8 клас. Геометрія. Урок 22. Вписані й описані чотирикутники. Розв’язування задач і вправ. Експрес-контроль № 12

Описаний чотирикутник

Чотирикутник, усі сторони якого дотикаються до кола, називається описаним навколо цього кола, а коло — вписаним у цей чотирикутник.

З якими елементами пов’язана властивість описаного чотирикутника?

Теорема (властивість сторін описаного чотирикутника).

Суми протилежних сторін описаного чотирикутника рівні.

Дано: чотирикутник ABCD, описаний навколо кола, E, F, K і P — точки дотику.

Довести: AB + CD = BC + AD.

Доведення

1. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо:

   AE = AP, BE = BF, CK = CF, DK = DP.

2. Додавши почленно ці рівності, одержимо:

   AE + BE + CK + DK = AP + BF + CF + DP, тобто AB + CD = BC + AD.

Чи в кожний чотирикутник можна вписати коло?

Теорема (ознака описаного чотирикутника).

Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло.

Щоб довести, що чотирикутник MNKP — вписаний у коло, покажіть, що: або ∠М + ∠K = 180°, або ∠N + ∠P = 180°.

Щоб довести, що чотирикутник ABCD — описаний навколо кола, покажіть, що: AB + CD = AD + BC.

№524 (усно)

Чи правильно вказано довжини сторін чотирикутника на малюнку? Відповідь поясніть.

№525 (усно)

За даними на малюнку знайдіть:

1. суму сторін AD і BC описаного чотирикутника ABCD;

2. суму кутів M і P вписаного чотирикутника MNPK.

№533

Інтерактивна вправа

№535

Знайдіть периметр чотирикутника, описаного навколо кола, якщо сума двох протилежних його сторін дорівнює:

1. 20 см;

2. 3,2 дм.

№537

Доведіть, що центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.

№545

Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого, взяті послідовно, пропорційні числам:

1. 2, 2, 3, 3;

2. 2, 5, 3, 4?

№548

Три сторони описаної трапеції, взяті послідовно, відносяться як 2 : 7 : 12. Знайдіть сторони трапеції, якщо її периметр дорівнює:

1. 42 мм;

2. 56 см.

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §9. Виконати № 534, 536, 538, 549.