Подібність трикутників

Подібність трикутників має широкий спектр застосувань у різних сферах діяльності людини. Ось кілька прикладів:

1. Геодезія та картографія. Подібність трикутників використовується для вимірювання великих відстаней без прямого їх вимірювання. За допомогою методу триангуляції можна визначати координати об’єктів, вимірюючи кути та відстані між базовими точками.

2. Будівництво та архітектура. При створенні масштабних моделей будівель чи конструкцій використовують принципи подібності трикутників. Це допомагає розрахувати пропорції між реальним об'єктом і його моделлю.

3. Астрономія. Подібність трикутників застосовується для визначення відстаней до небесних тіл. Наприклад, метод паралакса ґрунтується на вимірюванні кутів у трикутниках між спостережуваною точкою, Землею та об'єктом.

4. Оптика. У оптичних приладах, таких як телескопи чи мікроскопи, використовуються принципи подібності трикутників для розрахунку фокусних відстаней і побудови зображень.

Задача 1.

На березі річки росте дерево висотою 12 метрів. На відстані 6 метрів від дерева на землі встановлено жердину довжиною 2 метри. Дерево і жердина розташовані вертикально. Довжина тіні жердини становить 1,5 метра. Знайдіть довжину тіні дерева.

Задача 2.

У місті Київ на березі Дніпра стоїть телевізійна вежа заввишки 380 метрів. Недалеко від неї стоїть стовп заввишки 5 метрів. Сонце світить так, що тінь від стовпа має довжину 3 метри. Знайдіть довжину тіні телевізійної вежі, якщо припустити, що трикутники, утворені вежею, стовпом і їхніми тінями, подібні.

Задача 3.

На території історичної пам’ятки Черкащини – Тарасової гори – стоїть пам’ятник Тарасу Шевченку. Турист захотів визначити висоту пам'ятника, але не мав при собі жодного спеціального обладнання. Він помітив, що поруч із пам'ятником стоїть ліхтар, висота якого відома і становить 3 метри. У сонячний день турист виміряв тінь пам’ятника, яка становила 8 метрів, і тінь ліхтаря, довжина якої була 2 метри. Визначте висоту пам’ятника.

Задача 4.

Сторони трикутника відносяться як 4:5:6. Знайдіть сторони подібного трикутника, якщо периметр його дорівнює 110 см.

Задача 5.

У парку є круглий басейн. Через басейн прокладено два містки, які перетинаються. Точка перетину містків ділить хорду AB на відрізки 6 м та 14 м, а хорду CD на відрізки CP=12 м та PD. Знайти довжину відрізка PD , враховуючи, що хорди, які перетинаються, підкоряються рівнянню: AP×PB=CP×PD.

Задача 6.

У круглому озері встановлено два містки AB і CD, які перетинаються в точці P. Довжина PD=90 м, другий – CР= 60 м. AB більший за AP на 30 м. Знайти довжину містка AP, якщо відомо, що хорди, які перетинають коло, мають властивість: AP×PB=CP×PD.

Задача 7.

У місті Київ є два найвищих будинки - Київська телевежа (висота 385 м) та Гуллівер (висота 141 м). На відстані 150 м від Київської телевежі стоїть точка A, з якої видно верхівку телевежі під кутом 45°. На якій відстані від Гуллівера потрібно стати, щоб бачити його верхівку під таким же кутом 45°.

Задача 8.

Знайдіть відстань на місцевості від точки A до недоступної точки B,

якщо CB=90 м, CE=30 м, DE∥AB, DE=40 м.

Задача 9.

Знайдіть відстань на місцевості від точки B до недоступної точки K , якщо

CK=60 м, AB=120 м, DK∥AB, DK=40 м.

Задача 10.

На ділянці шляху у 220 м підйом є прямолінійним. На кінцях ділянки стоять позначки їх висоти над рівнем моря – 184,8 м і 195,8 м відповідно. Яка позначка має бути на відстані 120 м від початку підйому?