11 клас Рівняння з двома змінними та їх системи. Застосування систем рівнянь для розв’язування текстових задач (теорія+задачі з поясненнями)

Розв’язком рівняння з двома змінними називають пару значень змінних при яких рів­няння перетворюється на правильну рівність.

Наприклад, пара чисел х=1; у=3 розв’язком рівняння х+у²=10 (оскільки 1+3²=10),

а пара чисел х=2; у=3 не є  розв’язком цього рівняння   (оскільки 2+3²≠10),Скорочено пару  чисел х=1; у=3 прийнято записувати так: (1; 3), де на першому місці вказано

змінну х, а на другому – змінну у.

Рівняння з двома змінними має ті самі  властивості, що й рівняння з однією змінною.

Рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки. Рівняння, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

ЗАВДАННЯ: Укажіть пару чисел, що є розв’язком рівняння х² - у = 7.

• Якщо треба знайти спільний розв’язок двох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють системи рівнянь.

Наприклад,  - система рівнянь з двома змінними хіу.

Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, при яких кожне з рівнянь Перетворюється на правильну числову рівність.

Пара чисел х=2; у=3 є розв’язком вищезгаданої системи, оскільки 3•2+(-1)=5 і 2-2• (-1) = 4. А пара чисел х = 3; у=-4 не є розв’язком наведеної системи. Для цих значень змінних перше рівняння перетворюється на правильну рівність (3•3+(-4)=5), а друге – ні  (3-2•(-4)=11≠4)

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Системи рівнянь з двома змінними називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі розв’язки. Системи, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

ЗАВДАННЯ: Укажіть пару чисел, що є розв’язком системи рівнянь 

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Якщо хоча б одне з рівнянь системи з двома змінними є лінійним, тобто рівнянням вигляду ах+bу = с (де а≠0, b≠0, с - числа), то таке рівняння доцільно розв’язувати способом підстановки. Розглянемо цей спосіб розв’язування на прикладі.

Приклад. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Виразимо з першого рівняння змінну х через змінну у. Маємо: х=11– 3у,

Підставляємо замість х вираз 11 - Зу у друге рівняння системи:

5у-2(11 - 3у)=22.

Розв’язуємо отримане рівняння з однією змінною:

5у – 22+6у=22;

11у=44;

у=4

Знаходимо відповідне значення другої змінної:

х=-3•4; х=-1.

Отже, пара (-1; 4) - розв’язок системи.

Якщо в результаті додавання рівнянь системи отримаємо рівняння з однією змінною, то доцільним є використання способу додавання. Іноді перед додаванням рівнянь системи треба помножити обидві частини одного або двох рівнянь на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Приклад. Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Помножимо ліву і праву частини першого рівняння на -3. Маємо:

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи. Маємо: -16у= 32. Звідси у =-2. Підставимо це значення змінної у у перше рівняння початкової системи: 2х+3•(-2)=4 і знайдемо значення змінної х. Маємо: 2х=10; х = 5.

Отже, пара (5; -2) - розв'язок системи.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Також спосіб додавання доцільно використовувати тоді, коли в результаті додавання рівнянь системи отримаємо лінійне рівняння з двома змінними.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Розв’яжіть систему рівнянь:  

Розв’яжіть систему рівнянь       Для одержаного розв’язку (х₀; у₀) системи у відповідь запишіть значення суми х₀+у₀

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТЕКСТОВИХ ЗАДАЧ

• Розв'язати текстову задачу за допомогою системи рівнянь можна за таким алгоритмом:

1) позначити деякі дві невідомі величини змінними (наприклад, х і у);

2) за умовою задачі скласти систему рівнянь;

3) розв'язати одержану систему;

4) проаналізувати знайдені значення змінних на відповідність умові задачі, дати відповідь на запитання задачі;

5) записати відповідь.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Двоцифрове натуральне число у  раза більше за добуток своїх цифр. Якщо від цього числа відняти 18, то отримаємо натуральне число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайдіть дане двоцифрове число.

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так

Прочитай, розберись, запиши, запам’ятай.

Прочитав? Розібрався? Записав? Запам’ятав? Відповідь: так