiльки i у Бориса: 13 — 1 = 12 (горiхiв). Тодi у Вови 6 + 1 = 7 (горiхiв), а у Андрiя 11 – 6 = 5 (горiхiв), а у всiх разом 5 + 6 + 7 = 18 (горiхiв).

6. Один володар, бажаючи випробувати двох мудрецiв сказав їм: “Перед вами 3 ковпаки. Один — чорний i два бiлих. Вам надiнуть по ковпаку. Менi цiкаво знати, хто догадається першим, якого кольору у нього ковпак”. Пiсля цього вiдвели мудрецiв в темну кiмнату i там надiли їм на голови по бiлому ковпаку. Потiм привели їх назад. Довго вони дивились один на одного. Нарештi один з них вигукнув: “На менi бiлий ковпак!” Як розмiрковував цей мудрець?

Мiркування мудреця: Якщо на менi чорний ковпак, то iнший мудрець вигукнув би, що на ньому бiлий ковпак, але вiн мовчав. Значить, на менi бiлий ковпак.

7. На запитання, скiльки важить рибина, рибалка вiдповiв: “Хвiст важить 150г, голова стiльки, скiльки хвiст i половина тулуба, а тулуб - скiльки голова i хвiст разом. Скiльки важить цiла рибина?

Мiркування: Вага голови дорiвнює вазi хвоста плюс (+) половина ваги тулуба. Із умови задачi виходить, що вага тулуба дорівнює вазi хвоста плюс (+) половина ваги тулуба, плюс (+) вага хвоста. Значить половина ваги тулуба дорiвнює вазi двох хвостiв, тобто 150 х 2 = 300г, а весь тулуб важить 600г i тодi вага голови дорiвнює: 150 + 300 + 450г.

Тодi вага риби дорiвнює: 450 + 600 + 150 = 1200г = 1кг 200г.

8. “Як лисиця i вовк рибу дiлили”.

Лисиця i вовк роздобули багато риби.

- Давай, вовче, подiлимо рибу порiвну, - говорить лисиця.

- Давай! Тiльки я в математицi слабкий, дiли ти, лисиця.

Кинула лисиця вовковi 1 рибу, а собi 2.

- Ось тобi, вовче, одна рибка, а менi двi.

- А чи не мало?

- Слухай далi. Тобi 3, менi 4, тобi 5, менi 6, тобi 7, менi 8.

Роздiлила лисиця всю рибу, кожного разу почергово збiльшуючи рибу на одну. (Останнiй раз кинула собi лисиця 20 штук i на цьому риба закiнчилась.) Задоволений вовк думає, що порiвну роздiлили.

- А як, по-вашому, хто бiльше отримав риби i на скiльки?

Розв’язування І спосiб:

Вовк отримав:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (1 + 19) + (3+ 17) + (5+ 15) +

+ (7 + 13) + (9 + 11) = 20 х 5= 100 рибин.

Лисицi дiсталося:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 = 14 + 16 + 18 + 20 = (2 + 20) + (4 + 18) = (6 + 16) +

+ (8 + 14) + (10 + 12) = 22 х 5= 110 рибин.

Лисиця отримала на 10 рибин бiльше.

Розв’язування II спосiб:

Ця задача на рiзницеве порiвняння: лисиця щоразу кидала собi на одну рибину бiльше, всього кидала 10 разiв i тому отримала на 10 рибин бiльше.

9. В Аравії помирав старий чоловiк. Все своє майно, 17 верблюдiв, вiн

заповiдав синам, причому старший мав одержати половину, середнiй — третину а найменший — дев’яту частину. Пiсля смертi батька сини не знали,

що робити, бо 17 не дiлилося без остачi нi на 2, нi на 3, нi на 9.

Довго сперечалися брати, аж тут пiд’їхав до них на верблюдi мудрець. Довiдався про суперечку i дав братам мудру пораду, яка й допомогла роздiлити майно так, як заповiв батько. Що то була за порада?

Мiркування: Мудрець вiддав братам свого верблюда, верблюдiв стало 18. Тодi їх подiлили вiдповiдно до батькового заповiту. Старший одержав 9, середнiй 6, молодший 2. Усього 17. А мудрець забрав свого верблюда й поїхав далi.

10. Чоловiк, жiнка i двоє дiтей повиннi переправитись на протилежний берег рiчки при допомозi човна. Чоловiк i жiнка важать по 100кг, а дiти по 50кг. Як їм бути, коли човен вмiщає до 100кг i кожен з них вмiє веслувати.

Мiркування. Спочатку переправляються двоє дiтей. Один з них вертається, пiсля цього переправляється батько. Друга дитина повертає човна. Знову переправляються двоє дiтей i один з них повертає лодку. Переправляється мати, а дитина знову повертає лодку. Двоє дiтей знову переправляються разом на другий берег.

11. По вулицi йшла дiвчинка. Зустрiвши дiдуся, вона привiталась. Дiдусь сказав: “Добрий день, маленька дiвчинко!” Дiвчинка заперечила, що вона не мала, i коли дiдусь запитав скiльки їй рокiв, то вона вiдповiла: в 2рази молодша мами, а мама на 5 рокiв молодша батька. Разом нам 60 рокiв”. Скiльки рокiв дiвчинцi?

Мiркування: Роки дiвчинки приймемо за 1 частину, тодi роки мами складуть двi частини, а батька — двi частини + 5 рокiв. І так, п’ять частин складають 55 рокiв, а на одну частину припадае 55 : 5 = 11 рокiв.

12. Висота дуба 20м. За день мурашка пiднiмається по ньому на 5м вверх, а за нiч спускається на 4м вниз. За скiльки днiв мурашка доповзе до вершини дуба?

Мiркування: За 16 днiв. За кожнi з перших 15 дiб мурашка пiднiмався на 1м. Отже, за 15 дiб вiн пiднявся вверх на 15м. А за 16-й день мурашка пiднiметься ще на 5м i досягне вершини.

13. Математик, опинившись випадково в невеличкому мiстечку i бажаючи хоч як-небудь провести час, вирiшив пiдстригтися. В мiстечку було лише 2 майстра (у кожного своя перукарня). Заглянувши до одного майстра, математик побачив, що господар недбало пiдстрижений. В салонi другого майстра було iдеально чисто, а власник його бездоганно акуратно пiдстрижений. Подумавши, математик вiдправився стригтись до першого перукаря. Пояснiть причину дивного, на перший погляд, рiшення математика.

Мiркування: Оскiльки в мiстечку лише 2 перукаря, кожен майстер змушений стригтись у другого. Математик вибрав того з майстрiв, хто краще пiдстриг свого конкурента.

14. Який зараз день і котра година, якщо вiд дев’ятої години суботнього вечора хвилинна стрiлка годинника зробила рiвно 40 обертiв?

Мiркування: Кожний оберт хвилинна стрiлка робить за одну годину, а 40 обертiв — 40 годин. Через добу (24 години) була недiля, 9 годин вечора, а ще через 3 години — 12 годин ночi, пiсля чого почався понеділок. Таким чином, до дванадцятої години ночi пройшло 27 годин (24 + 3 = 27), залишилося 13 годин (40 — 27 = 13) на понеділок. Отже, маємо 1 годину дня, понеділок.

15. У класi 37 учнiв. Чи знайдеться такий мiсяць року, у якому вiдзначатимуть свiй день народження не менш як 4 учнi цього класу?

Мiркування: Якщо в кожному мiсяцi вiдзначатимуть день народження

3 учнi, то за рiк таких учнiв буде 36 (3 х 12 = 36). У класi є 37 учнiв. Отже, в

одному мiсяцi день народження вiдзначатимуть 4 учнi. Якщо хоч в один з

мiсяцiв вiдзначатимуть день народження менш як 3 учнi, то обов’язково буде

й такий мiсяць, у якому вiдзначатимуть день народження бiльш як 4 учнi.

16. Три недiлi одного місяця припадають на непарнi дати. Причому одна з них — на 17 число. Скiльки днів у цьому мiсяцi?

Мiркування: Якщо одна недiля 17-го числа, то наступна — 24-го. До 17-го числа неділi були 10-го i 3-го. Таким чином, з 3-го до 24-го недiлi припадають на 2 непарнi дати, а тому третя недiля, яка припадає на непарну дату, буде 31-го числа. Отже, у мiсяцi 31 день.

17. Шість однакових бочок умiщують 28 відер води. Скiльки вiдер води уміщують 15 таких бочок?

Мiркування: 15 бочок можна подати як 6 бочок + 6 бочок + 3 бочки. 6 бочок умiщують 28 вiдер води. Тодi 3 бочки вмiщують 14 вiдер води. Отже, 15 бочок уміщують 70 вiдер води.

18. В недiлю рибалка ловив рибу 3 рази: вранцi, вдень i ввечерi. Весь улов - 3кг, причому, вранцi вiн зловив в 3 рази бiльше, нiж увечерi, а вдень стiльки ж, скiлъки і ввечерi. Скiльки риби зловив рибалка вранцi i ввечерi?

Мiркування: Вилов риби ввечерi — одна частина, вранцi — три частини, а вдень — одна частина. Отже, весь улов складає 1 + 3 + 1 = 5 частин; 3кг = 5 частин, тодi на одну частину припадає 3000 : 5 = 600г (це вечiрнiй улов),

600 х 1800г (ранiшнiй улов).

19. На уроках домоведення дiвчатка навчились пiдсмажувати шматочки хлiба. Пiдсмаживши одну сторону шматочка, на що йде 2 хв., його перевертають на другу сторону i смажать ще 2 хв. Сестра вирiшила пригостити нас 3 шматочками, але на сковорiдку можна положити тiльки 2 шматочки. Але вона не розгубилась і пiдсмажила 3 шматочки за 6 хв. Яким чином вона це зробила?

Мiркування: Через 2 хв. дiвчинка перевернула один шматочок, а на мiсце другого положила третiй шматочок. Через 4 хвилини перший шматочок зняла, третiй перевернула i положила на другу сторону другий шматочок.

20. Сашко витрачає на дорогу в школу 12 хвилин, а Марiйка 18 хв. Через 3 хвилини пiсля виходу Марiйки до школи вийшов Сашко. Через який час вiн її наздожене?

Мiркування: На пiвшляху. Оскiльки Марiйка витрачає на дорогу в школу в пiвтора рази бiльше часу, нiж Сашко, то через 6 хвилин Сашко її наздожене, пройшовши половину шляху а Марiйка за той самий час також пройде половину всього шляху.

21. Свiтлана припинила читати книжку на 53-й сторiнцi і звернула увагу на те, що перша сторiнка, з якої вона почала сьогоднi читати, має номер, вiдмiнний вiд 53, але записаний тими самими цифрами. Скiльки сторiнок вона сьогоднi прочитала?

Мiркування: Перша сторiнка, яку Свiтлана сьогоднi прочитала, має номер 35. Отже, сьогоднi вона прочитала 53 - 34 = 19 сторiнок.

Задачі в цьому розділі передбачають виконання вправ на:

розрізання геометричних фігур та складання нових ( відповіді надаються);

складання сірників.

1. Розріжте прямокутник зі сторонами 9 см і 4 см на дві частини так, щоб із них можна було скласти квадрат

2. Розріжте фігуру трьома прямими лініями і складіть із неї трикутник

3. Розріжте прямокутник 3 х 4 на 2 рівні частини. Знайдіть кілька способів

4. Розріжте трикутник на два трикутники, чотирикутник й пятикутник, провівши дві прямі лінії.

5. Виріжте з цієї фігури таку частину, щоб приклавши її до частини, яка залишилася, отримати квадрат, всередині якого – квадратний отвір.

6. Розріжте довільний трикутник на три частини, такі, щоб з них можна було скласти прямокутник.

7. Розділіть фігуру на шість частин, провівши лише дві прямі.

8. Розділіть фігуру на чотири частини, провівши одну лінію.

9. Розділіть фігуру на чотири частини, провівши одну лінію.

ЗАВДАННЯ З СІРНИКАМИ

1. Покладіть на стіл три сірника. Більше сірників немає, й неможливо ламати ці сірники. Чи можливо зробити з трьох сірників чотири?

2. До трьох сірників, додали ще два. Скільки отримали? Як отримати з них вісім?

3. Складіть з чотирьох сірників квадрат. Додайте ще два – поламаних навпіл сірника. Скільки квадратів можливо отримати? А в нас вийшло три…

4. Як з дробу , переклав один сірник отримати

5. Як з тринадцяти сірників скласти метр?

6. Перекласти сірник так, щоб рішення було вірним.

7. Перекласти 2 сірника так, щоб отримати чотири однакових квадрата.

8 . З сірників скласти вірні рівняння. Треба в кожному з них перекласти один сірник так, щоб отримати також вірні рівняння.

Конкурс ерудитів

Мета

  • Перевірити вміння учнів застосовувати набуті знання у нестандартних ситуаціях;

  • продовжити розвивати уміння працювати самостійно, активізувати розумову діяльність учнів, розвивати бажання застосовувати набуті знання для досягнення поставленої мети;

  • прищеплювати любов до математики.

Обладнання. Вислови видатних людей про математику, малюнки, картки, таблиці.

Завдання для конкурсу.

  • Супутник Землі робить один оберт за 1 год. 40 хв. і в другий оберт за 100хв, Як це пояснити? ( 1 год, 4О хв. = 1ОО хв.)

  • З Києва до Львова виїхав поїзд зі швидкістю 5О км/год, а зі Львова до Києва виїхав поїзд зі швидкістю 60 км/год. Який з поїздів буде далі від Києва в момент зустрічі? (В момент зустрічі поїзди будуть на однаковій відстані від Києва)

  • Двоє учнів грали в шахи дві години. Скільки часу грав кожний учень окремо? ( Дві години)

  • Трійка коней пробігла ЗО км. Яку відстань пробіг кожен кінь? (30 км.)

  • Який знак потрібно поставити між двома двійками, щоб одержати число більше за 2, але менше від 3? (Кому: 2,2) .

  • Три різних числа спочатку додали, потім їх же перемножили, сума і добуток виявились рівними. Які це числа?

1+2+3=1*2*3

  • Від шматка тканини довжиною в 200 м кожний день відрізували по 20 м. Через скільки днів відрізали останній шматок? (Через 9 днів)

  • По стеблу рослини, висота якої 1 м. лізе гусінь. За день вона

піднімається на 4 дм, а за ніч опускається на 2 дм. На який день гусінь буде на вершині? (На четвертий день)

  • Книга в обгортці коштує 1 грн. 20 коп. Скільки коштує книга, якщо вона на 1 грн. дорожча за обгортку? (1 грн. 1О коп.)

  • Одне число в чотири рази більше від другого. Сума цих чисел 20. Знайди менше число. (Чотири)

  • Цеглина важить 2 кг і ще пів цеглини. Скільки важить цеглина? (4 кг)

  • Гарбуз важить 2 кг і ще 2/3 гарбуза: Яка маса всього гарбуза? (6кг)

Гра «Кожній руці — своя робота»

Гравцям дають аркуш паперу і в кожну руку олівець. Завдання: лівого рукою накреслити три трикутники, а правою — три кола.

  • У воді була десята сходинка шнуркової корабельної драбини . Почався приплив, вода за годину підіймалась на 30 см. Між сходинками драбини відстань 15 см. Через скільки годин вода закриє шосту сходинку? ( Цього не станеться. Корабель підіймається разом з водою).

  • Електропоїзд їде зі сходу на захід зі швидкістю 60 км за год. В тому ж напрямку — зі сходу на захід дме вітер, але зі швидкістю 50 км за год. В який бік відхилиться дим поїзда? ( Електропоїзд їде без диму).

  • Два в квадраті—чотири, три в квадраті—дев”ять. Чому дорівнює кут в квадраті? (Дев'яносто градусів).

  • Величина кута ЗО градусів. Чому дорівнює величина цього кута, якщо його розглядати в лупу з двократним збільшенням?

  • В сім'ї у кожного з шести братів є по сестрі. Скільки дітей у цій сім”ї? (СІМ).

  • Півень, стоячи на одній нозі, важить п'ять кілограмів. Скільки він буде важити, якщо стане на дві ноги? (5 кг).

  • У батька 5 дочок і кожна дочка має брата. Скільки дітей у батька?

(Шість)

Кравець має кусок сукна 18 м і щодня відрізує від нього по 3 м. На який день він це зробить останній раз?

(На п'ятий день)

  • Двоє пішли — п'ять гвіздків знайшли. Четверо підуть — скільки знайдуть?

(Жодного)

  • Число 666 потрібно збільшити у півтора раза не проводячи над цим числом ніяких арифметичних дій. Як це зробити?

(Листок паперу, на якому записано число повернути на 180')

  • Горіло п'ять свічок. Дві з них загасили. Скільки свічок залишиться?

(Дві)

  • Одне яйце варять протягом 4 хвилин. Тоді воно вважається звареним. За скільки хвилин можна зварити п'ять яєць?

(За 4 хвилини)

  • Селянин ішов до залізничної станції і зустрів дві бабусі, кожна з яких несла по два кошики і в кожному кошику було по два кролі. Скільки йшло до станції?

(Один селянин)

  • В якому трикутнику сума двох його кутів дорівнює третьому?

(В прямокутному)

  • У скільки разів сходи на 7-й поверх довші від сходів на 2-й поверх того ж самого будинку?

(У шість разів)

  • Вкажіть моменти, коли годинна і хвилинна стрілки годинника зустрічаються.

6(11 зустрічей)

  • Скільки квадратів на малюнку?

(14)

  • Скільки буде, коли 10 поділити на десяту частину?

(100)

  • Записати число 100 п'ятьма п'ятірками. (5+5+5+5) х 5 = 100)

  • Записати 5 трьома п'ятірками. (5+5-5; 5x5/5)

  • Чи можна намалювати кожну із фігур не відриваючи олівця від паперу і не закреслити ліній, уже побудованих?

КОМБІНАТОРИКА  ДЛЯ УЧНІВ 5-7 КЛАСІВ

 

Задача 1. В магазині "Все до чаю» є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

Розв'язок. Виберемо чашку. У комплекті з нею можна вибрати будь-яке з трьох блюдець. Тому є три різні комплекти, які мають вибрану чашку. Оскільки чашок всього 5, то кількість різних комплектів дорівнює 15. (15 = 5∙3).     

Задача 2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

Розв'язок. Виберемо будь-який з 15 комплектів попередньої задачі. Його можна доповнити ложкою чотирма різними способами. Тому загальна кількість мождивих комплектів дорівнює 60 (60 = 15∙4 = 5∙3∙4).

 

Цілком аналогічно розв'язується наступна задача.

Задача 3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В - 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

Розв 'язок. 24 = 6∙4.

    

В розв'язуванні задачі 4 з'являється нове міркування.

 

Задача 4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

Розв 'язок. Виділимо 2 випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. У кожному з цих випадків легко порахувати кількість різних маршрутів: в першому - 24, у другому - 6. Додаючи, отримаємо загальну кількість маршрутів: 30.     

 

Виділення декількох можливих випадків буде корисним і в розв'язуванні задачі 5.

Задача 5. В магазині "Все до чаю' , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

Розв'язок. Можливі три різні випадки: перший - купується чашка з блюдцем, другий - чашка з ложкою, третій - блюдце та ложка.  У кожному з цих випадків легко порахувати кількість можливих варіантів (в першому - 15, у другому  - 20, у третьому - 12). Додаючи, отримуємо загальну кількість можливих варіантів: 47.    

 

 Для викладачів. Головна ціль, яку повинен переслідувати викладач при роз'язуванні та аналізі цих задач   розуміння школярами, в якій ситуації при підрахунку варіантів слід перемножати, а в якій - додавати. Певна річ, задач повинно бути багато. Вони можуть бути придумані самим викладачем. Можливі сюжети: всілякі покупки в магазині, різні схеми доріг, складання чисел з цифр  і т.д.

 

Задача 6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

Розв'язок. Зрозуміло, що одноцифрових "симпатичних" чисел рівно 5. До кожного одноцифрового "симпатичного" числа друга непарна цифра може бути дописана п'ятьма різними способами. Таким чином, двоцифрових  "симпатичних" чисел 5∙5 = 25. Аналогічно, три цифрових "симпатичних" чисел 5∙5∙5 = 125, а чотирицифрових - 5∙5∙5∙5 = 625.

 

Для викладачів. В цій задачі розв'язок має вигляд mn. До такого розв'язку приводять задачі, в котрих на кожному з n місць може бути

поставлений елемент з деякої m-елементної множини. Ці задачі часто

спричиняють труднощі у школярів, які не завжди розуміють,  яке з

чисел є основою степеня, а  яке показник.

 

Запропонуємо ще чотири подібні задачі.

Задача 7.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати? Відповідь: 23=8.

Задача 8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбувати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

Відповідь: 24 = 16.

Задача 9. Скількома способами можна заповнити одну картку в лотереї "Спортпрогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу - перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

Відповідь: 213.

Задача 10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово - будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.

Розв 'язок. 31+ 32 + 33 + 34 = 120.

 

Перейдемо до другого циклу задач.

Задача 11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капітана та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

Розв 'язок. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів. Після обрання капітана на роль заступника можуть претендувати 10 чоловік, які залишилися. Таким чином, всього є 11∙10 = 110 різних варіантів виборів.     

 

Ця задача відрізняється від попередньої тим, що вибір капітана обмежує коло претендентів на роль заступника: капітан не може бути своїм заступником. Таким чином, вибори капітана та його заступника не виявляються незалежними  такими, як, наприклад, вибори чашки та блюдця в задачі 1.

Ось ще чотири задачі на цю тему.

Задача 12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

Ров'язок. Колір для верхньої смуги прапору можна вибрати шістьма різними способами. Після цього для середньої смуги прапора залишається п'ять можливих кольорів, а потім для нижньої смуги прапора - чотири різні кольори. Таким чином, прапор можна зробити 6∙5∙4 = 120 способами.

Задача 13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

Розв'язок. Білу туру можна поставити на будь-яку з 64 кліток. Незалежно від розташування вона б'є 15 полів (включаючи поле, на якому вона стоїть.). Тому залишається 49 полів, на які можна поставити чорну   туру. Таким чином, всього  64∙49 = 3136 різних способів.

Задача13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого  і чорного королів так, щоб вийшла допустима правилами гри позиції'

Розв'язок.     Білого короля можна поставити на будь-яке з 64 полів. Але кількість  полів, котрі він при цьому буде бити, залежить від його розташування. Тому необхідно розглянути три випадки:

а)  якщо білий король стоїть в кутку (кутків всього 4), то він б'є 4 поля (включаючи те, на якому стоїть), і залишаються 60 полів, на які можна поставити чорного короля;

б) якщо білий король стоїть на кінці дошки, але не в кутку (таких полів - 24), то він б'є 6 полів, і для чорного короля залишається 58 можливих полів;

в)  якщо ж білий король стоїть не на кінці дошки (таких полів - 36), то він б'є 9 полів, і для чорного короля залишається 55 можливих полів.

Таким чином,  всього маємо 4∙60 + 24∙58 + 36∙55 = 3612 способів розставляння королів.

  

Займемося тепер підрахунком кількості способів, якими можна розташувати в ряд n предметів. Такі розташування називаються перестановками і відіграють помітну роль в комбінаториці та алгебрі. Але попередньо необхідно зробити невеликий відступ.

Нехай n - натуральне число, n! (читається "ен-факторіал") - це добуток

1∙2∙3∙ ... ∙ n = n!. Таким чином,  0!=1,  1!=1,  2! = 1∙2=2, 3! = 1∙2∙3 = 6, 4! = 24, 5! = 120.

Методичні зауваження. Перед тим, як обговорювати перестановки, необхідно як слід засвоїти поняття факторіалу і навчитися з ним поводитися. Для цього можуть бути корисними наступні вправи.

Вправа 1.  Чому дорівнює:

 а) 10!∙ 11;   б) n ! ∙( n + 1);  в) 3! - 4! - 0! -1! + 6!?

Вправа 2.  Обчислити а) 100!/98!; б) n !/( n - 1)! в) (n+1)!/( n - 1)!

Вправа 3. Доведіть, що, якщо р - просте число, то (р - 1)! не ділиться на р.

Слід мати на увазі, що для зручності написання деяких комбінаторних тотожностей прийнято вважати, що 0! дорівнює 1.

Повернемося тепер до перестановок.

Задача 15. Скільки існує трицифрових чисел, в запису яких 1, 2, 3 зустрічаються рівно по одному разу.

Розв 'язок. Будемо міркувати так само, як при розв'язуванні задач попереднього циклу. На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, на друге - будь-яку з двох, які залишилися, а на третє останню з цифр, яка залишилася. Таким чином, всього виходить 3∙2∙1 = 3!

Задача 16. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чорну, синю та зелену кульки?

Розв 'язок. На перше місце можна покласти будь-яку з чотирьох кульок, на друге - будь-яку з трьох, які залишилися, на третє -  будь-яку з двох, які залишилися, а на четверте - останню кульку, яка залишилася. Таким чином, розв'язок: 4∙3∙2∙1 = 4!.     

 

Розмірковуючи так само, як при розв'язуванні двох останніх задач, легко довести, що n різних предметів можна викласти в ряд n∙( n -1)( n - 2)∙... ∙2∙1 різними способами, тобто кількість перестановок з n елементів дорівнює n!.

Для зручності формулювання задач наступного циклу умовимося називати словом будь-яку скінченну послідовність літер українського алфавіту. Скажімо, використовуючи літери А, Б, В рівно по одному разу, можна скласти 6 слів: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА; використовуючи літеру А двічі, а літеру Б один раз - три слова: ААБ, АБА, БАА. В наступних п'яти задачах необхідно з'ясувати, скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери того або іншого слова.

Задача 17. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

Розв 'язок. Оскільки всі літери слова різні, то всього можна отримати 6!=720 слів.

Задача 18. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

Розв'язок. У цьому слові дві літери І, а всі інші літери різні.   Тимчасово будемо вважати різними і літери І, позначивши їх як І1  та І2. При цьому припущенні отримаємо 5! = 120 різних слів. Але ті слова, які дістаються одне з одного тільки переставленням літер І1  та І2, насправді однакові, Таким чином, отримані 120 слів розбиваються на пари однакових.    Тому різних слів всього 120 : 2 = 60.    

Задача 19.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

Розв'язок. Вважаючи три літери А цього слова різними (А1, А2, А3), дістанемо 8!  різних слів. Але слова, які відрізняються лише переставленням А1, А2, А3, насправді однакові. Через те, що літери А1, А2, А3 можна переставляти 3! способами, всі 8! слів розбиваються на групи з 3! однакових. Тому різних слів всього 8!/3!.

 Задача 20.  Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ОРТОГОНАЛЬНИЙ"?

Розв'язок. В цьому слові три літери О та дві літери Н. Вважаючи всі літери різними, отримуємо 13! слів. Ототожнюючи слова, які відрізняються лише переставленням літери Н, але не О, дістанемо 13!/2! різних слів, ототожнюючи тепер слова, які відрізняються переставленням літер О, отримаємо остаточний результат 13!/(2!∙3!).    

Задача 21.  "МАТЕМАТИКА". Відповідь. 10!/(3!∙2!∙2!).

Цикл задач про слова продемонстрував одне змістовне міркування ідею кратного підрахунку. Замість підрахунку кількості об'єктів, які нас  цікавлять, іноді буває зручно перерахувати інші об'єкти, кількість яких перевищує кількість вихідних в число разів, яке нам відоме. Ось ще чотири задачі, при розв'язанні яких використовується цей спосіб.

Задача 22.  В країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?

Розв'язок. Кожна авіалінія з'єднує два міста. За перше місто можна взяти будь-яке з 20 міст (місто А), за друге - будь-яке з 19, які залишилися (місто В). Перемноживши ці числа, дістаємо 20∙19 = 380. Але при цьому підрахунку кожна авіалінія врахована двічі (перший раз, коли за перше місто було вибрано місто А,  друге  - місто В, а другий раз - навпаки). Таким чином, кількість авіаліній дорівнює 380:2 = 190.  Задача 23.  Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

Розв'язок. За перший кінець діагоналі можна взяти будь-я ку з n  вершин, а за другу - будь-яку з n - 3 вершин, відмінних від вибраної та двох сусідніх з нею (див. мал. 10). При цьому підрахунку кожна діагональ обліковується двічі. 

Відповідь. n(n - 3)/2.

 

Мал. 10                            Мал. 11

Задача 24. Намисто - це кільце, на яке нанизано намистинки. Намисто можна повертати, але не перевертати. Скільки різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин (див. мал. 11)?

Розв 'язок. Уявимо собі на деякий час, що намисто не можна повертати. Тоді його можна зробити 13! різними способами. Але будь-яке місцезнаходження намистин та 12 варіантів, які дістаються з нього поворотами, слід вважати одним варіантом намиста.   Відповідь. 13!/13 = 12!.

Задача 25. Припустимо тепер, що намисто можна й перевертати. Скільки тоді різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин?

Розв 'язок. Перевороти скорочують кількість намист у 2 рази.  Відповідь. 12!/2.

Наступна задача ілюструє ще одне важливе комбінаторне міркування.

Задача  26.  Скільки існує 6-цифрових чисел, в напису  яких є принаймні одна парна цифра? Розв'язок. Замість того, щоб підраховувати кількість потрібних 6-

цифрових чисел, визначимо кількість 6-цифрових чисел, яким не притаманна необхідна, властивість. Оскільки це точно ті самі числа, в напису яких зустрічаються тільки непарні цифри, то їх кількість, очевидно, дорівнює 56 = 15625. Всього 6-цифрових чисел 900000 Тому кількість 6-цифрових чисел, яким притаманна вказана властивість, дорівнює 900000-15625 = 884375.  

 

Основним моментом при розв'язуванні цієї задачі був так знаний перехід до доповнення: підрахунок "непотрібних" варіантів замість підрахунку "потрібних". Ось ще одна задача, розв'язуючи яку, корисно послуговуватися цим міркуванням.

 

Задача 27.  В абетці племені Бум-Бум шість літер. Словом є будь-яка, послідовність, з шести літер, в якій є принаймні дві однакові літери. Скільки слів в мові племені Бум-Бум?

Відповідь, 66 - 6!.

Для викладачів. На закінчення хотілося б відзначити, що ідеї, яка об'єднує задачі виділеного в главі циклу, природно присвятити окреме заняття. При цьому необхідно весь час повертатися до вже пройденого матеріалу. Тому ми надаємо додатковий список задач для самостійного розв'язання.

 

Задачі для самостійного розв'язання.

Задача 28. В кіоску "Друк України" продаються 5 видів конвертів та 4 види марок. Скількома способами можна, купити конверт з маркою?

Задача 29. Скількома способами можна, вибрати голосну та приголосну літери зі слова "КРУЖОК"?

Задача 30. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикметники. Для речення треба вибрати по одному слову кожної з цих частин мови. Скількома способами це можна зробити?

Задачі  31.  У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків.    Чесним обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.   Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?

Задача 32. Скільки існує 6-цифрових чисел, всі цифри яких мають однакову парність?

Задача 33. Треба відіслати 6 термінових листів. Скількома способами це можна зробити, якщо для передачі листів можна використати трьох кур'єрів і кожен лист можна дати будь-якому з кур'єрів?

Задача 34. Скількома способами з повної колоди (52 карти) можна вибрати 4 карти різних мастей і вартості?

Задача 35. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?

Задача 36. Скількома способами можна поставити 8 тур на шахову дошку так, щоб вони не били одна одну?     

Задача 37. На танцмайданчику зібралися N юнаків та N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?      у

Задача 38. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?

Задача 39. Скількома способами можна поставити на шахову дошку а) дві тури; б) двох королів; в) двох слонів; г)двох коней; д) двох ферзів так, щоб вони не били одне одного?

Задача 40. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кожного дня протягом дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами це може бути зроблено?

Задача 41. Скількома способами можна поселити 7 студентів в З кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

Задача 42. Скількома способами можна розставити на першій горизонталі шахової дошки комплект білих фігур (король, ферзь, дві тури, дна слони та два коні)?

Задача 43. Скільки слів можна скласти з п'яти літер А і не більш як її трьох літер Б?

Задача 44. Скільки існує 10-цифрових чисел, в яких маємо принаймні ми однакові цифри?

Задача 45. Яких 7-цифрових чисел більше:  тих, в запису яких є  І ЧИ інших?

 

       ВІДПОВІДІ, ВКАЗІВКИ, РОЗВ'ЯЗКИ

 

28. 5∙4=20

29. 2∙3=6

30. 7∙5∙2=70

31. 20∙20+ 10∙10 = 500

32. 56+4∙55   

33. 36

34. 13∙12∙11∙10

35. 5 + 5∙4 + 5∙4∙3 + 5∙3∙2 + 5∙4∙3∙2∙1 = 325

36. 8!

37. n!

38. 18∙17/2 = 153

39.  а) 64∙49/2 = 1568;  б) (4∙60+24∙58 + 36∙55)/2 = 1806; в) (28∙56 +20∙54 + 12∙52 + 4∙50)/2 = 1736; г) (4∙61 + 8∙60 + 20∙59 + 16∙57 + 16∙55)/2 = 1848; д) (28∙42 + 20∙40 + 12∙38 + 4∙36)/2 = 1288.

40. 9!/2!3!4!

41. 7!/1!2!4!

42. 8!/2!2!2!

43. 1 + 6!/5! 1! + 7!/5! 2! + 8!/(5!∙3!) = 84

44. 9∙109 - 9∙9!

45. 8∙9 < 9∙106 - 8∙96, і тому чисел а одиницею більше.

46. 63-53

47. 13∙11∙9∙7∙5∙3∙1

48. 9∙107∙5

 

Задачі з комбінаторики на правило суми

1(В). У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 - німецьку, 7 - французьку, 4 знають англійську і німецьку, 3 - німецьку і французьку, 2 - французьку і англійську, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік працює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

Розв'язання.

Позначимо п(А), п(Н), п(Ф) кількість співробітників у лабораторії, які знають англійську, німецьку та французьку  мови   відповідно,  а   п(А∙ Ф),   п(А∙Н).    п( А∙ Ф), п(А ∙Н∙ Ф) -  кількість чоловік, що знають по дві і три мови відповідно. Тоді, за правилом суми, загальне число співробітників у лабораторії дорівнює

n = п(А) + n(Н) + п(Ф)- п(А∙Ф) - п(А∙Н) - п(А∙Ф) + п(А ∙Н∙ Ф) = 6 + 6 + 7 - 4 - 2 - З + 1 = 11.

Тільки англійську та німецьку мови знають пАН  = п(А∙ Н) - п{А ∙ Н ∙ Ф) = 3 чоловіка,

тільки англійську і французьку пАФ = п(А ∙ Ф) - п (А ∙ Н ∙ Ф) = 1 чоловік.

Тоді тільки англійську мову знає пА = п (А) - пАН - пАФ - п (А∙Н∙Ф) = 1 чоловік.

Тільки німецьку і французьку знають п НФ = п (Н∙Ф) - п (А∙Н∙Ф) = 2 чоловіки.

Тоді більше однієї мови знають т = п(А∙Н∙Ф) + пАН + пНФ + пАФ = 7 чоловік,

її тільки одну мову - K = п - т = 11-7 = 4 чоловіка.

 2(Б). Староста одного класу дав такі відомості про учнів: «У класі навчаються 45 учнів, у тому числі 25 хлопчиків. 30 учнів вчаться на «добре» і «відмінно», у тому числі 16 хлопчиків. Спортом займаються 28 учнів, у тому числі 18 хлопчиків і 17 учнів, які вчаться на «добре» і «відмінно». 15 хлопчиків вчаться на «добре» та «відмінно» і займаються спортом. Покажіть, що в цих відомостях є помилка.

З (Б). Скільки чисел серед першої сотні натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5? Відповідь: п = 26.

4(Б). Скільки чисел серед першої тисячі натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?

Розв'язання.

Позначимо Аj (j = 2,3, 5, 7) множину чисел, що не більші від 1000 і діляться на число j. Кількість чисел п(Аj) у кожній з множин Аj легко знайти, скориставшись простим і майже очевидним правилом: добуток  j ∙ п(А) є найбільшим з натуральних чисел 1,2, ...,.................... 1000, що діляться на j.

Звідси n(А2) = 500; n(А,) = 333; n(А6) = 200; n(А7) = 142.

Аналогічно, n2.,А3) = 166, тому що 2∙3∙ 166 = 996 - найбільше серед першої тисячі натуральних чисел,  що діляться на 6.

n(А25) = 100', n(А2А7) = 71, n(А3А7) = 66, n(А3А5) =47, n (А5А7) = 26, n (А2А3А5) = 33, тому що 2∙3∙5 33 = 990 - найбільше з першої тисячі чисел, що діляться і на 2, і на 3, і на 5 (тобто на 30).

n(А2А3А7) = 23, n(А2А3А7) = 14, n(А3А5А7) = 9, n(А2А3А5А7) = 4.

Тоді кількість чисел, що діляться або на 2, або на 3, або на 5, або на 7, дорівнює: n(А2357)= n(А2)+ n(А.3)+ n(А5)+ n(А7) - n(А2А3) - n(А2А5) - n(А2А7) - n(А3А5) - n(А3А7) - n(А5А7)+ n(А2А3А5)+ n(А2А3А7)+ n(А2А;5 А7)+ n(А3А5А7) - n(А2А3АгА7) = 774. А кількість чисел, жодне з яких не ділиться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7,   n = 1000 - 774 = 226.

Задачі для розвитку мислення

1.Чотири олівці и три ручки стоят 2 грн 60 копійок, а два олівці і дві ручки 1 грн 40 копійок. Скільки потрібно сплатити за 16 олівців и 14 ручок?

2. Котра зараз година, якщо до кінця суток залишилось 4/5 того, що вже пройшло від початку суток?

3. Доньці на даний час 8 років, а її матері 38. Через скільки років мама буде втричі доросліша доньки?

4. У клітці знаходяться фазани і кролики. Усі тварини мають 35 голов и 94 ноги. Кого більше в клітці і на скільки?

5. Деякий товар спочатку піднявся у ціні на 150%, а потім знизився у ціні на 80%. Як при цьому змінилась ціна товару?

6. План випуску виробів 69 штук, а виготовлено – 95. Обчислити відсоток виконання плану.

7. В сім’ї три сина, кожний має одну сестру. Скільки дітей в сім’ї?

8. План – 60 виробів, а виконали – 175 виробів. Обчислити відсоток перевиконання плану.

9. Добуток двох чисел дорівнює 150. Перше число упівтора рази більше другого. Обчислити ці числа.

10. Колісний трактор виорає поле за 6 годин, а гусеничний – за 3 години. За скільки годин вони зорають поле разом?

11. Добуток двох рівних чисел дорівнює натуральному числу К. Якщо один множник збільшити на 20, а другий зменшити на 20, то як зміниться добуток?

12. Костюм коштував К гривень. Спочатку його ціну зменшили на 20%, а згодом підвищили на 25%. Як змінилась ціна костюма?

Завдання2

13. Одна труба наповнює басейн за 4 години, а друга – за 2 години. За який час дві труби разом заповнять половину бассейна?

14. У классе 25 учнів, із них 23 встигають вчасно виконати домашні завдання. Очислити відсоток виконання домашніх завдань учнями.

15. Кількість мешканців району на початок року К. Приріст населения за рік склав Р%. Скільки мешканців району буде на кінець року? Скільки мешканців району буде на кінець 7 року?

16. 10 кур за 10 днів з’їдають 10 кг зерна. Скільки зерна з’їдять 100 кур за 100 днів?

17. Комбайном зібрали в перший день 5/12 поля, а на другий день залишилось – 21 га. Яка площа поля?

18. Із двох пунктів одночасно в одному напрямку вийшли два пішоходи. Перший пішохід йде зі швидкістю 6 км/ч, а другий – 4 км/ч. Через скільки годин перший пішохід наздожене другого, якщо відстань між пунктами 12 км?

19. Від ділення числа А на В отримали найменше двоцифрове число і остачу 1. Знайти число А, як вираз з числом В.

20. Від ділення числа 1/А на 1/В отримали найбільше двоцифрове число і остачу 1. Знайти число А, як вираз з числом В.

21. Від ділення різниці А-В на суму чисел А+В отримали найбільше трицифрове число і остачу 1. Знайти число А, як вираз з невідомим В.

22. Сума чисел 1/А та 1/В дорівнює найменшому простому числу. Виразити число А через число В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені числа.

23. Від ділення числа А на В/А отримали 729. Виразити число В через число А. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені числа.

24. Від ділення числа (А-В) / (В+А) на число (А+В) / (А-В) отримали 1. Довести, що А і В – два невзаємнообернені числа.

25. Від ділення числа А/В на число А+В отримали 1. Виразити число А через число В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнопротилежні числа.

26. Від ділення числа А-В на число А/В отримали 1. Виразити число А через число В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнопротилежні числа.

27. Від ділення числа 1/А-1/В на число 1/А+1/В отримали 15/17. Виразити число А через число В. Знайти числа А та В, якщо А і В – два взаємнообернені числа.

28. Добуток двох чисел дорівнює 72, при цьому перше число в два раза більше другого. Знайти модуль різниці між сумою та добутком цих чисел.

29. Я задумав число і збільшив його втричі. До добутку додав 12 і отримав 60. Знайти задумане число.

30. Через першу трубу басейн наповнюється за 20 годин, через другу трубу – за 30 годин. За скільки годин басейн наповниться через обидві труби?

31. Деяку відстань автомобіль подолав вгору зі швидкістю 42 км/г, а з гори зі швидкістю 56 км/ч. Яка середня швидкість руху автомобіля на всьому шляху?

32. Пароход від Києва до Херсона пливе 3 суток, а від Херсона до Києва – 4 суток (без зупинок). Скільки часу плистиме плот від Києва до Херсона?

33. Змішали 3 кг молока жирністю 6% і 2 кг молока жирністю 3,5%. Знайти жирність молока в нової суміші.

34. Купили 40 птахів за 40 монет. За кожні три горобці сплатили 1 монету, за кожні дві горлиці сплатили одну монету, за кожного голуба – 2 монети. Скільки було куплено птахів кожної породи?

35. Дві бабусі вийшли одночасно назустріч один одному з двох міст. Вони зустрілись в полдень і досягли чужого міста – перша в 4 години пополудні, а друга в 9 години. Дізнатися, коли вони вийшли із своїх міст, якщо швидкість першої бабусі в два рази більша, ніж швидкість другої.

36. Рядовий Сидір почистив бак картоплі за 4 години, і у нього 20% усієї картоплі пішло в смітник. За скільки годин він начистив такий же (по вазі) бак картоплі?

37. Деяка справа приносе стабільний прибуток. Перший компаньйон вклав в нього 13 млн. грн., другий – 10 млн.грн., а третій – 13 млн. грн. Першийй забрав вкладені гроші через місяць, другий – через 2, а третій – через 3 месяца. Тільки післе цього вони разділили отриманий прибуток. На скільки відсотків збільшилась сума щомісячно, якщо сумарний прибуток першого и другого виявився рівним прибутку третього?

38. Які остачі при діленні на 6 може мати просте число, більше, ніж 5?

39. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

40. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге — на 23.

41.Розкласти число 170 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

42. Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба 43. взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

44. На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

45. Автобаза може послати 30 машин для вивозу цукрових буряків на три приймальні пункти. На базі є дво-, три- і п'ятитонні машини. Скільки треба машин кожної тонажності, щоб за кожну ходку вивозити 100 тонн буряків? Знайти оптимальний розв'язок.

46. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив 6, жінка — 4, а дівчина — 2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат?

47. Пофарбований куб з ребром 10 см розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки утвориться кубиків: а) з однією пофарбованою гранню; б) з двома; в) з трьома; г) без пофарбованих граней?

48. Як даний прямокутний трикутник розрізати на гострокутні трикутники?

49. Як будь-який трикутник розрізати на гострокутні трикутники?

50. Розрізати прямокутник розміром 18х8 на дві частини так, щоб з них можна було скласти квадрат.

51. У сумі а1 + а2 + а3 + а4 доданок: а1, ділиться на 3, а2 ділиться на 3, а3 ділиться на 3, а а4 не ділиться на 3. Чи ділиться а1 + а2 + а3 + а4 на 3?

52. Записати формулу чисел, які діляться на 7. Записати формулу чисел, які при діленні на 5 дають остачу 3.

53. Записати числа, які є наступними для чисел n, 3n, n+2, 2n+1, ?

54.Чи діляться n(n+1) на 2? На які числа ділиться добуток n(n+1)(n+2)? Довести, що сума двох непарних послідовних чисел ділиться на 4.

55. Довести, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.

56. Довести, що сума п'яти послідовних чисел ділиться на 5.

57. Довести, що сума двох парних послідовних чисел не ділиться на 4.

58. Довести, що сума чотирьох послідовних парних чисел не ділиться на 8.

59. Довести, що сума чотирьох послідовних натуральних чисел не може бути простим числом.

60. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких є непарним числом, ділиться на 6.

61. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких є парним числом, ділиться на 24.

62. Довести, що добуток (n+5)(n+10) є парне число при будь-якому натуральному n.

63. Довести, що при будь-яких цілих а і b добуток аb(а+b) - парне число.

64.Довести, що добуток чотирьох послідовних натуральних чисел ділиться на 24.

65. Довести, що добуток п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 120.

66. Розв'язати в цілих числах невизначені рівняння;

1) х+3у=5; 2) 2х-5у=4; 3) 7х+2у=13 і 4)16х-5у=1.

67. Розв'язати в цілих числах невизначені рівняння:

1) 12х+5у=17; 2)5х+7у=11; 3) 21х+19у=73 і 4) 15х-7у=19.

68. Розкласти на множники 224+312.

69. Знайдіть непарне чотиризначне число, дві середні цифри котрого утворюють число,що в 5 разів більше числа тисяч і в 3 рази більше числа одиниць.

70. Знайдіть всі трицифрові числа, які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в: а) 7 разів; б)в 9 разів ?

71. Ціну на товар спочатку зменшили на 0,14, а потім ще на 0,13. Чи стала б вона меншою, якби її одразу зменшили на 0,2?

72. При діленні деякого числа на 13 і на 15 отримали однакові частки, але в першому випадку отримали остачу 8, а в другому − остачі не було. Знайдіть це число.

73. Доведіть, що сума дванадцяти послідовних натуральних чисел не ділиться на 12.

74. В кімнаті стоять табуретки та стільці. У кожної табуретки 3 ніжки, у кожного стільця - 4 ніжки. Коли на всіх табуретках та стільцях сидять люди, н кімнаті всього 39 ніг. Скільки табуреток і скільки стільців в кімнаті ?

75.а) Знайдіть два таких числа, що їх сума в 3 рази більша за їх різницю і в 2 рази менша за їх добуток; б) Знайти частку двох чисел, якщо вона в 2 рази менша за одне з них і в 6 разів більша за друге?

76. В бочці більше 10 л бензину. Як відлити з неї 6 л за допомогою дев'ятилітроврго відра та п'ятилітрового бідона ?

77. На ринок принесли корзину яблук для продажу. Першому покупцеві продали половину всіх яблук і ще пів-яблука, другому - половину залишку і не пів-яблука, і т. д. Останньому, шостому покупцеві, було продано також половину залишку і ще пів-яблука, причому виявилось, що були продані всі яблука. Скільки яблук принесли на продаж ?

78. Чотири товариші купили м'яч. Перший заплатив половину суми, що заплатили інші, другий - третину суми, що заплатили інші, третій - чверть суми, що заплатили інші, а четвертий заплатив 130 грн. Скільки коштує м'яч?

79. Із восьмилітрового відра, наповненого молоком, потрібно відлити 4 л за допомогою порожніх трилітрового та п'ятилітрового біідонів.

80. В магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох сортів, причому в кожному ящику містились яблука одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?

81. Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97?

82. До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15.

83. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 36, в запису якого зустрічаються всі цифри.

84. Скількома нулями закінчується добуток 1∙2∙ 3∙ 4∙ ... ∙98∙99∙100.

85. Якби учень- купив 8 зошитів, то у нього залишилось би 30 коп., а на 12 - зошитів у нього не вистачить 1,5 грн. Скільки грошей було у учня?

86. На складі є цвяхи в ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може працівник складу відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики ?

87. В кімнаті знаходиться 14 канцелярських столів з однією, двома та трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з однією шухлядою стільки ж, скільки з двома та трьома разом. Скільки столів з трьома шухлядами разом ?

88. Знайдіть закономірність утворення ряду і запишіть три наступні числа ряду : 35, 34, 32, 29, 25, ...

89. Приїхало 100 туристів. Із них 10 чоловік не знали ні німецької мови, ні французької, 75 чоловік знали німецьку мову, а 83 - французьку. Скільки туристів знали французьку і німецьку мову?

90. Три посудини наповнені водою ( не доверху). В одній посудині 11л води, в другій 7 л, в третій 6 л. В кожну посудину можна долити стільки води, скільки там уже є. Як розділити воду так, щоб у всіх трьох посудинах її стало порівну ?

91. В підвалі знаходяться 7 порожніх бочок, 7 бочок, наповнених наполовину і 7 повних бочок. Як розподілити ці бочки між трьома вантажними автомобілями так, щоб на кожному було 7 бочок і на всіх машинах був однаковий вантаж ?

92. Розв'яжіть арифметичний ребус. Однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним - різні. У−Р=А :В=Н∙Е=Н+И=Е.

93. 4 коти - Вася, Пушок, Базіліо та Леопольд - полювали на мишей. Пушок з Леопольдом піймали стільки ж мишей, скільки Базіліо разом з Васею. Вася піймав мишей більше, ніж Базіліо, але Вася з Леопольдом піймали мишей менше, ніж Пущок з Базіліо. Скільки мишей піймав кожний кіт, якщо Пушок піймав 3 миші ?

94. Коля заплатив 12 коп. за зошит, два олівці і гумку, а Сашко - 27 коп. за 2 зошити, 3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Сергій за 2 зошити, 5 олівців та гумку ?

95. Із восьми зовні однакових монет 7 - золотих, а одна - не золота, дещо легша за інші. Потрібно за допомогою двох зважувань на тетезах без гирь знайти незолоту монету.

96. Знайти двоцифрове число, котре зменшиться в 14 разів, якщо закреслити цифру одиниць в запису цього числа.

97. Два двозцифрових числа закінчуються цифрою 6. При яких умовах їх добуток закінчується числом 36?

98. Розв'яжіть ребус: БИР + БИР + БИР + БИР = ДОРД.

99. Якщо до двозначного числа приписати справа цифру 0, то це число збільшиться на 252. Знайдіть це число.

100. Якщо в деякому тризначному числі, що закінчується нулем, відкинути цей 0, то число зменшиться на 351. Знайдіть це число.

101. Сума двох чисел дорівнює 180. Частка від ділення більшого на менше дорівнює 5. Знайдіть ці числа.

102. Поставте у виразі 7∙9 + 12:3-2 дужки так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало : а) 23 ; б) 75.

103. 1*2*3*4*5 - замініть зірочки знаками та поставте дужки так, щоб значення виразу дорівнювало 100.

104. В 1983 році було 53 суботи. Яким днем тижня було 1 січня?

105. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.

106. На одну шальку терезів покладено шматок мила, на другу 3/4 шматка такого ж мила та ще 50 г. Терези знаходяться в рівновазі. Яка вага шматка мила?

107. Знайти два числа, якщо потроєна сума цих чисел на 8 більша їх подвоєнної різниці, а подвоєна сума цих чисел на 6 більша їх різниці.

108. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12, а різниця числа одиниць і числа десятків в цьому числі в 12 разів менше самого числа. Знайдіть це число.

109. Я чотирма розтинами ножа розрізав апельсин. Два розтини були вертикальними, та два розтини були горизонтальними. Скільки кусків апельсину я отримав?

110. Між цифрами числа 562101012 поставте знаки дій - множення , додавання, віднімання і можливо дужки, все в будь-якій кількості так, щоб результат був 120.

111. В таблиці 3х3 у верхніх кутових клітинках зліва напрво поставили цифри 1 та 2. Розмістити в порожніх клітинках таблиці числа від 3 до 9 так, щоб виконувались дві такі

умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було - найбільш можливим.

112. Прямокутний листок паперу розділили трьома прямими а. в, с на 7 частин. Потім провели ще три прямі а1 ,в1 ,с1.'Причому кожна з нових прямих паралельна відповідній прямій , яка має позначення такою ж буквою. Яку максимальну кількість частин аркушу можемо отримати?

113.Михайло записує число. Він використовує лише цифри 1,2,3,4,5 і слідує таким правилам: 1) будь-які дві сусідні цифри даного числа відрізняються між собою; 2)всі двоцифрові числа , що складаються з любих двох сусідніх цифр даного числа записаних у порядку зліва - направо, відрізняються між собою. Наприклад, число 123134252 задовольняє умовам , а число

12315412 - ні, гак як число 12 присутнє два рази в записі числа. З якої максимальної кількості цифр може складатися запис числа Михайло?

114. Двоє по черзі ставлять королі у клітинки дошки 9x9 так, що кopoлi не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

115. А) Двоє по черзі ставлять слони у клітинки шахової дошки. Черговим ходом слід побити хоча б одну небиту клітинку. Слон б'є i клинику, на якій він знаходиться. Програє той, хто не може зробити хід? Хто забезпечить собі перемогу? Б)Та ж гра, але з турами. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

116. Дано клітчасту дошку 10х10. За хід дозволяється покрити будь-які 2 cyciдні клітинки прямокутником 1x2 так, щоб прямокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

117. В кожній клітинці дошки 11х11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь-яку кількість шашок, що йдуть підряд, або з одного вертикального, або з одного горизонтального ряду. Виграє той, хто зняв останню шашку. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

118. Є двi купки камінців: в одній — 30, в другій — 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому нема що брати. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

119. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється з'єднати будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

120. Ромашка має а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну пелюстку, або дві, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає

121. Гра «Хрестики-нулики» проводиться на квадратичному полі 3х3, що містить 9 квадратні клітини. Двоє гравців по черзі заповнюють вільні клітини: перший — заповнить своїми символами горизонталь, вертикаль або діагональ з трьох квадратів. Якщо це не вдалося нікому, то гра закінчується внічию. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

122. Гра «9 цифр». На столі лежать 9 карток, на кожній з яких написано одну з цифр від 1-го до 9-ти включно. Цифри на всіх картках різні. Картки лежать написами догори. Двоє гравців по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той, хто першим візьме 3 картки, сума цифр на яких дорівнюватиме 15 (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

123. Гра «9 слів». На столі лежать 9 карток, кожна з них містить одне зі слів: Лорен, какао, місто, хек, ліс, рама, Алла, меч, рік. [Слова на різних картках різні. Картки лежать написами догори, Два гравці по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той, хто першим візьме 3 картки зі словами, що мають одну спільну літеру (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

124. Гра «9 шляхів». 8 міст, позначених першими літерами латиниці, сполучає 9 шляхів, що проходять відповідно через міста АЕН, АF, АDG, ВЕ, ВDFН, ВG, СF, СGН. Два гравці по черзі зафарбовують своїм кольором (червоним або синім) позначення шляхів на карті. Переможцем вважається той, хто перший зафарбує своїм кольором позначення всіх шляхів, які проходять через одне місто. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

125. Гра Баше(Клод Гаспар Баше де Мезірака (1581—1638) — французький математик, поет, перекладач). На початку гри в купці є п предметів. Два гравці по черзі забирають з цієї купки предмети (від 1 до p включно). Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

126. Гра «На стежині». На кінцях стежини, розбитої на т клітин, стоять шашки різного кольору. Двоє гравців по черзі рухають шашку певного кольору на вільну клітину на довільну кількість клітин у межах від однієї до р включно в довільному напрямку, але без перескакування шашки суперника й виходу за межі стежини. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

127. Певну кількість фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

128. Певну кількість фішок розташовано по колу. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

129. На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі ділять кожну групу, що містить більше одного предмета, на дві менші групи. Переможцем вважається той, хто виконає останній поділ. Хто забезпечить собі перемогу?

130. Два гравці по черзі виймають зі скриньки предмети, кількість яких не перевищує половини наявних у скриньці. Програє той, хто візьме останній предмет. Хто забезпечить собі перемогу?

131. Є дві купи предметів. Два гравці по черзі забирають одну купу, а іншу ділять на дві частини (обидві дії виконує один і той самий гравець). Переможцем вважається той, хто останнім ходом залишить дві купки по одному камінцю. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

132. Є 15 шашок, розташованих в ряд. Двоє гравців ходять по черзі. Першим ходом перевертається будь-яка шашка, а кожним наступним – будь-які одна або дві сусідні ще не перевернуті шашки. Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

133. Китайська гра «ФАН-ТАН». На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі забирають з будь-якої групи довільну додатну кількість предметів (можливо й усі предмети групи). Переможцем вважається той, хто виконає останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

134. Дано прямокутний паралелепіпед розмірами: а) 4х4х4; б) 4х4х3; в) 4х3х3, зібраний iз одиничних кубиків. Грають двоє. За хід дозволяється проткнути спицею будь-який ряд, якщо в ньому є хоча б один непроткнутий кубик. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

135. Двоє по черзі розламують шоколадку 5х10. За хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого з наявних кусків уздовж заглиблення. Виграє той, хто першим відломить частнику 1x1. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

136. Двоє по черзі ставлять хрестики i нулики в клітинки дошки 9x9. Той, що починає, ставить хрестики, його суперник — нулики. В кінці треба підрахувати, скільки є рядочківв i стовпчиків, в яких хрестиків більше, ніж нуликів — це є очки, що набрані першим гравцем. Кількість рядків i стовпців, де нуликів більше — очки другого. Той iз гравців, хто набере більше очок, перемагає. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

137. Гра починається з числа 100. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Виграє той, хто одержить нуль. Хто з двох гравців зможе забезпечити собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

138. Ферзь стоїть на полі с1. За один хід його можна пересунути на будь-яке число полів праворуч, вгору або по діагоналі "праворуч-вгору". Виграє той, хто поставить ферзя на поле h8. Хто забезпечить собі перемогу?

139. Є дві купки камінців: в першій — 7 камінців, в другій — 5. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців із однієї купки або порівну камінців із обох купок. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

140. Кінь стоїть на шаховіниці в клітинці а1. За хід дозволяється пересувати коня або на дві клітинки праворуч і одну клітинку вгору або пниз, або на дві вгору і на одну праворуч або ліворуч. Програє той, хто по може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

141. Є дві купки по 11 сірників. За хід можна взяти два сірники з однієї купки і один із другої. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу?

142. Гра починається із числа 0. За один хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число від 1 до 9. Виграє той, хто одержить число 100. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

143. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

144. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

145. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°, 21 = 2). Виграє той, хто одержить нуль. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

146. Двоє по черзі розрізають папір у клітинку, розміром 40х30 клітинок. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розріз будь-якої частини вздовж лінії клітинок. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

147. Двоє по черзі ставлять коні в клітинки шахової дошки так, що коні не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

148. На столі лежать 1978 сірників. Два хлопчики по черзі можуть брати 1 чи 2 сірники. Який хлопчик виграє, якщо для перемоги потрібно взяти останній сірник Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

149. На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 123456?

150. 175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.

151.Розв’язати ребус, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри: КАФТАН + КАФТАН = ТРИШКА

152. Розріжте прямокутник 3х9 на 8 квадратів.

153. Чи можна помістити у квадрат 5х5: а) різні 4-клітинкові фігурки; б) рівні 5-клітинкові фігурки?

154. Чи існує два послідовних натуральних числа, сума цифр кожного з яких ділиться на 7?

155. Є 5 монет, з яких три справжні, одна фальшива, що важить більше від справжньої, і одна – фальшива, що важить менше від справжньої. За три зважування визначить обидві фальшиві монети.

156. Скільки існує двоцифрових натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у спадаючому порядку?

157. Є два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою даних годинників?

158. В ряд покладено картки, на яких написано числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Дозволяється взяти декілька карток, що лежать підряд і переставити їх у зворотному порядку. Чи можна за три таких операції добитися розміщення 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

159. Розв’язати ребуси, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри: ЛІНІЯ + ЛІНІЯ = ФІГУРА, КНИГА+КНИГА+КНИГА+НАУКА.

160. Продовжте послідовності чисел на три числа:

a) 123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ...

b) 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …

c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

d) 1211, 2211, 1222, 1111, 2222, …

e) 526, 272, 829, 210, 211, 222, …

f) 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, …

g) 1, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, …

h) 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, …

i) 100, 999, 897, 969, 594, 939, 291, …

161. Продовжте послідовності на три букви:

a) П, В, С, Ч, …

b) С, Л, Б, К, …

c) К, О, Ж, З, …

d) О, Д, Т, Ч, …

162. Який кут мiж годинною і хвилинною стрілками, якщо годинник показує 12 год 12 хв?

163. Ви маєте 9 монет, серед яких одна фальшива. Знайдіть фальшиву монету за допомогого трьох зважувань, якщо невідомо, легша вона, чи важча.

164. Аркуш папару розрівали на 4 частики, потім якусь з цих частин розрізали знову на 4 частин і т.д. Коли підрахувалк загальну кількість клаптиків, то виявилось їx 66 чи 67. Не перераховуючи, уточніть відповідь.

165. Як від куска тканини довжиною 8 м відрізати кусок довжиною 5 м, не маючи під руками вимірювальних приладів?

166. Bи маєте три порожні посудини місткістю 3, 5 і 8 л. За яку найменшу кількість кроків переливань і наливань з однієї посудини в іншу можна набрати з-під крана 7 л води у 8-літрову посудину?

167. Щоб прономеруват сторіники книги вистачило 1164 цифри. Скільки в цій книзі сторінок?

168. Довжина тіла найменшої мавпи карликової irpyнки 16 см, що становить 2/25 довжини тіла горили. Який зрісг горили?

169. В автобусі їхало 45 пасажирів, серед яких 0.6 жінок. Яку частину від кількості пасажирів будуть становити жінки шсля того, як на зупинці в автобус зайде ще 5 чоловків?

170. 0.16 використаних грошей на 680 грн менше тих, що залишилося. Скільки було грошей спочатку?

171. Ціна на товар збільшилася на 0,4, а потім ще на 0,3. На яку частину необхідно зменшити ціну, щоб вона дорівнювала початковій?

172. Видобуте вугілля мicтить 1/50 води. Через деякий час масова частка води становитиме 0,15. На скільки тонн збільшиться маса 15 т видобутого вуплля за той самий час?

173. Учень прочитав книжку за три дні. За перший день він прочитав 0,4 книги та ще 16 сторінок, за другий - 0,3 залишку та ще 20 сторінок, за третій день - 0,75 залишку i останні 30 сторінок. Скільки сторінок в книжці?

174. Три винахідники отримали премію за свій винахід в pозмipi 1410грн, причому другий отримав1/3 того, що отримав перший, та ще 60 грн, а третій отримав 1/3 грошей другого та ще 30 грн. Яку премпо отримав кожний винахщник?

175. Для туристів закуплено 100 квитків на суму 340 грн. Ціна квитків по 3 та 4 гривні. Скільки квитків по 3 грн і по 4 грн було куплено?

176. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу?

177. Скількома способами 7 oci6 можуть розташуватись в чергу до каси?

178. В класі вивчають 10 предметів. В понеділок 6 ypoкiв, причому вci уроки piзнi. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

179. а) Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться на 5? б) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…; 1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…; і так далі. в) ) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…; 1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…; і так далі

180. П'ять хлопчиків i 5 дівчаток сідають в ряд на 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номерами, а дівчатка — на місця з парними номерами. Скількома способами це можна зробити?

181. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «математика»? .

182. З 100 студентів англійську мову знають 28 студентів, німецьку − 30, французьку − 42, англійську i німецьку − 8, англійську i французьку −10, німецьку i французьку − 5, всі три мови знають 3 студенти. Скільки студентів не знають жодної з трьох мов?

183. В класi 35 учнів. 3 них 20 відвідують математичний гурток, 11 − фізичний, 10 учнів не відвідують жодного з цих гуртків. Скільки учнів відвідують математичний та фізичний гуртки? Скільки учнів відвідують тільки один математичний гурток?

184. Зустрілися в кафе скульптор Білов, скрипаль Чернов, i художник Рижов. "Чудово, що один iз нас блондин, другий - брюнет, а третій - рудий, i при цьому нi в кого з нас колір волосся не співпадає з прізвищем" — сказав чорноволосий. «Ти правий,» − сказав Білов. Який колір волосся в художника?

185. В клітках таблиці 3х3 поставлені числа: -1; 0; 1. Розглянемо S сум: суми трьох чисел в кожному рядку, в кожному стовпчику i по двох діагоналях. Чи можуть ці суми бути вci piзнi?

186. В класі навчається 29 учнів. Саша Вус зробив у диктанті 13 помилок, i нixто інший в класі не зробив більшої кількості помилок. Довести, що по крайній мipi три учні мали однакову кількість помилок.

187. В п'яти класах школи навчаються 160 учнів. Довести, що знайдуться 4 учні, у яких день народження випадає на один i той самий тиждень.

188. В ящику лежить 10 пар чорних рукавичок i 10 пар червоних рукавичок одного pозмipy. Скільки рукавичок треба взяти навмання з ящика, щоб серед них були: а) дві рукавички одного кольору; б) одна пара рукавичок одного кольору; в) одна пара рукавичок різних кольорі

189. Площина пофарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м : а) одного кольору; б) різних кольорів.

190. Площина пофарбована у три кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м одного кольору.

191. Чи можна викласти квадрат розміром 6х6 клітинок фігурками виду Т, які містять тільки

чотири клітинки?

192. На трикутній політичній карті розміром 7 м, 7м, 7м є 49 однакових за площею трикутних держав. За домовленістю будь-яка держава континенту кожного року направляє делегацію тільки в одну з держав, з якою має суцільну ділянку кордону. Чи усі держави такої політичної карти приймають делегацію кожного року?

193.. Пряму зафарбували у чорний та білий кольори. Довести, що на цій прямій існують три однокольорові точки А1, А2, А3 для яких виконується умова: А1 А2 = А3 А2.

194. Пряма зафарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м різних кольорів або 2 точки одного кольору на відстані 2м.

195. Усі точки прямої зафарбовані у чотири кольори. Чи можна серед 11 одиничних відрізків знайти два відрізки, у яких при накладанні співпадають кольори кінців.

196. У хлопчика стільки сестер, скільки і братів, а у його сестри вдвічі менше сестер, ніж братів. Скільки в цій сім’ї братів і скільки сестер?

197. В двох руках всього 30 зошитів. Якби з першої руки перекласти у другу 2 зошити, тоді у першій руці стало б вдвічі більше, ніж у другій. Скільки зошитів було в кожній руці?

198. У Мирослави були гроші і їй не вистачало 7 грн, а Каріні не вистачало 2 грн, щоб купити по коробці кольорових олівців. Коли вони склали свої гроші, їм не вистачало грошей, щоб купити навіть одну коробку. Скільки коштує коробка олівців?

199. У коробці лежать олівці: 7 червоних і 5 синіх. Сліпий кіт Базиліо бере з неї олівці і малює однокольорові монетки. Скільки треба взяти коту олівців, щоб серед намальованих монеток було не менше двох червоних і не менше трьох синіх?

200. Як від шматка матерії в 2/3 метра відрізати півметра, не маю під рукою метра?

201. Дід привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало двох огірків до повного числа десятків. Коли він став рахувати по 12(дюжинами), то залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але менше 400?

202. Скільки разів протягом доби годинникова та хвилинна стрілка співпадають?

203. Знайти два числа, щоб їх сума була втричі більше їх різниці і вдвічі менше їх добутку.

204. Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз років батьку?

205. Було 5 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 5 кусків кожний, потім деякі з одержаних кусків знову розрізали на 5 кусків і так зробили декілька разів. Чи могло в результаті виконання таких дій одержатись 1975 кусків?( інваріантна властивість: кількість кусків після розрізання на п’ять кусків збільшується на чотири. 5+ 4n не рівно1975).

206. На дошці написано числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Дозволяється стерти будь-які два числа а і b і замість них написати число (a + b - 1). Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

207. На дошці записано числа 1,2, ..., 20. Дозволяється стерти будь-які два числа а і b і замінити їх на число аb + а + b. Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

208. На дошці написано числа 1, 2, 3, ...,1989. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати замість них різницю. Чи можна досягти того, щоб на дошці всі числа дорівнювали нулю?

209. В одній вершині куба написали число 1, в інших нулі. Можна додавати по 1 до чисел, які записані на кінцях довільного ребра. Чи можна добитися того, щоб всі числа ділились на 3 ?

210. В кутку квадрата 3x3 стоїть знак мінус, в усіх інших - плюси. Можна змінити всі знаки в довільному рядку чи довільному стовпчику на протилежні. Чи можна одержати таблицю лише з одних плюсів?

211. Круг поділили на 6 секторів, в кожному лежить по цукерці. За один хід одну цукерку можна перемістити в сусідній сектор. Чи можна зібрати всі цукерки в одному секторі рівно за 20 ходів?

212. На дошці записано числа від 1 до 20. За один крок дозволяється пару чисел х, у замінити на число х + у + 5ху. Чи можна наприкінці отримати число 20002002?

213. Було 4 аркуші паперу. Деякі з них розрізали на 8 частин, потім деякі з цих частин розрізали знову на 8 частин і т. д. Коли підрахували загальну кількість аркушів, то виявилось, що їх всього 1986. Довести, що підрахунок був неправильний.

214. На дошці записано числа від 1 до 20. За один крок дозволяється пару чисел х, у замінити на число х + у + 5ху. Чи можна наприкінці отримати число 30303?

215. Матч між двома футбольними командами закінчився з рахунком 7 : 4. Довести, що був момент, коли перша команда забила стільки м'ячів, скільки другій залишалось забити.

216. Число х замінили на х2 - 210, з одержаним числом зробили те саме і так 100 разів. Одержали знову число х. Знайти число х.

217. В трьох вершинах квадрата знаходяться три коники. Вони грають в «чехарду». При цьому коли коник А стрибає через коника В, то після стрибання від попадає в точку, яка симетрична точці А відносно точки В. Чи зможе після декількох стрибків один з коників попасти в четверту вершину даного квадрата?

218. На доійці записані числа від 1 до 20. Можна довільну пару чисел (х;у) замінити на число х + у + 5ху. Чи можна наприкінці одержати число 19901989?

219. Фігура ходить по діагоналі прямокутника Іхп (наприклад, для коня це 1x2). При якому п вона зможе попасти з будь-якої клітинки на необмеженій шаховій дошці?

220. На дошці записані числа від 1 до 20. Можна пару чисел (х;у) замінити на х + у + ху. Яке число залишиться після 19 операцій?

221. В шести секторах круга лежить по "снікерсу". Можна одночасно пересунути два "снікерси" в сусідні сектори, рухаючи їх в протилежних напрямках. Чи можна одержати таке їх розташування: 5, 1, 0, 0, 0, 0 ?

221. В квадраті 8x8 стоять цілі числа. Можна додавати по одиниці до всіх чисел довільного квадрата 3x3 або 4x4. Чи завжди можна добитись того, що всі числа в таблиці ділилися на 3 ?

222. У мішку лежать 5 чорних і 5 білих кульок. Яку найменшу кількість кульок потрібно взяти з мішка, щоб серед них точно виявилося 3 кульки одного кольору?

223. Учені дослідили, що кількість голок у їжака не перевищує 200 тисяч. Доведіть, що із 250 тисяч їжаків можна вибрати принаймні двох, що мають однакову кількість голок.

224. У Верховну Раду обрано 336 народних депутатів, причому серед них 123 жінки, 245 — особи — представники правих сил. Доведіть, що серед правих є не менше ніж 32 жінки.

225. У школі 30 класів і 1000 учнів. Доведіть, що у школі є клас, у якому не менше ніж 34 учнів.

226. На Землі більше ніж 4 мільярди людей, вік яких не перевищує 100 років. Доведіть, що на Землі є двоє людей, що народилися тієї самої секунди.

227. Яку найменшу кількість карток спортлото "6 із 49" потрібно купити, щоб на одній із них обов'язково було вгадано хоча б один номер?

228. У магазин завезли 25 ящиків із трьома різними сортами яблук (у кожному ящику яблука лише одного сорту). Доведіть, що серед них є принаймні 9 ящиків одного сорту яблук.

229. У школі навчається 962 учні. Доведіть, що принаймні у двох учнів збігаються ініціали.

230. У темній коморі лежать черевики одного розміру: 10 пар чорних і 10 пар коричневих. Яку найменшу кількість черевиків потрібно взяти з комори, щоб серед них точно можна було вибрати одну пару одного кольору (у темноті не можна відрізнити не тільки колір черевика, але й лівий від правого)?

231. З повного набору доміно викинули всі кісточки з шістками. Чи можна викласти в ланцюг усі кісточки, що залишилися?

232. У мене є дві монети на загальну суму 15 копійок. Одна із них - не п'ятак. Що це за монети?

233. Водій автомобіля має двох сестер. Але вони не мають брата. Як це можливо?

234. Яких однакових 5 днів може бути у лютому?

235. Десятилітрова посудина наповнена молоком. Маючи ще банки на 7 літрів і 3 літри, як відміряти 4 літри молока?

236. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані невід’ємні цілі числа. Сума чисел у будь-яких трьох послідовних клітинках рівна 3. Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a) Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b) Скільки клітинок будуть заповнені одним числом?

c) Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?

d) Яка найменша кількість послідовних клітинок заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна 5?

e) В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h) Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?

237. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума чисел рівна чотири.

Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a) Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b) Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?

c) Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?

d) Яка найменша кількість послідовних клітинок заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна 5?

e) В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h) Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?

i) Чи для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?

238. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких чисел з трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума і добуток рівні між собою. Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a) Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?

b) Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?

c) Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 12?

d) Яка найменша кількість послідовних клітинок заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна 15?

e) В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?

f) Чому дорівнює найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?

g) Чи рівні між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?

h) Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?

i) Чи для будь-яких шести послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?

239. Шестицифрове число закінчується цифрою 2. Якщо її переставити з останнього місця на перше, то число зменшиться втроє. Знайти це число.

240. Сума двох натуральних чисел дорівнює 221, їх найменше спільне кратне – 612. Знайти всі пари таких чисел.

241. Що більше 9998 чи 9999994? Відповідь обґрунтувати.

242. У сім’ї четверо дітей, їм 4, 9, 12 і 14 років. Дітей звати Ганна, Петро, Людмила та Марія. Скільки років кожному, якщо Ганна старша від Петра, а сума років Ганни та Людмили ділиться на 8?

243. Чи ділиться націло на 9 число ? Відповідь обґрунтувати. 2006 10 2005 

244. Уздовж паркана ростуть 8 кущів малини. Кількість ягід на сусідніх кущах відрізняється на одну. Чи може на всіх кущах разом рости 225 ягід? Відповідь обґрунтувати.

245. За круглим столом сиділи 6 осіб: лицарі та брехуни. Лицарі завжди кажуть правду, брехуни завжди брешуть. На питання: «Хто твій сусід справа?» кожен відповів: «Брехун». Скільки брехунів було за столом? Відповідь обґрунтувати.

246. Периметр квадрата збільшився на 10%. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата?

247. У звичайному наборі доміно 28 кісточок. Скільки кісточок містило б доміно, у якого кількості очок, зазначені на кісточках, змінювалися б не від 0 до 6, а від 0 до 12?

248. У грі беруть участь 90 дітей. У кожного на грудях табличка з номером від 10 до 99 включно. Яка сума перших цифр у всіх номерах?

249. Скількома способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох цілих чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними, і серед доданків можуть бути нулі?

250. На дискотеці відпочивали 24 учні з одного класу. З Ганною танцювали сім хлопців, з Катрусею — вісім, з Надійкою — дев'ять і так далі до Люби, з якою танцювали всі хлопці. Скільки хлопців було на дискотеці?

251. Антону подарували терези, і він почав зважувати свої іграшки. Машину зрівноважили м'яч і два кубики, а машину з кубиком — два м'ячі. Усі м'ячі однакові і кубики теж. Скільки кубиків урівноважують машину?

252. Ганна, Катруся, Віра, Надія, Люба стоять у черзі в театральну касу. Якби Ганна стояла посередині черги, то вона опинилася б між Катрусею і Любою, а якби Ганна стала в кінець черги, то поруч з нею могла бути Надія. Але Ганна встала перед усіма своїми подругами. Хто стоїть третьою?

253. Четверо друзів — Олекса, Богдан, Володимир, Гриць змагались у перетягуванні каната. Богдан з Грицем легко перетягнули Олексу з Володимиром. Але коли Богдан став у парі з Олексою, то перемога проти Володимира з Грицем дісталася їм уже не так легко. А коли Богдан з Володимиром опинилися проти Олекси з Грицем, то жодна з цих пар не могла подолати іншу. Хто з друзів найдужчий?

254. Кілограм пломбіру на 4 грн. дорожчий від кілограма шоколадного морозива. Сергій і Петро замовили по 300 г морозива, причому Сергій замовив пломбіру вдвічі більше, ніж шоколадного морозива, а в Петра того й іншого порівну. Чия порція дорожча і на скільки?

255. Одне трицифрове число складається з послідовних цифр, розмішених у порядку зростання, друге число складається з тих самих цифр у порядку спадання, третє число складається з цих самих цифр. Що це за число, якщо сума всіх трьох чисел дорівнює 1575?

256. На 1000 гривень придбали 100 птахів трьох видів. Індичка коштує 100 грн., гусак − 30, курча − 5. Скільки придбали індичок?

257. Карлсон, Вінні-Пух і крокодил Гена зайшли в кафе. Карлсон купив 4 бутерброди, какао і 10 пончиків за 16,9 крон, Вінні-Пух — 3 бутерброди, какао і 7 пончиків за 12,6 крон. Скільки крон за платив крокодил Гена за бутерброд, какао і пончик?

258.Батьки дали дітям на атракціони 24 гривні, які слід було розділити порівну. Але до них при-єдналися дві подруги, і гроші розділили порівну між усіма. При цьому кожний одержав на 1 грн. менше, ніж передбачалося раніше. Скільки усього стало дітей?

259. Якщо преміальний фонд розподілити по 50 грн. на людину, то 5 грн. не вистачить, якщо по 45 грн., то 95 грн. залишаться нерозподіленими. Яка сума преміального фонду?

260. Скільки існує різних прямокутників, довжини сторін яких є цілими числами та периметр і площа яких виражаються однаковим числом?

261. О 12 годині годинна і хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збігаються?

262. Яке найменше невід'ємне число можна одержати з чисел 1, 2, 3, ..., 2005, поставивши передними знаки «+» чи «−» і виконавши додавання?

263. Довести, що із 11 натуральних чисел можна вибрати два числа, різниця яких кратна 10.

264. У виразі 4∙12+ 18:6 + 3 розставили дужки так, що вийшов найменший із можливих резуль-татів. Якому числу він дорівнює?

265. У шаховому турнірі брали участь 4 гросмейстери, які перед початком турніру стверджували: А: «Я буду першим»; Б: «Я не буду останнім»; В: «Я не буду ні першим, ні останнім»; Л «Я буду останнім». Після турніру виявилося, що тільки один шахіст помилився. Хто з них?

266. Скільки існує трицифрових чисел, у яких остання цифра дорівнює добутку двох перших?

267. Середній вік членів гімнастичної секції 11 років. Старшому − 17 років, а середній вік інших членів секції − 10 років. Скільки дітей відвідують секцію?

268. Для контори купили стільці. Якщо в кожну кімнату ставити 3 стільці, то три стільці не вистачить. Якщо в кожну кімнату ставити 2 стільці, то два стільці будуть зайвими. Скільки кімнат у конторі і скільки купили стільців?

269. Для школи купили табуретки. Якщо в кожну кімнату поставити три табуретки, то шість табуреток зайві. Якщо в кожну кімнату поставити чотири табуретки, то двох стільців не вистачить. Скільки кімнат у школі і скільки купили табуреток?

270. Діжки пального вистачає для роботи одного двигуна на 7 годин, а для другого двигуна на 5 годин. Яка частина пального залишилась у діжці після 2 годин роботи першого двигуна і 3 годин роботи другого двигуна? На скільки часу вистачить діжки пального, якщо двигуни працюватимуть одночасно?

271. В лабораторії 50 столів з шухлядами. В одних столах було по 2 шухляди, в інших по 4 шухляди. Скільки столів з двома шухлядами та скільки столів з чотирма шухлядами, якщо число усіх шухляд 150?

272. У новому будинку 72 двокімнатні та трикімнатні квартири. Скільки квартир кожного виду, якщо всього кімнат 168?

273. На фермі розводять гусей та кролів. Разом усіх голів 800, а усіх лап 2200. Скільки кролів та скільки гусей на фермі.

274. Одночасно з одного пункту Антон вийшов пішки зі швидкістю 4 км/год, а Іван виїхав на велосипеді у протилежному зі швидкістю 20 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год. Через який час відстань між ними дорівнюватиме 60 км?

275. Одночасно з двох пунктів, відстань між яким 72 км, Антон вийшов пішки зі швидкістю 4 км/год, а Іван виїхав на велосипеді йому назустріч зі швидкістю 20 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год? Через який час відстань між ними буде 36 км? Через який час вони зустрінуться?

276. В одному напрямі одночасно з двох пунктів, відстань між яким 72 км, Антон вийшов пішки зі швидкістю 4 км/год, а Іван виїхав навздогін Антону на велосипеді зі швидкістю 20 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год? Через який час відстань між ними буде 36 км? Через який час Іван наздожене Антона?

277. Катер рухається вниз по річці зі швидкістю 15 км/год. Визначити власну швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год.

278. Човен рухається вниз по річці зі швидкістю 20 км/год. А вверх по річці зі швидкістю 14 км/год. Яка швидкість течії річки? Яка власна швидкість катера?

279. Відстань між двома пристанями 5 км. За течією катер проходить цю відстань за 10 хвилин, а проти за 15 хвилин. Яка власна швидкість катера, та швидкість течії річки?

280. Для контори купили стільці. Якщо в кожну кімнату ставити 5 стільців, то 4 стільці не вистачить. Якщо в кожну кімнату ставити 4 стільці, то 12 стільців будуть зайвими. Скільки кімнат у конторі і скільки купили стільців?

281. Для школи купили табуретки. Якщо в кожну кімнату поставити 28 табуреток, то дві табуретки зайві. Якщо в кожну кімнату поставити 29 табуреток, то 14 стільців не вистачить. Скільки кімнат у школі і скільки купили табуреток?

282. Діжки пального вистачає для роботи першого двигуна на 10 годин, а для другого двигуна на 15 годин. Яка частина пального залишилась у діжці після 4 годин роботи першого двигуна і 5 годин роботи другого двигуна? На скільки часу вистачить діжки пального, якщо двигуни працюватимуть одночасно?

283. В лабораторії 30 столів з шухлядами. В одних столах було по 2 шухляди, в інших по 3 шухляди. Скільки столів з двома шухлядами та скільки столів з трьома шухлядами, якщо число усіх шухляд 71?

284. У новому будинку 108 двокімнатні та трикімнатні квартири. Скільки квартир кожного виду, якщо всього кімнат 252?

285. На фермі розводять гусей та кролів. Разом усіх голів 900, а усіх лап 2400. Скільки кролів та скільки гусей на фермі.

286. Одночасно з одного пункту Антон вийшов пішки зі швидкістю 5 км/год, а Іван виїхав на велосипеді у протилежному зі швидкістю 15 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год. Через який час відстань між ними дорівнюватиме 60 км?

287. Одночасно з двох пунктів, відстань між яким 48 км, Антон вийшов пішки зі швидкістю 5 км/год, а Іван виїхав на велосипеді йому назустріч зі швидкістю 15 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год? Через який час відстань між ними буде 36 км? Через який час вони зустрінуться?

288. В одному напрямі одночасно з двох пунктів, відстань між яким 64 км, Антон вийшов пішки зі швидкістю 5 км/год, а Іван виїхав навздогін Антону на велосипеді зі швидкістю 15 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 год? Через який час відстань між ними буде 32 км? Через який час Іван наздожене Антона?

289. Катер рухається вниз по річці зі швидкістю 20 км/год. Визначити власну швидкість човна, якщо швидкість течії 4 км/год.

290. А)Човен рухається вниз по річці зі швидкістю 7 км/год. А вверх по річці зі швидкістю 13 км/год. Яка швидкість течії річки? Яка власна швидкість катера?

Б) За течією катер проходить відстань від А до В за 25 хвилин, а проти течії від В до А за 50 хвилин. Яка власна швидкість катера, та швидкість течії річки?

291. Відстань між двома містами 755 км. З них одночасно назустріч виїхали дві машини і зустрічаються вони через 5 год. Швидкість першої машини 76 км/год. Яка швидкість другої машини?

292. Два пішоходи вийшли з двох сіл назустріч один одному. Відстань між селами 22 км. Перший йшов з швидкістю 4 км/год та через 3 год зустрів другого, а другий пішохід йшов до зустрічі з першим пішоходом 2 год. Яка швидкість другого пішохода?

293. Додали два числа. Їх сума виявилась на 76 більше від другого доданку. Знайти перший доданок.

294. Додали два числа. Виявилось, що перший доданок на 192 менший за суму. Знайти другий доданок.

295. Знайти найбільше значення суми двох різних двоцифрових чисел.

296. Знайти найменше значення суми двох різних чотирицифрових чисел.

297. Сума двох чисел 59, а їх різниця 9. Знайти добуток цих чисел.

298. Сума трьох натуральних чисел рівна добутку цих чисел. Знайти ці три числа.

299. Шість однакових діжок вміщують 28 відер води. Скільки відер води можуть вмістити таких 15 діжок?

300. Дмитро і Максим грають у таку гру. За свій хід гравець повинен за декілька пострілів і попасти в такі очкові зони: 7, 8, 9, 10 мішені так, щоб сума вибитих очок дорівнювала 100, при цьому 100 очок треба вибити іншим способом. Виграє той, хто останнім виб’є потрібну суму очок. Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо гру розпочинає Дмитро? Детально обґрунтуйте відповідь.

301. Запиши сотню дев’ятьма різними числами, що з’єднані знаками дій.

302. Поясни, чому 999910 більше, ніж 9920?

303. Куб розміром 5х5х5 повністю занурили у червону фарбу і розрізали на 125 кубиків розміром 1х1х1. Скільки кубиків розміром 1х1х1 мають: а)не зафарбованих граней; б) одну зафарбовану грань; в) дві зафарбовані грані; г) усі зафарбовані грані.

304. Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп

305. На площині дано декілька кіл. Доведіть, що ділянки, на які вони розбивають площину, можна правильно зафарбувати в білий та чорний кольори

306. Доведіть, що сума внутрішніх кутів будь-якого випуклого многокутника рівна 180(n-2), де n – кількість кутів.

307. Доведіть, що кількість діагоналей будь-якого випуклого многокутника рівна n·(n-3):2, де n – кількість кутів.

308. Доведіть, що (62n – 1) кратне 35, де n - натуральне число.

309. Якщо кожний хлопчик купить пиріжок, а кожна дівчинка — булочку, то вони витратять разом на одну копійку менше, ніж якби кожний хлопчик купив булочку, а кожна дівчинка — пиріжок. Відомо, що хлопчиків більше, ніж дівчинок. На скільки?

310. 175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.

311. В класі кожний хлопчик товаришує з трьома дівчатками, а кожна дівчинка — з двома хлопчиками. При цьому в класі всього 19 парт і 31 школяр. Скільки в класі учнів?

312. Дві команди розіграли першість школи в десяти видах змагань, причому за перемогу команда одержувала 4 очки, за нічию — 2 і за програш — 1 очко. Разом обидві команди набрали 46 очок. Скільки було нічиїх?

314. Четверо товаришів купили разом човен. Перший вніс половину суми, внесеної іншими; другий — третину суми, внесеної іншими; третій — чверть суми, внесеної іншими, а четвертий вніс 130 карбованців. Скільки коштує човен і скільки вніс кожний?

315. На. дорозі, що з'єднує дна аули, немає горизонтальних ділянок. Автобус їде вгору завжди зі швидкістю 15 км/год, а під гору — 30 км/год. Знайдіть відстані, між аулами, якщо відомо, що шлях туди і назад автобус долає за 4 години.

316. Чи існують такі натуральні числа a і b, що аb(а – b)= 45045?

317. Позначимо суму трьох послідовних натуральних чисел через а, а суму наступних трьох натуральних чисел — через b. Чи може добуток ab дорівнювати 111111111 ?

318. Доведіть, що остання ненульова цифра, числа 1985! парна.

319. Натуральні числа х і у такі, що 34x = 43y. Доведіть, що число х + у – складене.

320. Чи існують такі цілі числа a, b, відмінні від нуля, що одне з них ділиться на їх суму, а друге — на їх різницю?

321. Доведіть, що натуральне число, десятковий запис якого складається із однієї одиниці, двох двійок, трьох трійок, ... , дев'яти дев'яток, не може бути точним квадратом.

322. Кожне з натуральних чисел a, b, с і d ділиться на аb − сd. Доведіть, що аb − сd дорівнює 1 або −1.

323. В країні Анчурії в обігу знаходяться купюри чотирьох вартостей: 1 долар, 10 доларів, 100 доларів, 1000 доларів. Чи можна відрахувати мільйон доларів так, щоб одержати рівно півмільйона купюр?

324. На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з'явитися число 123456?

325. Доведіть, що число 3999991 не є простим.

326. а) Знайдіть семизначне число, всі цифри якого різні і яке ділиться на всі ці цифри; б) Чи існує таке восьмизначне число?

327. Маємо 10 замків і 10 ключів до них. Скількома випробовуваннями можна встановити відповідність між ключами та замками?

328. а) Скільки можна скласти 5-ланкових ланцюжків, маючи два блакитних кільці та три жовтих кільця? б) Скільки можна скласти 6-ланкових ланцюжків, маючи три блакитних кільці та три жовтих кільця?

329. У кімнаті розташовано 6 лампочок, причому до кожної із них підведено свій вимикач. Скільки існує можливостей освітлювати кімнату, якщо для цього повинна бути увімкнена хоча б одна лампочк

330. На шаховій дошці розставлено числа, кожне з яких дорівнює середньому арифметичному своїх сусідніх( по вертикалі та по горизонталі). Довести, що всі числа рівні.(вказівка: розгляньте найбільше число)

331. На колі розміщено 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох наступних за ним за ходом годинникової стрілки. Сума всіх чисел дорівнює 1. Що це за числа і як вони розміщені по колу?

332. На колі розміщено 8 чисел, кожне з яких дорівнює сумі трьох наступних за ним (за ходом годинникової стрілки). Знайти ці числа.

333. Множина М складається з трьох елементів, а множина С – з двох елементів. Скільки існує:

a) відображень М в С;

b) відображень М на С;

c) відображень С в М;

d) відображень С в М.

334. Уявіть собі, що на мові острова слова "так" і "ні" звучать як "тип" і "топ", але невідомо, яке слово що означає. Як, задавши аборигену одне питання, з'ясувати у нього, брехун він чи лицар?

Яке питання треба задати аборигену, щоб він обов'язково відповів "тип"?

335. Островитянин А в присутності іншого островитянина В каже: "Принаймні один із нас — брехун". Хто такий А і хто такий В?

336. Три чоловіки: А, В і С, про яких відомо, що один із них лицар, другий -— брехун, а третій – приїжджий, нормальний чоловік, який може казати і правду, і брехати. А каже: "Я нормальна людина". В каже: "А і С інколи кажуть правду", С каже: "В — нормальна людина"

Хто з них брехун, хто — лицар, а хто нормальна людина?

337. Зустрілися декілька аборигенів, і кожний із них заявив всім іншим: "Ви всі — брехуни". Скільки лицарів могло бути серед цих аборигенів?

338. Андрій, Віктор, Степан хотіли поїхати у відпустку разом і подали про це заяву. Через деякий час секретарка сказала, що відпустку їм надали в різні місяці – в червні, липні та серпні. І повідомила, що Степану випала відпустка не в серпні, Віктору – не в липні, а от Андрію, здається в липні. Коли чоловіки дізналися у відділі кадрів про час своєї відпустки, виявилось, що секретарка повідомила тільки одному з них вірно час відпустки. На які ж місяці кожному з них випала відпустка? (Степан – у червні, Віктор – у липні, Андрій – у серпні).

339. У трьох сім’ях чоловіки на 3 роки старші від своїх дружин. Відомо, що Іван на три роки молодший від Надії, Федору і Марії разом 56 років, А Степану і Олені – 50 років. Хто з ким одружений?(Такі пари: Іван та Олена, Степан та Марія, Федір та Надія).

340. На автомобілі нові шини. Шина на задньому колесі витримує пробіг в 16 тис. км. На передньому колесі – 24 тис. км. Який максимальний пробіг можна здійснити на цих шинах? (19 200 км)

341.Петро і Сидір влучили по мішені, зробивши по 5 пострілів, в такі круги: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Першими трьома пострілами вони вибили однакову кількість очок, але трьома останніми пострілами Петро вибив у 3 рази більше очок, ніж Сидір. Куди влучив кожен з них третім пострілом?

342. Є 27 рівних кубів одного кольору. 26 з них мають однакову вагу. Як за допомогою найменшої можливої кількості зважувань на терезах без гир відокремити куб, вага якого відрізняється від ваги інших? Дізнайтеся, важчий, чи легший він від інших кубів.

343. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 5х5 на різні 5 клітинкові фігурки?

344.. Яку найбільшу кількість клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 5х5?

345. Яку найбільшу кількість клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 4х4?

346. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 4х4 на: а) усі різні; б) рівні 4-клітинкові фігурки?

347. Яку найбільшу кількість 5-клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 4х4?

348. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 100х100 на: а) Т-подібні 4-клітинкові фігурки?

349. Складіть таблицю 6-клітинкових фігурок.. Скільки видів таких фігурок?

350. Розмістіть найбільшу кількість 5-клітинкових «кутиків» у квадраті 5х5?18

353. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 4х4 на: а) 5 різних клітинкових фігурок б) 6 різних клітинкових фігурок?

354. Є 9 паличок різної довжини від 1 см до 9 см. Квадрати, зз якими сторонами і скількома способами можна викласти з даних паличок? Способи складання квадрата вважаються різними, якщо використані різні палички і не обов’язково всі.

355. Чи можна скласти квадрати, довжини сторін яких рівні 1 см? 2 см? … 6см? Чому?

Чи можна скласти квадрат, довжина сторони якого 7 см? Як це зробити? Скількома способами його можна викласти? Розгляньте далі усі можливі випадки. Чи можна скласти квадрат, довжина сторони якого рівна 12 см і більше? Чому?

356. У числі 3728954106 викреслити три цифри так, щоб цифри, які залишились, утворили в тому ж порядку найменше (найбільше) семизначне число?

357. На площині дано 6 точок, що розташовані у вигляді прямокутника так, як показано на малюнку. Скільки існує трикутників, у яких одна вершина знаходиться в точці А, а дві інші — в будь-яких даних точках? Скільки існує трикутників, у яких одна вершина знаходиться в точці F?

358. На скільки частин можна розбити площину чотирма прямими? Розгляньте всі можливі випадки і для кожного випадку зробіть малюнок.

359. Скількома способами можна заплатити 78 крб, якщо є номінали в три та п’ять карбованців?

360. За 500 рублів куплено декілька пудів цукру. Якби на ті ж гроші придбано було на 5 пудів більше, то кожен пуд обійшовся на 5 рублів дешевше. Скільки куплено пудів цукру?

361. Чи істинне твердження: «Якщо число р — просте, і р більше ста, але менше 200, то число 210 – р також є простим числом?

362. Батько із сином потрапили в автомобільну катастрофу. Батько помер у шпиталі. До сина в палату заходить хірург і говорить, вказуючи на нього: «Це мій син». Чи можуть ці слова бути правдою?

363. Скільки цифр "9" у ряді чисел від 1 до 100?

364. Самотній нічний сторож помер вдень. Чи отримує він пенсію?

365. Цеглина важить один кілограм плюс ще півцеглини. Скільки важить цеглина?

366. Під яким кущем сидить заєць під час дощу?

367. Якщо ви любите граматику, то вас зацікавить питання, як правильно сказати "не бачу былий жовток» чи «не бачу білого жовтка"?

368. Дах одного будинку не є симетричним. Один його нахил складає з горизонталлю кут 60 градусів, а інший кут 70 градусів. Припустимо, що півень кладе яйце на гребінь даху. На який бік даху впаде яйце? .

369. Припустимо, що на кордоні США та Канади сталася авіаційна катастрофа. У якый з двох країн повинні бути поховані уцілілі пасажири?

370. За кордон поїхала група туристів із 100 чоловік. 14 із них не знали ні німецької, ні французької мови. 75 знали німецьку мову. 83 людини знали французьку мову. Скільки туристів володіли двома іноземними мовами?

371. У сім’ї троє дітей. Тоні вдвоє більше років, ніж буде Галі тоді, коли Жені виповниться стільки ж років, скільки Тоні зараз. Хто з них найстарший, хто найменший, а хто середній за віком?

372. На одному заводі працювало троє друзів: слюсар, токар і зварю-вальник. Їхні прізвища: Ярема, Заполух і Стецюк. У слюсаря немає ні братів, ні сестер. Він — наймолодший з друзів. Стецюк, що одружений на сестрі Яреми, старший від токаря. Назвіть прізвища слюсаря, токаря і зварювальника.

Міністерство освіти і науки України

Фізичний факультет

Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова

Одеський обласний гуманітарний центр

позашкольної освіти та виховання

Одеськa обласна організація

товариства винахідників та раціоналізаторів України

ТЕМИ САМОСТІЙНИХ НАУКОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

(для учнів – виконавців наукових робіт з фізики

в рамках Малої академії наук України)

Методичні вказівки

Одеса 2006

2

Друкується за рішенням Вченої ради фізичного факультету

Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова.

Протокол № 2 від 10 жовтня 2006 р.

Рецензенти:

В. Д. Русов, доктор фіз.-мат. наук, професор, завідуючий кафедри

теоретичної і експериментальної фізики ОНПУ;

В. Г. Шевчук, доктор фіз.-мат. наук, професор кафедри загальної

фізики ОНУ.

Відповідальний редактор:

Ю. Ф. Ваксман, доктор фіз.-мат. наук, професор, декан

фізичного факультету ОНУ.

Укладач: Олєйнік В. П., канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри

теоретичної фізики Одеського національного університету ім. І. І.

Мечникова, науковий керівник секції “Фізика” Одеського

територіального відділення Малої академії наук України.

У методичних вказівках надано рекомендації щодо вибору

теми самостійних наукових досліджень з фізики для учнів 8-х –

11-х класів загальноосвітніх шкіл, гімназій та ліцеїв Одеської

області в рамках Малої академії наук України, перелік напрямів

сучасних фізичних досліджень, а також перелік характеристик

фізичних процесів, які учні можуть виміряти у лабораторіях

фізичного факультету ОНУ ім. І. І. Мечникова.

© В.П.Олєйнік, укладання, 2006

ВСТУП

Світ навколо нас – це світ найрізноманітніших фізичних

процесів, які відбуваються на тих, чи інших масштабах: це

міжмолекулярні взаємодії у дошці шкільної парти або у краплині

дощу; це процеси у тканинах зеленого листя або у пазурі кошачої

лапки; це процеси у грунті картопляного поля або у клаптику

грунту, що залишився не заасфальтованим на міській вулиці; це

процеси на поверхні або у глибині ставка, річки, моря, всілякі

метеорологічні процеси та інше. Незважаючи на те, що останні

два чи три століття – це століття фізичних досліджень, які увесь

час вдосконалюються та поглиблюються, досі існує чимало явищ,

про які ми знаємо зовсім мало. Наприклад, самою

розповсюдженою у природі рідиною є вода. Хоча її

макроскопічні фізико-хімічні характеристики (густина,

теплоємність, в’язкість, розчинність та інші) добре відомі, вона

залишається одним з найскладніших об’єктів дослідження.

Незважаючи на багаторічні дослідження біологічних структур,

фізики досі не можуть послідовно визначити, чим жива матерія

відрізняється від неживої. Більш того, до сьогодення фізики

навчилися досліджувати тільки процеси, у яких приймають

участь заряджені частинки або електромагнітні полі, і тому

більш, ніж 99 відсотків інформації про навколишній світ людство

отримує як інформацію електромагнітного походження. Про інші

канали інформації нам відомо дуже мало, не кажучи про їхнє

практичне використання.

Ми пропонуємо учням 8-х – 11-х класів загальноосвітніх

шкіл, гімназій та ліцеїв Одеської області дібрати собі для

самостійного дослідження тему з фізики навколишнього

середовища: наприклад, дослідити, як рипить кватирка під дією

вітру, або як розчиняється цукор у чашці чаю, або як набрякає

сухе насіння, якщо його полити водою, або які процеси

відбуваються під час татуювання, й так далі. Якщо відкрити на

будь-якій сторінці підручник, популярну або наукову книгу з

хімії, біології, географії чи іншої природничої науки, як правило,

викладений там матеріал може бути розглянутий з фізичної точки

зору. Наприклад, з підручника хімії: як утворюється іржа на

поверхні заліза, або як працює каталізатор при синтезі аміаку, або

які особливості протікання того чи іншого процесу полімеризації.

З підручника біології: про роль температури середовища у житті

рослини, або про процеси дихання клітини, або про електронну

мікроскопію біологічних тканин. Важливо, щоб обрана учнем

тема мала конкретний характер, тобто для дослідження було

обране якесь конкретне явище або процес.

Зазвичай для послідовного опису будь-якого фізичного

процесу або явища треба мати глибокі знання не тільки

відповідного розділу чи розділів сучасної фізики, але й розділів

інших природничих наук. Такі знання набуваються поступово,

для цього треба багато працювати з літературою, тому першим

кроком наукового дослідження є пошук літератури, яка

стосується вибраної для дослідження теми. Для пошуку

літератури ми рекомендуємо скористатися фондами Наукової

бібліотеки Одеського національного університету ім. І. І.

Мечникова, де є багато енциклопедій, довідників, підручників

для студентів, монографій, збірок статей та матеріалів

конференцій з природничих наук. Вкрай важливо, щоб

відібраний у бібліотеці матеріал дозволив як найкраще

висвітлити у науковій роботі такі сторони матеріалу, як

актуальність, науковість, зв’язок з діючими науковими

програмами та конкретними розробками.1 Наприклад, згадана

1 Під час проведення заочного туру І (районного), ІІ (обласного) або ІІІ

(всеукраїнського) етапів Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-

дослідницьких робіт учнів-членів Малої академії наук України науково-

дослідницькі роботи учнів оцінюються жюрі за такими характеристиками:

вище тема про рипіння кватирки може бути пов’язана з такими

актуальними проблемами, як розробка експрес-методів

дослідження структури або якості поверхонь, виділення корисних

сигналів на фоні шуму, тертя у вузлах механізмів та інші. Сама

дослідницька робота може бути теоретичною,

експериментальною, або включати як теоретичні, так і

експериментальні дослідження. Дослідницька робота у архівах,

сховищах, бібліотеках може стосуватися історії фізики, історії

фізичного обладнання або історії фізичної освіти.

Наукова бібліотека Одеського національного університету ім.

І. І. Мечникова працює в усі дні тижня окрім неділі з 900 до 1800,

а по суботах – з 900 до 1600. Щоб скористатися фондами Наукової

бібліотеки, учню досить мати власний учнівський білет з

фотокарткою. Уся література, яка є у фондах Наукової

бібліотеки, відображена у предметних та авторських каталогах

залу каталогів. Необхідну літературу можна відібрати по назвах

монографій, статей, матеріалів конференцій у залі каталогів, де її

можна замовити та отримати у той самий день у залі №3 (зал

природничих наук). Треба мати на увазі, що у самому залі №3 є

багато енциклопедій, довідників та підручників. З усієї

найважливішої літератури можна зняти копію у сусідньому залі

та потім працювати вдома.

складність, науковість, повнота розкриття теми (максимальна оцінка – 9

балів), аргументованість висновків (3 бали), актуальність та елемент

творчості (6 балів), стиль, грамотність (2 бали), якість оформлення (2

бали). Максимальна оцінка заочного туру – 22 бали. Під час захисту

науково-дослідницьких робіт жюрі оцінює роботи за такими

характеристиками: аргументація вибору та розкриття теми дослідження з

урахуванням власного вкладу дослідника – 14 балів, чіткість, логічність,

лаконічність викладення матеріалу – 8 балів, повнота, вичерпність

відповідей – 8 балів, культура мовлення – 3 бали, доцільність, якість і

вміння використання наочних матеріалів та технічних засобів – 3 бали,

активна кваліфікована участь у веденні дискусій – 3 бали. Максимальна

оцінка захисту – 39 балів.

Нижче перелічені деякі напрями сучасних фізичних

досліджень, які б полегшили учню проблему пошуку вузької

теми для самостійних досліджень. Може статися, що обрана

учнем тема стане темою його досліджень на усе життя. Викладачі

Одеського національного університету готові допомогти учню на

перших кроках його самостійної діяльності. Перелік

характеристик фізичних процесів, які можна виміряти у

лабораторіях фізичного факультету, не вичерпується

представленим списком. За зазначеними телефонами можна

здобути інформацію, які ще вимірювання можна провести у тій

чи іншій лабораторії, або здобути підказку, де ще можна

провести необхідні для наукової роботи вимірювання.

ДЕЯКІ НАПРЯМИ

СУЧАСНИХ ФІЗИЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

– Фізика акустичних явищ: особливості руху звукових хвиль

у різних середовищах з врахуванням крайових умов та локальних

неоднорідностей.

– Фізика коливань: малі лінійні та нелінійні коливання у

фізичних системах.

– Фізика електромагнітних хвиль: збудження, особливості

руху та вплив на фізичні процеси у обмежених середовищах та

системах електромагнітних хвиль різної довжини.

– Фізика твердого тіла: кристалічна структура; носії

електричного струму; особливості фазових станів та фазових

переходів; нелінійні процеси; вплив поверхні на фізичні

властивості; структури з обмеженої кількості атомів

(наноструктури).

– Фізика рідин: властивості конкретних чистих рідин,

розчинів, емульсій, суспензій; особливості гідродинамічних

– Фізика плазми: електричні розряди у газах; процеси горіння

та вибуху; сонячний вітер; іоносфера та радіаційні пояси Землі;

магнітні бурі та полярні сяйва.

– Фізична хімія: особливості перебігу фотохімічних,

радіохімічних та інших реакцій; вплив каталізаторів, зовнішніх

полів на хімічні процеси; хіміко-технологічні процеси з точки

зору фізики.

– Біофізика: фізико-хімічні процеси у мікробіології – синтез

та взаємні перетворення білків, нуклеїнових кислот та інших

речовин у клітині; механізм роботи окремих органів та систем

живого організму; вплив зовнішніх умов на живий організм.

– Медична фізика: ультразвук у різних тканинах; тиск

крові та особливості кровообігу; вплив побутових електричних і

магнітних полів, а також сонячної активності на організм

людини; дія радіації на біологічні тканини.

– Фізика продуктів харчування: особливості теплової

обробки продуктів харчування; зберігання харчових продуктів;

фізико-хімічні властивості напівфабрикатів; властивості

замінників у харчових продуктах; продукти харчування у

людському організмі.

– Фізика і косметика: шкіра рук та косметичні креми; лаки та

гелі на поверхні нігтів.

– Глобальні геофізичні процеси на Землі: землетруси, цунамі,

вулканічні явища, падіння метеоритів.

– Фізична океанологія: тепловий та водяний баланс океану;

коливання його поверхні та внутрішні коливання (вітрові,

гіроскопічні, інерційні, приливні та інші хвилі); звукові хвилі та

природні шуми; взаємодія океану з атмосферою.

– Фізична метеорологія: фізичні явища та процеси у

атмосфері; погодні умови та клімат Землі; атмосферна оптика.

– Фізика і проблеми будівництва: фізика будівельних

матеріалів; будівництво промислових споруд та житлових

будівель у сейсмоактивних районах; висотні споруди та

структура грунтів; вплив середовища на поверхню споруди;

особливості стародавніх споруд.

– Фізика і живопис: процеси деградації (старіння) матеріалів

живопису; оптичні ефекти на полотнах художників.

– Екологія: моніторинг навколишнього середовища

(повітряна, водяна, грунтова та інші екосистеми); очистка газів,

рідин, вилучення домішок, забруднень та ін.; фізичні процеси з

врахуванням забруднень.

– Екологічні проблеми енергетики: пошуки нових

екологічно чистих джерел енергії.

– Історія фізичних досліджень та освіти з фізики.

ВИМІРЮВАННЯ ХАРАКТЕРИСТИК

ФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ

(у лабораторіях фізичного факультету ОНУ ім. І. І. Мечникова)

1. Спектр фотоструму. Лабораторія опто- та квантової

електроніки. Проф. Птащенко Олександр Олександрович, т. 23-

58-13.

Вимірюється залежність величини фотоструму від енергії

падаючих фотонів для фотоприймачів (фотодіодів,

фоторезисторів, сонячних елементів). Діапазон енергій фотонів

hν =1÷ 2,5 eV .

2. Спектр електролюмінесценції. Лабораторія опто- та

квантової електроніки, т. 23-58-13. Проф. Птащенко Олександр

Олександрович.

Вимірюється розподіл інтенсивності випромінювання по

енергіях фотонів (для світловодів, напівпровідникових лазерів) у

межах hν =1÷ 2,5 eV .

3. C-V характеристики напівпровідникових приладів.

Лабораторія опто- та квантової електроніки, т. 23-58-13. Проф.

Птащенко Олександр Олександрович.

Вимірюється залежність ємності від напруги (для діодів).

Ємність вимірюється у межах 10.200 пФ.

4. Вимірювання в’язкості мастил методом капілярного

віскозіметра Освальда. Лабораторія приповерхневих шарів і

рідких кристалів, т. 731-74-30. Проф. Алтоіз Борис Анатоліївич.

В’язкість мастил – один з найважливіших їхніх параметрів.

Знання цього параметру дозволяє визначити якість мастила та

прогнозувати його експлуатаційні характеристики.

5. Вимірювання оптичної анізотропії мікронних

прошарків немезогенної рідини методом щілинного світловоду.

Лабораторія приповерхневих шарів і рідких кристалів, т. 731-74-

30. Проф. Алтоіз Борис Анатоліївич.

Один з найновітніших експрес-методів встановлення

структурних властивостей мікронних прошарків немезогенних

рідин.

6. Мікроскопічні вимірювання в оптичному діапазоні.

Лабораторія рентгеноструктурного аналізу, т. 731-74-89. Доц.

Євтушенко Ніна Германовна.

Спостереження проводяться на металографічному мікроскопі

МІМ-8М, призначеному для візуального спостереження

мікроструктури металів та інших непрозорих об’єктів у світлому

полі при прямому й косому висвітленні, у темному полі й у

поляризованому світлі. Спостережуване зображення може бути

зафіксоване на фотоплівку або у цифровій формі (640х480 pt).

7. Вимірювання питомого опору напівпровідникових

матеріалів чотирьохзондовим методом. Лабораторія

електрофізичних вимірювань, т. 731-74-89. Доц. Солошенко

Віктор Іванович.

8. Дослідження високотемпературного тепломасообміну

металевих зразків термографічним методом. Кафедра

теплофізики, т. 723-62-27. Доц. Орловська Світлана Георгіївна.

За вольт-амперною характеристикою визначаються

температура та критичні умови запалювання металевих зразків.

9. Дослідження кінетики випаровування рідини та визначення

коефіцієнтів дифузії парів рідин у нерухомому середовищі.

Кафедра теплофізики т. 723-62-27. Доц. Орловська Світлана

Георгіївна.

На експериментальному стенді вивчається процес

випаровування крапель рідин, визначається їх температура та

обчислюється коефіцієнт дифузії парів.

10. Визначення концентрації вільних електронів у

вуглеводневому полум’ї. Кафедра теплофізики, т. 723-12-03, 746-

65-24. Проф. Драган Григорій Сільвестрович.

Розраховується концентрація електронів на рівноважній

ділянці вуглеводневого полум’я. Використовуються рівняння

Саха, електронейтральності та збереження маси.

11. Вплив температури на електропровідність плазми.

Кафедра теплофізики т. 723-12-03, 746-65-24. Проф. Драган

Григорій Сільвестрович.

12. Пірометрія тонких дротинок. Кафедра теплофізики, т.

723-62-27. Ст.н.с. Карімова Фаріда Фарідовна.

Визначення температури нагрітих металевих зразків методом

оптичної пірометрії.

13. Визначення коефіцієнта Відемана-Франца (відношення

коефіціентів теплопровідності та електропровідності) металів

методом Кольрауша. Кафедра теплофізики, т. 723-12-03. Асист.

Черненко Олександр Сергійович, моб. 8-097-92-84-409.

Коефіцієнт Відемана-Франца визначається за теплотою,

котра виділяється у металевому стержні при проходженні по

ньому електричного струму за умовою, що стержень не

обмінюється теплотою з навколишнім середовищем.

14. Визначення питомої теплоємності металів методом

охолодження. Кафедра теплофізики, т. 723-12-03. Асист.

Черненко Олександр Сергійович, моб. 8-097-92-84-409.

Порівнюються криві залежності температури від часу для

двох металевих тіл, одне з яких є еталонним.

15. Визначення коефіцієнта теплопровідності металів

методом Барата-Вінера. Кафедра теплофізики, т. 723-12-03.

Асист. Черненко Олександр Сергійович, моб. 8-097-92-84-409.

За розподілом температури нагрітого з одного кінця

металевого стержня визначається його коефіцієнт

теплопровідності.

16. Вимірювання характеристик коливального контура.

Кафедра експериментальної фізики, т. 723-62-34. Ст. викл.

Пастернак Валерій Олександрович.

17. Вимірювання вольт-амперних характеристик

малопотужних діодів та транзисторів. Кафедра

експериментальної фізики, т. 723-62-34. Ст. викл. Пастернак

Валерій Олександрович.

18. Вимірювання роботи виходу електронів з вольфрама.

Кафедра експериментальної фізики, т. 723-62-34. Доц. Чебаненко

Анатолій Павлович, доц. Малушин Микола Васильович.

19. Поглинання γ -випромінювання у різних речовинах.

Кафедра експериментальної фізики, т. 723-62-34. Ст. викл.

Бабінчук Валентин Степанович.

20. Вимірювання масової швидкості горіння вуглеводневих

пальних. Кафедра загальної та хімічної фізики, т. 721-52-20.

Проф. Шевчук Володимир Гаврилович.

21. Кондуктометричний метод дослідження дисперсного

складу пиловидних матеріалів. Кафедра загальної та хімічної

фізики, т. 721-52-20. Проф. Шевчук Володимир Гаврилович.

22. Вимірювання температурного профілю факелу прозорого

полум’я методом звернення спектральних ліній. Кафедра

загальної та хімічної фізики, т. 721-52-20. Проф. Флорко

Олександр Володимирович.

23. Вимірювання показника заломлення у розчинах методом

порушеного повного внутрішнього відбивання та

голографічними методами. Кафедра загальної та хімічної фізики,

т. 721-52-20. Доц. Гоцульський Володимир Яковлевич.

24. Вимірювання довжини когерентності та часу

когерентності лазерного випромінювання. Кафедра загальної та

хімічної фізики, т. 721-52-20. Ст. викл. Солдатова Олена

Борисівна.__

103

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу.