8 клас. Геометрія. Урок 6. Чотирикутник та його елементи

Чотирикутник

Ситуація. Нічна хуртовина занесла снігом подвір’я. Зранку батько з мамою та двома дітьми — Ігорем і Катрусею — вийшли розчистити доріжки, щоб можна було обійти подвір’я «за колом». Батько розчищав доріжку від будинку до хвіртки, мама — від будинку до літньої кухні, Ігор — від літньої кухні до сарайчика, а Катруся — від сарайчика до хвіртки.

Яка фігура утворилася на подвір’ї?

Запам'ятайте!

Чотирикутником називається геометрична фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. При цьому: ніякі три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, що сполучають ці точки, не повинні перетинатися.

Чотирикутник: ABCD, або BCDA, або CDAB і т. д.

A, B, C, D – вершини чотирикутника,

AB, BC, CD, DA – його сторони.

Кути DAB, ABC, BCD, CDA – це кути чотирикутника. Їх позначають і однією буквою: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Чому фігури, зображені на малюнках не є чотирикутниками?

Елементи чотирикутника

Дві вершини, два кути або дві сторони чотирикутника можуть бути або сусідніми, або протилежними.

Наприклад, у чотирикутнику ABCD вершини A і D, ∠A і ∠D, сторони AD і AB – сусідні, а вершини A і C, ∠A і ∠C, сторони AD і BC – протилежні.

Які елементи чотирикутника одержимо, якщо сполучити його протилежні вершини?

Запам'ятайте!

Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називають його діагоналями.

AC і BD – діагоналі чотирикутника ABCD

Який елемент чотирикутника одержимо, якщо продовжити його сторону?

Запам'ятайте!

Кут, суміжний з кутом чотирикутника, називають зовнішнім кутом чотирикутника.

∠CDK – зовнішній кут чотирикутника ABCD при вершині D.

Опуклі та неопуклі чотирикутники

Чотирикутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від кожної прямої, яка проходить через дві його сусідні вершини.

Чи кожен чотирикутник є опуклим?

Чотирикутник називають неопуклим, бо він не лежить з одного боку від прямої, що проходить через вершини M і N.

Периметр чотирикутника

Що таке периметр чотирикутника?

Запам'ятайте!

Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін.

Позначають: $P_{ABCD}$

Властивість сторін чотирикутника

Чи може чотирикутник мати такі сторони: 1 см, 2 см, 3 см, 6 см?

Щоб установити, чи можна із чотирьох відрізків a, b, c, d утворити чотирикутник, перевірте, чи є найдовший із чотирьох відрізків меншим від суми трьох інших.

Властивість кутів чотирикутника

Запам'ятайте!

Теорема (про суму кутів чотирикутника) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Дано: ABCD - чотирикутник

Довести: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Доведення

1. У даному чотирикутнику ABCD проведемо діагональ AC.

2. Одержали два трикутники – ΔABC і ΔACD, тоді ∠A = ∠BAC + ∠CAD, ∠С = ∠BCA + ∠ACD.

3. Звідси:

   ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠BAC + ∠CAD + ∠B + ∠BCA + ∠ACD + ∠D = (∠BAC + ∠B + ∠BCA) + (∠ACD + ∠D+ ∠CAD) = 180° + 180° = 360°.

Висновок: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Чи можуть усі кути чотирикутника бути гострими?

Чотирикутники в піраміді

Чи можна в піраміді побачити чотирикутники?

В основі піраміди може лежати будь-який многокутник. У чотирикутній піраміді основа є чотирикутником, а бічні грані — трикутниками.

№76 (Усно)

Чи правильно вказано градусну міру кутів чотирикутника ABCD на малюнках? Відповідь поясніть.

№79

Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 140 см, а одна з його сторін у 9 разів менша від кожної з інших.

№81

Чи може чотирикутник мати такі сторони:

1. 1 см, 2 см, 3 см, 4 см;

2. 18 см, 6 см, 5 см, 6 см?

№83

За даними на малюнках визначте невідомі кути чотирикутника ABCD.

№87

Інтерактивна вправа

№94

Знайдіть зовнішній кут при вершині С чотирикутника ABCD, якщо:

1. ∠C = 75°;

2. ∠А = ∠В = ∠D = 90°.

№98

Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 66 см, одна його сторона більша за другу на 8 см і на стільки само менша від третьої, а четверта сторона — у три рази більша за другу.

№100

Три сторони чотирикутника дорівнюють 10 см, 15 см і 20 см. Чи може периметр чотирикутника дорівнювати:

1. 90 см;

2. 72 см;

3. 115 см?

№103

У чотирикутнику ABCD діагональ BD ділить кути B і D навпіл. Доведіть, що AB = CB і DA = DC.

№105

Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам:

1. 1, 2, 3 і 4;

2. 4, 6, 12 і 14.

Домашнє завдання:

1. Вивчити конспект §1.

2. Виконати №80, 88, 95, 106

Конспект