8 клас. Геометрія. Урок 20. Вписані кути. Експрес-контроль № 11

Вписані кути

Ситуація. Денис вирішив по-іншому відрізати шматочок торта, ніж Марина. Для цього він теж зробив два розрізи торта, але за променями, що виходять з точки на його краї.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом.

На малюнку ∠АВС — вписаний, оскільки його вершина В лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках А і С.

Якщо дуга АС лежить у внутрішній області вписаного кута АВС, то кажуть, що даний вписаний кут спирається на дугу АС.

Теорема (про вписаний кут) Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Дано: ∠АВС — вписаний у коло із центром O

Довести:

Доведення

Розглянемо три випадки розміщення центра кола відносно сторін даного вписаного кута.

Перший випадок. Центр кола лежить на стороні вписаного кута

1) Проведемо відрізок ОА.

2) Тоді центральний кут АОС є зовнішнім кутом трикутника АОВ.

3) За властивістю зовнішнього кута трикутника, ∠АОС = ∠ОВА + ∠ОАВ.

4) Але ∠ОВА = ∠ОАВ, оскільки ∆АОВ — рівнобедрений (ОВ = ОА = R). Тому ∠АОС = 2∠АВС, або

5) Але ∠АОС вимірюється дугою АС. Отже, вписаний кут АВС вимірюється половиною дуги АС.

Другий випадок. Центр кола лежить у внутрішній області вписаного кута.

1) Проведемо промінь ВО.

2) Подамо даний кут у вигляді суми двох кутів: ∠АВС = ∠ABD + ∠DBC.

3) За доведеним у першому випадку, ∠ABD вимірюється половиною дуги AD, а ∠DBC — половиною дуги DC. Тому ∠АВС вимірюється сумою півдуг AD і DC, тобто половиною дуги АС.

Третій випадок. Центр кола лежить у зовнішній області вписаного кута

1) Проведемо промінь ВО.

2) Одержимо:

Наслідок 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, — рівні.

Справді, кожний із них вимірюється половиною однієї й тієї самої дуги.

Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий.

Справді, такий кут вимірюється половиною півкола, тобто його градусна міра дорівнює 180° : 2 = 90°.

Щоб довести рівність двох кутів, покажіть, що вони є вписаними в одне коло і спираються на одну й ту саму дугу або на рівні дуги цього кола.

№483

Інтерактивна вправа

№485

Знайдіть вписаний кут, якщо дуга, на яку він спирається, дорівнює:

1. 52°;

2. 126°;

3. 200°.

№487

За даними на малюнках знайдіть х°.

№488

Точки А, В і С ділять коло на три дуги. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо градусні міри дуг відносяться як:

1. 1 : 1 : 1;

2. 1 : 2 : 2.

№490

Інтерактивна вправа

№492

Знайдіть кути вписаного в коло рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого стягує дугу:

1. 64°;

2. 144°.

№500

Кінці хорди АВ ділять коло на дві дуги АСВ і АDВ. Знайдіть вписані в це коло кути ACB i ADB, якщо:

1) ∪ACB : ∪ADB = 2 : 3;

2) ∪ACB : ∪ADB = 4 : 5.

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §8. Виконати № 484, 486, 489, 493.