Мат. ан._Необхідні і достатні умови екстремуму функції двох змінних.

1) вважають, що змінна $y$ - стала.

2) вважають, що змінна $x$ - стала.

1) вважають, що змінна $x$ - стала.

2) вважають, що змінна $y$ - стала.

1) вважають, що змінна $y=0$ .

2) вважають, що змінна $x$ - стала.

1) вважають, що змінна $y$ - стала.

2) вважають, що змінна $x=0$ .

частинну похідну за змінною $y$ від частинної похідної першого порядку за змінною $x$.

частинну похідну за змінною $x$ від частинної похідної першого порядку за змінною $y$.

частинну похідну за змінною $x$ від частинної похідної першого порядку за змінною $x$.

частинну похідну за змінною $y$ від частинної похідної першого порядку за змінною $y$.

$dz=z_{x}^{\prime}dx+z_{y}^{\prime}dy$

$dz=z_{x}^{\prime}dx-z_{y}^{\prime}dy$

$dz=z_{y}^{\prime}dx+z_{x}^{\prime}dy$

$dz=z_{y}^{\prime}dx-z_{x}^{\prime}dy$

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, переривається в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)<f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)>f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)=f\left(M\right)$.

Якщо функція $Z=f\left(x,y\right)$ визначена в деякому околі точки $M_0$, неперервна в цій точці і для довільної точки $M$ цього околу виконується нерівність $f\left(M_0\right)<f\left(M\right)$.

1) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

1) $f\left(x,y\right)$ має максимум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}>0$.
2) $f\left(x,y\right)$ має мінімум в точці $M_0$, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0,a_{11}<0$.
3) $f\left(x,y\right)$ не має екстремуму, якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$.
4) Якщо $a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$, то потрібно використовувати іншу достатню ознаку.

Знайти частинні похідні першого порядку.

Для кожної критичної точки обчислити вираз $a_{11}a_{22}-a_{12}^2$ та зробити висновок згідно з теореми про достатні умови існування екстремумів.

Знайти значення частинних похідних в критичних точках.

Знайти $u_{\max},u_{\min}$.