7 клас. Геометрія. Урок 66. Повторення теми «Трикутники»

Трикутник і його елементи

Запам'ятайте!

Трикутником називається геометрична фігура, яка складається з трьох відрізків, які попарно сполучають три точки, що не лежать на одній прямій.

• ΔАВС або Δ ВСА або ΔСАВ

• вершини трикутника А, В, С

• сторони трикутника АВ, ВС, АС

• кути трикутника ∠А, ∠В, ∠С або ∠САВ, ∠АВС, ∠ВСА

  Сторони трикутника АВС можна позначити маленькими буквами а, b, c.

Надалі будемо дотримуватися правила:

• проти кута А лежить сторона а,

• проти кута В лежить сторона b,

• проти кута С лежить сторона c.

Нерівність трикутника

АС < АВ + ВС, АВ < АС + ВС, ВС < АВ + АС

Запам'ятайте!

Нерівність трикутника: Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших його сторін.

Щоб установити, чи можна з трьох відрізків а, b і с утворити трикутник, перевірте, чи є найдовший із трьох відрізків меншим від суми двох інших.

Класифікація трикутників за сторонами

Залежно від довжин сторін, трикутники поділяють на такі види:

Запам'ятайте!

• Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третю його сторону – основою.

• Суму довжин усіх сторін трикутника називають його периметром. Периметр позначають буквою Р.

Класифікація трикутників за кутами

Залежно від міри кутів, трикутники поділяють на такі види:

Запам'ятайте!

Особливі відрізки в трикутнику

Запам'ятайте!

• Кожен трикутник має три медіани, три бісектриси і три висоти.

• Позначають: медіану – $m$, бісектрису – $l$, висоту – $h.$

• Вершини, сторони і кути трикутника називають його елементами. Медіани, бісектриси і висоти – це важливі відрізки у трикутнику.

Властивості кутів трикутника

Теорема (про суму кутів трикутника).

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Наслідки:

1. Трикутник може мати лише один прямий або тупий кут. Якщо один із кутів трикутника прямий або тупий, то два інші кути – гострі.

   

2. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

   

Рівність геометричних фігур

Запам'ятайте!

Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо при накладанні вони суміщаються.

Рівні відрізки мають рівні довжини, а рівні кути – рівні градусні міри. І навпаки. Відрізки, що мають рівні довжини, рівні.

Кути, що мають рівні градусні міри, рівні.

Запам'ятайте!

Два трикутники називаються рівними, якщо: при накладанні вони суміщаються або рівні їх відповідні сторони і відповідні кути.

Записуємо: ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Говоримо: «Трикутник ABC дорівнює трикутнику A₁B₁C₁».

Порядок запису вершин рівних трикутників має значення.

У рівних трикутників:

• проти рівних сторін лежать рівні кути,

і навпаки:

• проти рівних кутів лежать рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників

Запам'ятайте!

Теорема (ознака рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними).

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників

Запам'ятайте!

Теорема (ознака рівності трикутників за стороною і прилеглими до неї кутами).

Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників

Теорема (ознака рівності трикутників за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні.

Запам'ятайте!

Теорема (властивості рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику:

1. бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою;

2. кути при основі рівні.

У рівнобедреному трикутнику:

• бісектриса кута, проведена до основи, є медіаною і висотою;

• висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою;

• медіана, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

Ознака рівнобедреного трикутника

Запам'ятайте!

Теорема (ознака рівнобедреного трикутника).

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

НАСЛІДОК. У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути і, навпаки, проти рівних кутів – рівні сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Запам'ятайте!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

1. За двома катетами: Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

   

2. За катетом і гострим кутом: Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

   

3. За гіпотенузою і гострим кутом: Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі та гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

   

4. За гіпотенузою і катетом: Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

   

№65

Крокви даху будинку утворюють між собою кут 130^о. Під яким кутом нахилені крокви до горизонту?

№69

Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 40 см і 18 см. Яка з них є основою?

№70

Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, у якого одна сторона дорівнює 10 см, а один з кутів - 60^о.

№81

Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 28 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

№94

Накресліть два рівні трикутники АВС і А₁В₁С₁.

1. Позначте точки К і К₁ на сторонах АВ і А₁В₁ так, щоб АК = А₁К₁; точки L і L₁ - на сторонах ВС і В₁С₁ так, щоб BL = B₁L₁; точки М і М₁ - на сторонах СА і С₁А₁ так, щоб СМ = С₁М₁. Утворіть трикутники KLM і K₁L₁M₁. Які трикутники на малюнку рівні? Чому?

2. Дайте відповідь на це саме запитання, якщо точки К, К₁, L, L₁, М, М₁ позначити про продовженнях сторін трикутника за відповідні вершини.

Домашнє завдання:

Повторити с.238-239, виконати с. 246 № 60, 66, 83, 95