Урок № 1. Чотирикутник, його елементи. Сума кутів чотирикутника | Геометрія, 8 клас

Навколо нас можна побачити багато предметів, форма яких нагадує чотирикутник: екран телефона, вікно, аркуш паперу, фасад будинку. У геометрії поняття чотирикутника має точне математичне значення.

🎯 Після цього уроку ви зможете:

• називати основні елементи чотирикутника: вершини, сторони, кути та діагоналі;

• розрізняти сусідні й протилежні вершини та сторони;

• визначати, чи є чотирикутник опуклим або неопуклим;

• застосовувати властивість суми кутів чотирикутника для знаходження невідомих кутів;

• обчислювати периметр чотирикутника та розв’язувати прості задачі за його властивостями.

🔹 Чотирикутник та його елементи

Чотирикутник — це геометрична фігура, яка складається із чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно сполучають ці точки.

При цьому:

• жодні три вершини чотирикутника не лежать на одній прямій;

• сторони чотирикутника не перетинаються між собою, крім сусідніх сторін у їхніх спільних вершинах.

Розглянемо чотирикутник ABCD (мал. 1).

Мал. 1. Основні елементи чотирикутника ABCD

Точки A, B, C, D називають вершинами чотирикутника.

Відрізки AB, BC, CD, DA називають сторонами чотирикутника.

Сусідні та протилежні вершини

Дві вершини, які є кінцями однієї сторони, називають сусідніми вершинами.

Наприклад, у чотирикутнику ABCD сусідніми є вершини:

• A і B;

• B і C;

• C і D;

• D і A.

Вершини, які не є сусідніми, називають протилежними.

У чотирикутнику ABCD протилежними є:

• A і C;

• B і D.

Сусідні та протилежні сторони

Дві сторони, які мають спільну вершину, називають сусідніми сторонами.

Наприклад, AB і BC — сусідні сторони.

Сторони, які не мають спільної вершини, називають протилежними сторонами.

У чотирикутнику ABCD:

• AB і CD — протилежні сторони;

• BC і AD — протилежні сторони.

Діагоналі чотирикутника

Діагоналлю чотирикутника називають відрізок, що сполучає дві його протилежні вершини.

У чотирикутнику ABCD є дві діагоналі:

AC і BD.

Кути чотирикутника

Кути, утворені сусідніми сторонами, називають кутами чотирикутника.

У чотирикутнику ABCD це:

∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Кути при сусідніх вершинах називають сусідніми, а кути при протилежних вершинах — протилежними.

Наприклад:

• ∠A і ∠B — сусідні кути;

• ∠A і ∠C — протилежні кути.

Периметр чотирикутника

Периметр чотирикутника — це сума довжин усіх його сторін.

Для чотирикутника ABCD:

P = AB + BC + CD + DA

✏️ Як правильно називати чотирикутник?

Під час запису назви чотирикутника його вершини потрібно називати послідовно, рухаючись уздовж сторін.

Наприклад, один і той самий чотирикутник можна назвати:

ABCD, BCDA, CDAB, DABC

або, якщо рухатися у протилежному напрямку:

ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

А ось запис ACBD неправильний, адже вершини A і C є протилежними, а не сусідніми.

🔹 Опуклі та неопуклі чотирикутники

Чотирикутники можуть мати різну форму.

Опуклий чотирикутник

Якщо всі кути чотирикутника менші за 180°, то такий чотирикутник називають опуклим.

У опуклого чотирикутника обидві діагоналі проходять усередині фігури та перетинаються.

Неопуклий чотирикутник

Якщо один із кутів чотирикутника більший за 180°, то такий чотирикутник називають неопуклим.

У неопуклого чотирикутника діагоналі розташовані інакше: одна з них проходить поза внутрішньою областю фігури.

Мал. 2. Опуклий і неопуклий чотирикутники

⭐ Сума кутів чотирикутника

З 7 класу ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°.

А чому дорівнює сума кутів чотирикутника?

📌 Теорема

Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°.

Тобто:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

🔍 Доведення

Розглянемо опуклий чотирикутник ABCD і проведемо його діагональ AC (мал. 3).

Мал. 3. Доведення теореми про суму кутів чотирикутника

Діагональ AC поділяє чотирикутник на два трикутники:

• трикутник ABC;

• трикутник ACD.

У трикутнику ABC сума кутів дорівнює 180°:

∠2 + ∠B + ∠3 = 180°.

У трикутнику ACD:

∠1 + ∠D + ∠4 = 180°.

Додамо ці дві рівності:

∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D = 360°.

Але:

∠1 + ∠2 = ∠A,

а

∠3 + ∠4 = ∠C.

Отже:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Теорему доведено.

Для неопуклого чотирикутника теорема також справедлива. Якщо провести ту його діагональ, яка проходить усередині фігури, вона так само поділить чотирикутник на два трикутники, тому сума його кутів дорівнює 360°.

🧩 Приклад 1

Три кути чотирикутника дорівнюють 75°, 110° і 95°. Знайдемо четвертий кут.

Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Тому:

360° − 75° − 110° − 95° = 80°.

Отже, четвертий кут дорівнює 80°.

Відповідь: 80°.

🧩 Приклад 2

Кути чотирикутника відносяться як:

3 : 10 : 4 : 1.

Нехай одна частина дорівнює x°. Тоді кути чотирикутника:

3x°, 10x°, 4x°, x°.

Їхня сума дорівнює 360°:

3x + 10x + 4x + x = 360

18x = 360

x = 20

Отже, кути дорівнюють:

• 3 · 20° = 60°;

• 10 · 20° = 200°;

• 4 · 20° = 80°;

• 20°.

Один із кутів дорівнює 200°, тобто він більший за 180°.

Отже, цей чотирикутник є неопуклим.

Відповідь: 60°, 200°, 80°, 20°; чотирикутник неопуклий.

💡 Запам'ятайте

Чотирикутник має:

• 4 вершини;

• 4 сторони;

• 4 кути;

• 2 діагоналі.

Периметр чотирикутника:

P = AB + BC + CD + DA

Сума кутів чотирикутника:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Опуклий чотирикутник — усі його кути менші за 180°.

Неопуклий чотирикутник — один із його кутів більший за 180°.

Під час виконання оцінюваних завдань важливо показати власні знання та вміння.

Використання готових відповідей, допомоги інших людей, ChatGPT, Gemini, Photomath та інших сервісів, які можуть розв’язати завдання замість вас, спотворює результат і не дає зрозуміти, що ви вже вмієте, а над чим ще потрібно попрацювати.

Помилятися — нормально. Саме помилки допомагають побачити, що варто повторити.

Під час виконання завдань я:

• працюю самостійно;

• не використовую готові розв’язки та відповіді;

• не використовую ШІ й сервіси автоматичного розв’язування;

• чесно виконую роботу відповідно до своїх знань.

Натискаючи кнопку «Ознайомлений/на», я підтверджую, що дотримуватимуся цих правил під час виконання оцінюваної частини уроку.

Напишіть 1–2 речення:

• що нового ви сьогодні дізналися про чотирикутники;

• яке завдання було для вас найпростішим, а яке потребує ще трохи практики.

Можна розпочати так:

«Після цього уроку я вже вмію...»
або
«Мені ще потрібно потренуватися...»