8 клас. Геометрія. Урок 21. Вписані й описані чотирикутники

Вписані й описані чотирикутники

Ситуація. Дівчата й хлопці 8-А класу аналізували старі назви «хордіальний чотирикутник» і «дотичний чотирикутник» і намагалися пояснити, яким сучасним термінам вони відповідають.

Як визначити вписаний чотирикутник і описаний чотирикутник?

Чотирикутник, усі вершини якого лежать на колі, називається вписаним у це коло, а коло — описаним навколо цього чотирикутника.

Чотирикутник, усі сторони якого дотикаються до кола, називається описаним навколо цього кола, а коло — вписаним у цей чотирикутник.

З якими елементами пов’язана властивість вписаного чотирикутника?

Теорема (властивість кутів вписаного чотирикутника).

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.

Дано: чотирикутник ABCD, вписаний у коло

Довести: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°.

Доведення

1) Кути A, B, C і D — вписані в коло.

2) За теоремою про вписаний кут маємо:

3) Тоді

4) Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360°, а сума кутів A і C — 180°.

Тоді ∠B + ∠D = 360°– (∠A + ∠C) = 360° – 180° = 180°.

Чи навколо кожного чотирикутника можна описати коло?

На відміну від трикутника, не кожний чотирикутник — вписаний.

Теорема (ознака вписаного чотирикутника).

Якщо в чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо такого чотирикутника можна описати коло.

№521 (усно)

На якому з малюнків зображено чотирикутник, вписаний у коло?

№522 (усно)

На якому з малюнків зображено чотирикутник, описаний навколо кола?

№523 (усно)

Чи правильно вказано градусні міри кутів чотирикутника на малюнку? Відповідь поясніть.

№526

Інтерактивна вправа

№527

Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо кути A, B, C і D відповідно дорівнюють:

1. 90°, 90°, 110°, 120°;

2. 70°, 130°, 110°, 50°?

№531

Доведіть, що центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину його діагоналей.

№539

Знайдіть кут D чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо його кути A, B і C відносяться як:

1. 2 : 3 : 4;

2. 1 : 2 : 2.

№540

Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює:

1. 10 см;

2. 2,3 дм.

№542

Доведіть:

1. будь-яка трапеція, вписана в коло, — рівнобічна;

2. будь-який паралелограм, вписаний у коло, — прямокутник

Тренувальні вправи

Інтерактивна вправа

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §9. Виконати № 528, 532, 541.