Математичний аналіз. Ч.2

функція, яка кожній точці $X=(x_1,x_{2,}...,x_{n})$ множини $D$ простору $R^{n}$ ставить у відповідність одне і тільки одне натуральне число $N\in E\subset R^{n}.$

функція, яка кожній точці $X=(x_1,x_{2,}...,x_{n})$ множини $D$ простору $R^{n+1}$ ставить у відповідність одне і тільки одне дійсне число $Z\in E\subset R^{n}.$

закон, який кожній точці $X=(x_1,x_{2,}...,x_{n})$ множини $D$ простору $R^{n}$ ставить у відповідність одне і тільки одне натуральне число $N\in E\subset R^{n}.$

закон, який кожній точці $X=(x_1,x_{2,}...,x_{n})$ множини $D$ простору $R^{n}$ ставить у відповідність одне і тільки одне дійсне число $Z\in E\subset R^{n}.$

функція, яка кожній парі чисел $(x_1,x_2)$ деякої множини $D\in R^2$ставить у відповідність єдине дійсне число $Z.$

функція, яка кожній парі чисел $(x_1,x_2)$ деякої множини $D\in R^2$ставить у відповідність єдине натуральне число $N.$

закон, який кожній парі чисел $(x_1,x_2)$ деякої множини $D\subset R^2$ставить у відповідність єдине дійсне число $Z.$

закон, який кожній парі чисел $(x_1,x_2)$ деякої множини $D\subset R^2$ставить у відповідність єдине натуральне число $N.$

прямі лінії $l$, що лежать у площині $хОy$ і мають рівняння $f\left(x_{},y_{}\right)=C$, де $С$ – стала.

криві лінії $l$, що лежать у площині $хОy$ і мають рівняння $f\left(x_{},y_{}\right)=C$, де $С$ – стала.

прямі лінії $l$, що лежать у площині $хОz$ і мають рівняння $f\left(x_{},y_{}\right)=C$, де $С$ – стала.

криві лінії $l$, що лежать у площині $хОz$ і мають рівняння $f\left(x_{},y_{}\right)=C$, де $С$ – стала.

1) вважають, що змінна $y$ - стала.

2) вважають, що змінна $x$ - стала.

1) вважають, що змінна $x$ - стала.

2) вважають, що змінна $y$ - стала.

1) вважають, що змінна $y=0$ .

2) вважають, що змінна $x$ - стала.

1) вважають, що змінна $y$ - стала.

2) вважають, що змінна $x=0$ .

частинну похідну за змінною $y$ від частинної похідної першого порядку за змінною $x$.

частинну похідну за змінною $x$ від частинної похідної першого порядку за змінною $y$.

частинну похідну за змінною $x$ від частинної похідної першого порядку за змінною $x$.

частинну похідну за змінною $y$ від частинної похідної першого порядку за змінною $y$.

$dz=z_{x}^{\prime}dx+z_{y}^{\prime}dy$

$dz=z_{x}^{\prime}dx-z_{y}^{\prime}dy$

$dz=z_{y}^{\prime}dx+z_{x}^{\prime}dy$

$dz=z_{y}^{\prime}dx-z_{x}^{\prime}dy$

$d^2z=z_{xx}^{\prime}dx^2+z_{xy}^{\prime}dxdy+z_{yy}^{\prime}dy^2$

$d^2z=z_{xx}^{\prime}dx^2-2z_{xy}^{\prime}dxdy+z_{yy}^{\prime}dy^2$

$d^2z=z_{xx}^{\prime}dx^2+2z_{xy}^{\prime}dxdy+z_{yy}^{\prime}dy^2$

$d^2z=z_{xx}^{\prime}dx^2-z_{xy}^{\prime}dxdy+z_{yy}^{\prime}dy^2$

сума добутків частинних похідних цієї функції на прирости відповідних незалежних змінних: $df=f^{\prime}_{x_1}dx_1+f^{\prime}_{x_2}dx_2+\cdots+f^{\prime}_{x_{n}}dx_{n}$

різниця добутків частинних похідних цієї функції на прирости відповідних незалежних змінних: $df=f_{x_1}^{\prime}dx_1-f_{x_2}^{\prime}dx_2-\cdots-f_{x_{n}}^{\prime}dx_{n}$

сума частки частинних похідних цієї функції на прирости відповідних незалежних змінних: $df=\frac{f_{x_1}^{\prime}}{dx_1}+\frac{f_{x_2}^{\prime}}{dx_2}+\cdots+\frac{f_{x_{n}}^{\prime}}{dx_{n}}$

різниця частки частинних похідних цієї функції на прирости відповідних незалежних змінних: $df=\frac{f_{x_1}^{\prime}}{dx_1}-\frac{f_{x_2}^{\prime}}{dx_2}-\cdots-\frac{f_{x_{n}}^{\prime}}{dx_{n}}$

Якщо існує $\lim_{\Delta l\rarr0}\frac{f\left(x,y\right)+f\left(x_0,y_0\right)}{\Delta l}$.

Якщо існує $\lim_{\Delta l\rarr0}\frac{f\left(x,y\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{\Delta l}$.

Якщо $\lim_{\Delta l\rarr0}\frac{f\left(x,y\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{\Delta l}=0$.

Якщо $\lim_{\Delta l\rarr0}\frac{f\left(x,y\right)+f\left(x_0,y_0\right)}{\Delta l}=0$.

Вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним $\frac{\partial z}{\partial x}$ і $\frac{\partial z}{\partial y}$ , взятим в точці $M\left(x,y\right)$ і позначається $gradZ=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ .

Вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним $\frac{\partial z}{\partial x}$ і $\frac{\partial z}{\partial y}$ , взятим в точці $M\left(x,y\right)$ і позначається $gradZ=\left(\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ .

Вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним $\frac{\partial z}{\partial x}$ і $\frac{\partial z}{\partial y}$ , взятим в точці $M\left(x_0,y_0\right)$ і позначається $gradZ=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right)$ .

Вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним $\frac{\partial z}{\partial x}$ і $\frac{\partial z}{\partial y}$ , взятим в точці $M\left(x_0,y_0\right)$ і позначається $gradZ=\left(\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ .

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, переривається в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)<f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)>f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)=f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)<f\left(M\right)$.

1) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

Знайти частинні похідні першого порядку.

Для кожної критичної точки обчислити вираз $a_{11}a_{22}-a_{12}^2$ та зробити висновок згідно з теореми про достатні умови існування екстремумів.

Знайти значення частинних похідних в критичних точках.

Знайти $u_{\max},u_{\min}$.

Екстремум функції $Z=f(x,y)$ при виконанні умови $\phi(x,y)>0$.

Екстремум функції $Z=f(x,y)$ при виконанні умови $\phi(x,y)<0$.

Екстремум функції $Z=f(x,y)$ при виконанні умови $\phi(x,y)=0$.

Екстремум функції $Z=f(x,y)$ при виконанні умови $\phi(x,y)\neq0$.

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\varphi(x,y)$

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\frac{\varphi(x,y)}{\lambda}$

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\frac{\varphi(x,y)}{\lambda}$

$F(x)$ диференційовна на $(a,b)$ і справджується рівність $F^{\prime}\left(x\right)\neq f\left(x\right)$.

$F(x)$ диференційовна на $(a,b)$ і справджується рівність $F^{\prime}\left(x\right)>f\left(x\right)$.

$F(x)$ диференційовна на $(a,b)$ і справджується рівність $F^{\prime}\left(x\right)<f\left(x\right)$.

$F(x)$ диференційовна на $(a,b)$ і справджується рівність $F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Сукупність всіх первісних $F(x)-C$ для функції $f\left(x\right)$.

Сукупність всіх первісних $F(x)+C$ для функції $f\left(x\right)$.

Сукупність всіх первісних $CF(x)$ для функції $f\left(x\right)$.

Сукупність всіх первісних $\frac{F(x)}{C}$ для функції $f\left(x\right)$.

$d\int f\left(x\right)\differentialD x=f\left(x\right)+C$

$d\int f\left(x\right)\differentialD x=f\left(x\right)$

$d\int f\left(x\right)\differentialD x=f\left(x\right)-C$

$d\int f\left(x\right)\differentialD x=f\left(x\right)+2C$

Метод безпосереднього інтегрування.

Метод заміни змінної.

Метод інтегрування частинами.

Метод заміни сумою $\left(ax+b\right)$.

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)},P\left(x\right)>Q\left(x\right)$

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)},P\left(x\right)<Q\left(x\right)$

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)},P\left(x\right)=Q\left(x\right)$

$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)},P\left(x\right)\neq Q\left(x\right)$

границя інтегральної суми при умові, що $\alpha=\max\Delta x_{k}\rarr0$
$\lim_{\alpha\rarr0}\sigma=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$, де $a$ і $b$ - межі інтегрування,
$f\left(x\right)dx$ - підінтегральний вираз.

границя інтегральної суми при умові, що $\alpha=\max\Delta x_{k}\rarr\infty$
$\lim_{\alpha\rarr\infty}\sigma=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$, де $a$ і $b$ - межі інтегрування,
$f\left(x\right)dx$ - підінтегральний вираз.

границя інтегральної суми при умові, що $\alpha=\min\Delta x_{k}\rarr0$
$\lim_{\alpha\rarr0}\sigma=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$, де $a$ і $b$ - межі інтегрування,
$f\left(x\right)dx$ - підінтегральний вираз.

границя інтегральної суми при умові, що $\alpha=\min\Delta x_{k}\rarr\infty$
$\lim_{\alpha\rarr\infty}\sigma=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$, де $a$ і $b$ - межі інтегрування,
$f\left(x\right)dx$ - підінтегральний вираз.

Довжини $f\left(x\right)$ на проміжку $\left\lbrack a,b\right\rbrack$.

Периметру.

Площі.

Об'єму.

Фігура, обмежена відрізком $OX$, відрізками прямих $х=а$ і $х=b$ і графіком функції $f\left(x\right)$.

Фігура, обмежена відрізком $OY$, відрізками прямих $х=а$ і $х=b$ і графіком функції $f\left(x\right)$.

Фігура, обмежена відрізком $OX$, відрізками прямих $х=0$ і $х=b$ і графіком функції $f\left(x\right)$.

Фігура, обмежена відрізком $OY$, відрізками прямих $х=0$ і $х=b$ і графіком функції $f\left(x\right)$.

$S=2\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$S=\int_{b}^{a}f\left(x\right)\differentialD x$

$S=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$S=2\int_{b}^{a}f\left(x\right)\differentialD x$

Заміни змінної.

Інтегрування частинами.

Ньютона-Лейбніца.

Безпосереднього інтегрування.

$\int_{a}^{b}udv=uv\vert_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=F\left(x\right)\vert_{a}^{b}=F\left(a\right)-F\left(b\right)$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=F\left(x\right)\vert_{a}^{b}=F\left(b\right)+F\left(a\right)$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=F\left(x\right)\vert_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

$S=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$S=\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x\right)\right\vert\differentialD x$

$S=\int_{a}^{b}f_1\left(x\right)\differentialD x-\int_{a}^{b}f_2\left(x\right)\differentialD x$

$S=-\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$V=\pi\int_{a}^{b}f^2\left(x\right)\differentialD x$.

$V=\pi\int_{a}^{b}x^2\differentialD x$.

$V=\pi\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$.

$V=\pi^2\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$.

$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^2}$

$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^2}\differentialD x$

$l=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(x^{\prime}\left(t\right)\right)^2+\left(y^{\prime}\left(t\right)\right)^2}\differentialD t$

$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1-\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^2}\differentialD x$

$\int_{a}^{+0}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{b\rarr+0}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{+\infty}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{a\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{+\infty}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{-\infty}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{b\rarr-\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{+\infty}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{\char"0190 \rarr+\infty}\int_{a+\char"0190 }^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\differentialD x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=\lim_{\char"0190 \rarr0}\int_{a+\char"0190 }^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

Існує $\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$.

$\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=0$.

$\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x\neq0$.

$\lim_{b\rarr+\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x>0$.

Нескінченну частку числової послідовності $\left\lbrace a_{n},n\ge1\right\rbrace$.

Нескінченну різницю числової послідовності $\left\lbrace a_{n},n\ge1\right\rbrace$.

Нескінченну суму числової послідовності $\left\lbrace a_{n},n\ge1\right\rbrace$.

Нескінченний добуток числової послідовності $\left\lbrace a_{n},n\ge1\right\rbrace$.

Існує $S=\lim_{n\rarr\infty}S_{n}$

$\lim_{n\rarr\infty}S_{n}=0$

$\lim_{n\rarr\infty}S_{n}\neq0$

Не існує $\lim_{n\rarr\infty}S_{n}$

$\lim_{n\rarr\infty}a_{n}\neq0$

$\lim_{n\rarr\infty}a_{n}<0$

$\lim_{n\rarr\infty}a_{n}=0$

$\lim_{n\rarr\infty}a_{n}>0$

$\left\vert q\right\vert<1$.

$\left\vert q\right\vert>1$.

$\left\vert q\right\vert=1$.

$\left\vert q\right\vert\ge1$.

$\alpha=1$

$\alpha<1$

$\alpha>1$

$\alpha\neq1$

Залишиться без змін.

Збільшиться.

Зменшиться.

Буде рівна 0.

Ознака порівняння.

Ознака порівняння Д'Аламбера.

Степенева ознака Коші.

Правильної відповіді немає.

Якщо він сам збігається і збігається ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert a_{n}\right\vert$.

Якщо він сам розбігається і збігається ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert a_{n}\right\vert$.

Якщо він сам збігається і розбігається ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert a_{n}\right\vert$.

Якщо він сам розбігається і розбігається ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\left\vert a_{n}\right\vert$.

1) $p_{n+1}>p_{n},n\in\mathbb{N}$
2) $\lim_{n\rarr\infty}p_{n}=0$

1) $p_{n+1}<p_{n},n\in\mathbb{N}$
2) $\lim_{n\rarr\infty}p_{n}=0$

1) $p_{n+1}>p_{n},n\in\mathbb{N}$
2) $\lim_{n\rarr\infty}p_{n}\neq0$

1) $p_{n+1}<p_{n},n\in\mathbb{N}$
2) $\lim_{n\rarr\infty}p_{n}\neq0$

$a_1+a_2+\cdots+a_{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$

$p_1-p_2+p_3-\cdots+\left(-1\right)^{\left(n+1\right)}p_{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{\left(n+1\right)}p_{n}$

$f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+\cdots+f_{n}\left(x\right)+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)$

$c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{n}x^{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}x^{n}$

$a_1+a_2+\cdots+a_{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$

$p_1-p_2+p_3-\cdots+\left(-1\right)^{\left(n+1\right)}p_{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{\left(n+1\right)}p_{n}$

$f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+\cdots+f_{n}\left(x\right)+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)$

$c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{n}x^{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}x^{n}$

$R=\lim_{n\rarr0}\frac{\left\vert c_{n}\right\vert}{\left\vert c_{n+1}\right\vert}$

$R=\lim_{n\rarr\infty}\frac{\left\vert c_{n}\right\vert}{\left\vert c_{n+1}\right\vert}$

$R=\lim_{n\rarr\infty}\frac{\left\vert c_{n+1}\right\vert}{\left\vert c_{n}\right\vert}$

$R=\lim_{n\rarr0}\frac{\left\vert c_{n+1}\right\vert}{\left\vert c_{n}\right\vert}$

Функціональним рядом

Степеневим рядом

Рядом Тейлора

Рядом Маклорена