і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Як навчити учнів розуміти мову музичного мистецтва?
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Восьмикласники в гостях у числа 2019

Курс:«Створення та ведення власного блогу на платформі WordPress»
Левченко Ірина Михайлівна
24 години
1000 грн
490 грн
Перегляд
матеріалу
Отримати код

Василь Серветник

Восьмикласники

в гостях

у числа

Тема 1. Раціональні вирази

1.1. Відомо, що а+b+с=2019, Знайдіть

Розв’язання

=

Відповідь. 2016.

1.2. Обчисліть:

Розв’язання

Нехай х=201920192019.

Тоді даний вираз дорівнює .

Відповідь. 2019.

1.3. Натуральні числа a, b, c такі, що Знайдіть .

Розв’язання

Розглянемо рівність Очевидно, що перший доданок в цій рівності більший за одиницю, а другий менший за одиницю. Але, оскільки кожне число можна подати в такому вигляді однозначно і , дістанемо а=2, . Звідки Отримали b=1009, с=2.

Отже,

Відповідь.

1.4. Відомо, що для деяких натуральних чисел a, b, c виконується рівність

2019(abc+a+c)=4040(bc+1). Доведіть, що a=c.

Доведення

Розглянемо рівність, яка випливає з умови задачі: Очевидно, що перший доданок більший за одиницю, а другий менший за одиницю. Але, оскільки кожне число можна подати в такому вигляді однозначно і , дістанемо а=2, . Звідки Отримали b=1009, с=2. Отже, а=с, що й треба було довести.

1.5. Обчисліть:

Розв’язання

Перетворимо кожну з дужок за формулою і скоротимо спільні множники чисельника і знаменника. Маємо

Відповідь.

1.6. Чи можна число 2019 подати у вигляді , де m та n – натуральні числа?

Розв’язання

Нехай m=2 k+1 та n=2 k-1. Тоді

Отже, будь-яке число k можна подати у запропонованому вигляді.

Відповідь. Можна.

1.7. Розташуйте числа х1=, х2=, х3= в порядку зростання.

Розв’язання

Якщо чисельник і знаменник дробу х1 помножити на 101 (при цьому значення дробу не змінюється), а потім від чисельника отриманого дробу відняти 1 (зменшивши таким чином значення дробу), то отримаємо дріб х2. Значить х12.

Аналогічно, помноживши чисельник і знаменник дробу х1 на 10101 і потім віднявши від знаменника 1, отримаємо х3. Значить х31.

Отже, х213.

Відповідь.

1.8. Обчисліть значення виразу: .

Розв’язання

Розглянемо таку тотожність: n2+ n+1=(n+1)2-(n+1)+1. Доведемо це: (n+1)2-(n+1)+1=n2+2n+1-n-1+1=n2+n+1.

Тому даний вираз можна перетворити до такого:

=

=

Відповідь. .

Тема 2. Степені з цілими показниками

2.1. Розвʼяжіть в цілих числах рівняння:

Розв’язання

Рівняння зводиться до вигляду Обидва дроби нескоротні, тому

Якщо m≥2019, то m m+1>20192019.

Якщо 0<m<2019, то m m+1<20192019.

Якщо m<-1, то при п=-( m+1) дістанемо 20192019=пп, звідки п=2019..

Відповідь. m=-2020.

Тема 3. Квадратні корені і дійсні числа

3.1. Обчисліть

Розв’язання

Нехай п=2019, тоді

Після спрощень отримуємо: =

Оскільки п=2019, то п2-5=20192-5.

Відповідь. 20192-5.

3.2. Обчисліть (не використовуючи калькулятора):

Розв’язання

=

Відповідь. 2020.

3.3. Знайдіть значення виразу при х= 2019.

Розв’язання

Перетворимо вираз Відповідь не залежить від значення х, якщо х≠25.

Відповідь. 6.

3.4. Обчисліть:

Розв’язання

Відповідь: 2019.

3.5. Порівняйте числа: і .

Розв’язання

Нехай , , де k=2019.

Тоді . Тому А<В.

Відповідь. <.

3.6. Порівняйте два числа:

та .

Розв’язання

Запишемо цю задачу у загальному вигляді: для деяких додатних порівняти додатні числа та . Доведемо, що . Це рівносильне тому, що . Після чергового піднесення до квадрату та спрощень маємо: при .

Відповідь: Перше число більше.

3.7. Розвʼяжіть рівняння: .

Розв’язання

Оскільки , запишемо: .З умови слідує, що , значить або .

Відповідь. -2019.

3.8. Розвʼяжіть рівняння:

Розв’язання

Помножимо чисельник і знаменник кожного дробу на вираз, спряжений знаменнику:

=

х=503,52-1.

Відповідь. 503,52-1.

3.9. Спростіть вираз: .

Розв’язання

Помножимо чисельник і знаменник кожного дробу на вираз, спряжений знаменнику. Після спрощень дістанемо

Відповідь.

3.10. Знайдіть 2019 знаків після коми у числа

Розв’язання

Якщо 0<х<1, то х<<1, тому число в умові задачі містить 2019 девʼяток після коми.

Відповідь. 2019 девʼяток.

3.11. В рівнянні число радикалів нескінченне. Знайти, чому дорівнює х.

Розв’язання

Позначимо . Дістанемо у = . З іншого боку, всі корені без першого теж дорівнюють у. Звідси , тобто х у = 2019; х= = 2011. Отже, х = .

Відповідь. .

3.12. Розвʼяжіть рівняння: .

Розв’язання

ОДЗ: 0≤х≤1.

,

,

,

, 1-х=2019, х=-2018.

Відповідь. -2018.

3.13. Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, які задовольняють рівність .

Доведення

m+2+n=2019. Звідси k=2 – ціле число. Підставимо п= в дану рівність: 2m+k=2.

Отже, число 2019m є повний квадрат. Але число 2019=3·673 має прості множники тільки в першому степені, тому ці множники 2 і 673 повинні бути в m. Тому m≥3·673=2019, звідки що неможливо.

3.14. Скільки розвʼязків у цілих числах має рівняння ?

Відповідь. 2 цілих розвʼязки (2019;0)і (0;2019).

3.15. Розвʼяжіть рівняння

Розв’язання

З умови випливає, що х<0, тоді х=-

Відповідь. .

3.16. Всередині квадрата зі стороною 44 розміщено 2019 точок. Доведіть, що знайдуться дві точки, відстань між якими не перевищує

Розв’язання

Розібʼємо даний квадрат на одиничні квадратики. Оскільки 442=1936<2019, то принаймні в одному одиничному квадраті знаходиться не менше двох точок, і відстань між ними не перевищує .

3.17. Доведіть, що а+b>, якщо а>0, b>0 та а·b>2018а+2019b.

Розв’язання

Оскільки а>0, b>0, то з нерівності а·b>2018а+2019b отримуємо, що

а>2018+2019 та b>2018+2019. додаючи ці нерівності, отримуємо:

а·b>2018+2019+(2018)≥2018+2019+2=

=.

3.18. Що більше: чи ?

Розв’язання

Нехай а=, b=

Тоді а2-b2=

=, бо і

(функція у= – зростаюча). Отже, а2>b2, тобто а> b.

Відповідь. : >.

3.19. Розвага «Під кодовою назвою 2019».Розставити знаки дій +,-,х,:,√ між цифрами числа 2019 із збереженням послідовності цих цифр так, щоб утворилися конструкції дванадцяти перших натуральних чисел.

Розв’язання

1=20-19, 2=2·0-1+, 3=2·0·1+, 4=2+0-1+,

5=2+0·1+, 6=2+0+1+, 7=-2+0·1+9, 8=2·0-1+9,

9=2·0·1+9, 10=20-1-9, 11=20·1-9, 12=20+1-9.

Тема 4. Квадратні рівняння

4.1. Розв’яжіть рівняння: 2019х2–2018х–1=0.

Розв’язання

Помічаємо, що число 1 є коренем даного рівняння. Оскільки добуток коренів дорівнює (за теоремою Вієта), то другий корінь дорівнює . Інших коренів немає.

Відповідь. 1 і .

4.2. Розв’яжіть рівняння: х4+2018х–2019=0.

Відповідь. 1 і -1.

4.3. Знайти всі цілі числа р, для яких рівняння х2+рх+2019=0 має цілий корінь?

Розв’язання

Нехай х1, х2 – корені. За теоремою Вієта х1+х2 = -р, х1 ∙ х2 = 2019. З першої рівності видно, що якщо перший корінь є цілим числом, то й другий – ціле число. Оскільки 2019=3∙673, то можливі випадки (х1; х2):

(3;673), (-3;-673), (1;2019), (-1; -2019).

Відповідь. ±676; ±2020.

4.4. При яких значеннях параметра а параболи у=х2+2019х+а та у=-х2+ах+2019 дотикаються одна одної?

Розв’язання

Параболи дотикаються, якщо вони мають рівно одну спільну точку, а тому рівняння х2+2019х+а=-х2+ах+2019, а отже і рівняння

2+(2019–а) х+(а–2019)=0 повинно мати єдиний корінь.

Звідси D=(а–2019)2–8(а–2019)=(а–2019)(а–2027)=0.

Отже, а=2019 або а=2027.

Відповідь. 2019 і 2027.

4.5. Нехай х1 і х2 – корені рівняння х2+ах+а=2019. При якому значенні а сума

х12+х22 буде найменшою?

Розв’язання

х12+х22=(х1+х2)21х2=а22(а-2019)=а22а+4038=а22а+1+4037=(а-1)2+4037.

Отже, найменше значення буде 4037 при а=1. Перевіримо, чи при а=1 існують корені даного рівняння:

х2+х+1=2019; х2+х-2018=0;

D=1+4∙1∙2015; D>0.

Відповідь. При а=1.

4.6. Відомо, що х і у – різні числа, причому (x–2018)(x–2019)=(y–2018)(y–2019). Які значення може приймати вираз x+y?

Розв’язання

В даній рівності розкриємо дужки, перенесемо все в ліву частину, і розкладемо її на множники: x2y24037x+4037y=0  (x–y)(x+y4037)=0. Оскільки xy, то x+y=4037.

Відповідь. 4037.

4.7. Корені рівняння х2+рх+q=0 є натуральними числами, причому р+q=2019. Знайдіть ці корені.

Розв’язання

За теоремою Вієта х12=-р і х1 х2=q, тому р+q=х1х21212–1)-х2+1–1=

12–1)–(х2-1)–1=2019. Отже, (х1-1)(х2-1)=2020. Оскільки 2020=2·2·5·101, то маємо сукупність систем:

або або або

або або

Звідки або або або

або або

Відповідь:2 і 2021; 3 і 1011; 5 і 506; 6 і 405; 11 і 203; 21 і 102.

4.8. Розвʼяжіть рівняння: (х2-20192)2-8076х+1=0.

Розв’язання

Позначмо а=2019. Тоді 8076=4а і дане рівняння зводиться до вигляду

х4-2х2а24=4ах+1, звідки (х22)24+2х2а24=4ах+1+4а2х2=(2ах+1)2.

Отже, х22=2ах+1 або х22=-(2ах+1). Друге із цих рівнянь розвʼязків немає, бо х2+2ах+а2=(х+а)2>-1. А із першого дістаємо (х-а)22-2ах+а2=1, тобто х=а±1.

Оскільки виконані перетворення еквівалентні, то дане рівняння має два розвʼязки: х=2018 і х=2020.

Відповідь: 2018; 2020.

4.9. Учень виписав на дошці 2019 зведених квадратних рівнянь і перевірив, що жодне з них не має дійсних коренів. Потім він додав усі ці рівняння. Доведіть, що і одержане в результаті рівняння також не має дійсних коренів.

Доведення

Оскільки рівняння не мають дійсних коренів, а коефіцієнти при х2 додатні, то для всіх дійсних х їх ліві частини набувають лише додатних значень. Тоді аналогічну властивість матиме і ліва частина рівняння, одержаного в результаті додавання. А отже, воно також не матиме дійсних коренів.

Тема 5. Квадратний тричлен

5.1. Квадратний тричлен Р(х)=ах2++с (а, b, с – цілі, с - непарне) має цілі корені. Чи може Р(2013) бути непарним числом?

Розв’язання

Нехай х1 і х2 – корені Р(х). Тоді за теоремою Вієта: х1·х2=, тобто

х1·х2·а=с. За умовою с – непарне; х1, х2, а – цілі. Звідси слідує, що х1, х2, а – непарні. За теоремою Вієта х12=, тобто b=-(х12)·а, тобто b – парне число.

Тоді Р(2019)=а·20192+b 2019+с – сума двох непарних і одного парного числа є парним числом.

Відповідь. Ні.

5.2. Розглядаються функції виду y=x2+ax+b, де a+b=2019. Доведіть, що графіки всіх таких функцій мають спільну точку.

Доведення

Обчислимо у(1)=1+а+b=1+2019=2020. Отже, кожний з даних графіків проходить через точку з координатами (1;2020). Твердження доведено.

5.3. На координатній площині задано графік функції у=х2. Провели 2019 прямих, кожна з яких паралельна прямій у=х і перетинає заданий графік у двох точках. Знайдіть суму абсцис всіх точок перетину прямих із заданим графіком.

Розв’язання

Пряма, яка паралельна прямій у=х, задається рівнянням у=х+а. оскільки ця пряма перетинає параболу у=х2 у двох точках, рівняння х2=х+а або х2-х-а=0 має два різних корені. За теоремою Вієта сума цих коренів дорівнює 1. Це і є сума абсцис двох точок перетину прямої з параболою. Кожна із 2019 прямих володіє точно такою ж властивістю. Тому сума абсцис всіх точок перетину прямих з даним графіком дорівнює 2019.

Відповідь. 2019.

5.4. Складіть квадратний тричлен з цілими коефіцієнтами такі, щоб один з його коренів був 1-

Розв’язання

І спосіб. х=1-, 1-х=, (1-х)2=2019, 1-2х+х2=2019, х2-2х-2018=0.

ІІ спосіб. х1=1-, х2=1-, тоді b=-(х12)=-2, с=х1·х2=-2018. Отже, х2-2х-2018=0.

Відповідь: х2-2х-2018.

Тема 6. Чотирикутники

6.1. Чи існує квадрат, в якого довжина сторони – ціле число, а площа дорівнює ?

Розв’язання

Сума цифр 2019 даного числа ділиться на 3, але не ділиться на 9. Отже, й дане число ділиться на 3, але не ділиться на 9. А тому воно не є квадратом цілого числа. Отже, шуканого квадрата не існує.

Відповідь. Не існує.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки учнів до олімпіад
  • Додано
    14.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Клас
    8 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    147
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    WR526260
  • Вподобань
    0
Курс:«Професійний розвиток педагогічних працівників. Як навчати дорослих ефективно? »
Просіна Ольга Володимирівна
36 годин
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь