і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Використання елементів випереджаючої освіти при викладанні математики

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Елементи випереджаючого навчання при викладанні математики.

Випереджаюче навчання - вид навчання, при якому короткі основи теми даються викладачем до того, як почнеться вивчення їх по програмі. Короткі основи можуть даватися як тези при розгляді у суміжній темі, так і представляти собою ненав'язливі завдання, приклади, асоціації. Передбачається, що випереджаюче навчання ефективне при вивченні теми, важкої для сприйняття. Застосування елементів випереджаючого навчання забезпечує:

  • · Збереження інтересу до предмета і більш глибоке вивчення математики;

  • · Наступність вивчення матеріалу

  • · Виключення формальності засвоєння матеріалу;

  • Залучення учнів у навчально - творчу діяльність ;

  • · Розвиток в учнів умінь об'єктивно оцінювати свої можливості і , як наслідок, підвищення у багатьох учнів впевненості в собі.

Використання елементів випереджаючого навчання є одним з перспективних напрямів вдосконалення організації математичної освіти ,тому що воно передбачає розвиток мислення учнів, сприяє створенню умов для забезпечення успіху в навчання кожного учня; формуванню уміння вчитися; виховує наполегливість, самостійність, дисциплінованість та відповідальність; розвиває прийоми саморегуляції у комфортному навчальному середовищі. Випереджувальне навчання математики дає можливість вивчення складних тем розпочинається задовго до їх календарного планування. Протяжність у часі дозволяє детально відпрацювати кожен елемент, кожну операцію та підготуватись до свідомого сприйняття школярами базових тем курсу математики.

Одне з основних завдань у викладанні математики - ввести школяра в систему математичних понять. Цих понять в шкільному курсі дуже багато і необхідно, щоб учень добре орієнтувався в них, чітко уявляв їх зміст . В пошуках вирішення цієї проблеми я звернулася до досвіду роботи з випереджаючого навчання педагога –новатора С.Лисенкової. Саме цей метод дає можливість ефективно підготуватися до введення нових понять і нових дій над ними.

Використовуючи елементи випереджаючого навчання, підготовку до вивчення складних тем я розбиваю на декілька етапів. На першому етапі учні знайомляться з новими поняттями теми, яка вивчається з випередженням. На другому етапі уточнюються, відпрацьовуються прийоми діяльності за допомогою опорних схем і таблиць. На останньому етапі працюю над формуванням математичних знань з даної теми та творчим застосуванням одержаних знань . При такому підході до вивчення теми створюються умови переходу від виконання простих завдань, доступних кожному учневі, до складніших завдань ,які вимагають творчого застосування знань в різних навчальних ситуаціях і ведуть до розвитку творчого мислення, інтуїції, уміння застосовувати набуті знання в нестандартних ситуаціях.

Ефективним методом для здійснення випереджаючого навчання є математичні диктанти,опорні схеми, таблиці за допомогою яких проводиться підготовка до вивчення нової теми задовго до того як це заплановано , а також повторення пройденого матеріалу . Останнє питання математичного диктанту є обов’язково з теми , яку вивчається методом випереджаючого навчання. В 5 класі – це звичайні і десяткові дроби, відсотки, розв’язування задач за допомогою рівнянь, в 6 класі – ознаки подільності чисел, скорочення дробів, пропорції, модуль числа, раціональні числа та дії над ними, у 7 класі – формули скороченого множення, функції, графіки функцій, системи лінійних рівнянь з двома змінними, ознаки рівності трикутників, у 8 класі – квадратні корені, квадратні рівняння, чотирикутники, площі многокутників, у 9 класі – квадратична функція, геометричні перетворення та вектори.

Вивчення теми відсотки проводиться після вивчення десяткових дробів і у п’ятикласників викликає багато труднощів. Тому я розпочинаю вивчення відсотків одночасно з вивчення десяткових дробів. Кожний урок я пропоную учням просту задачу на знаходження однієї сотої будь-якої величини. Наприклад, знайти соту частину 1 грн, 1кг, 1т, 1ц, 1м, 1км і т.д. Систему вправ я підбираю таким чином, щоб учні, не використовуючи термін відсоток знаходили спочатку:

а) 1 відсоток від величини;

б) знаходили величину, 1 відсоток якої відомий;

в)знаходили декілька відсотків від величини;

г) знаходили величину за відомими відсотками;

д) знаходили яку частину становить одна величина від другої, якщо дана величина це 1 відсоток;

е) знаходили яку частину становить одна величина від другої в загальному випадку.

В результаті такої роботи відбувається знайомство п’ятикласників з відсотками і трьома типами задач на відсотки ( знаходження відсотка від числа,знаходження числа за його відсотком та відсоткового відношення).

Таким чином, випереджаюче вивчення теми «Відсотки» у 5 класі розбиваю на 6етапів, в кожному з яких пропоную розв’язати по декілька задач різного типу.

1 група завдань.

  1. Знайти соту частину від 1м, 1кг, 1ц, 1а,1грн,1га

  2. Знайти соту частину від 500 км, 700га, 900кг.

  3. Знайти соту частину від 7700, 2000, 1000000.

2 група завдань.

  1. Сота частина шляху становить 2км. Знайти весь шлях.

  2. Сота частина поля становить 5 га. Яка площа всього поля?

  3. Сота частина об’єму становить 1 кв. дм. Знайти весь об’єм?

3 група завдань.

  1. Знайти п’ять сотих частин 1 м,1 кг, 1 ц, 1а,1 грн, 1 а.

  2. Знайти п’ять сотих частин 500 км, 700га, 900 кг.

  3. Знайти сім сотих від числа 2000, 500, 900

4 група завдань.

  1. Знати площу поля, вісімнадцять сотих якого становить 68га.

  2. Знайти довжину шляху, якщо двадцять п’ять сотих становить50 км.

  3. Знайти число , якщо чотирнадцять сотих становить 42.

5 група завдань.

  1. Яку частину метра становить 1 см?

  2. Яку частину метра становить 12 см?

  3. Яку частину центнера становить 1 кг?

  4. Яку частину гривні становить 1 к?

  5. Яку частину метра становить 1 дм?

  6. Яку частину гривні становить 5 к?

6 група завдань.

  1. Одна сота частина числа позначається 1%.

  2. Знайти 1% від числа 100, 500,600, 1000.

  3. Знайти 6% від числа 100, 500,600, 1000

  4. Знайти число 12% якого становить 60.

  5. Скільки відсотків становить 1 см від 1 м?

  6. Скільки відсотків становить 5 см від 1 м?

  7. Скільки відсотків становить 12 см від 1 м?

  8. Знайди число, 25% якого дорівнює 25.

  9. Довжина ділянки прямокутної форми дорівнює 240 м, а її ширина становить 25% довжини. Чому дорівнює ширина поля?

  10. Автомобіль проїхав 26% всього шляху. Скільки кілометрів потрібно подолати автомобілю, якщо весь шлях становить 250 км?

  11. Чому дорівнює 39% від 1,016 : 8 + 3 : 25?

  12. Магазин продав 2000кг овочів. Морква становила 24% усіх овочів, буряк — 35%, а картопля - решту. Скільки кілограмів картоплі було продано?

  13. Із 300 т зерна внаслідок переробки одержали 90 муки . Скільки від-

сотків муки виходить у результаті переробки зерна?

  1. Яке з чисел більше: 10% якого становлять 8 чи 12% якого становлять

  2. 24?

  3. Якщо від задуманого числа знайти 80% цього числа, а потім від одер-

жаного результату знайти знову 80%, то матимемо 256. Знайдіть заду-мане число.

Важливе значення для розвитку логічного мислення має уміння розв’язувати текстові задачі. Розв’язування задач– одна з активних форм навчання математики. В процесі розв’язування задач учні одержують можливість поглиблено засвоювати математичні поняття і ознайомлюватися з новими закономірностями , вчаться встановлювати взаємозв’язок між різними величинами, набувають навички повноцінної аргументації, додержання логічної схеми міркувань, лаконічності у вираженні своїх думок , чіткості і точності у вживанні математичних термінів та символічних позначень що має велике значення для виховання креативної особистості учня. Саме тому розв’язуванню задач я приділяє близько половини навчального часу. І успіх у навчанні у великій мірі залежить від того , наскільки вдалою є обрана система задач і в якій мірі вона відповідає можливостям учнів на даному етапі вивчення тієї чи іншої теми. Випереджаюче навчання дає можливості задачі добирати так, щоб у процесі їх розв’язання активно застосовувався раніше вивчений матеріал і можна було помітити деякі важливі закономірності, що лише згодом знайдуть строге обґрунтування та широке застосування. Під час такої роботи у дітей приходить розуміння того, що без напруженої, кропіткої праці прийти до успіху неможливо , появляється віра у власні сили, здібності і задоволення від виконаної роботи. Випереджаюче навчання по цій темі розбиваю на такі етапи:

1. Складання виразу за умовою задачі;

2. Складання рівняння за умовою задачі;

3. Розв’язування найпростіших рівнянь;

4. Повне розв’язування задачі за допомогою рівнянь.

Роботу по розв’язуванні текстових задач за допомогою рівнянь проводжу з початку року..

На першому етапі учням пропонуються такі завдання на складання виразу :

1. Батько на 20 років старший за сина. Вік сина позначимо через х. Виразити через х вік батька. Зобразити умову за допомогою відрізків.

2. Вага гуски в 3 рази більша за вагу курки. Вагу курки позначимо через х. Виразити вагу гуски через х. Зобразити за допомогою відрізків.

3. Одне число більше за друге у 2 рази. Позначити менше число через х. Виразити друге число через х. Зобразити їх за допомогою відрізків.

4. Туристи пройшли першого дня шлях на 3км більше,ніж другого.

1 спосіб. Шлях, який пройшли туристи першого дня позначимо через х. Виразити через х шлях, який пройшов турист другого дня. Зробити рисунок.

2 спосіб. Шлях, який пройшов турист другого дня позначимо через х. Виразити через х шлях, який пройшов турист першого дня. Зробити рисунок.

5. Старший брат зібрав на 12 кг ягід більше, ніж молодший . Кількість ягід, які зібрав молодший брат позначимо через х. Виразити через х кількість ягід, яку зібрав старший брат. Зобразити на рисунку.

На другому етапі пропоную учням такого типу завдання на складання рівнянь:

1. Скласти рівняння за умовою:

- якщо до числа х додати 23, то одержимо 68;

- якщо від числа х відняти 4,5, то одержимо 18,4;

- якщо від числа х відняти 2,3, то одержимо 0;

- якщо добуток числа х і 23 дорівнює 9,6;

- якщо число х зменшити у 2 рази , то одержимо 1,2;

- якщо число х збільшити в 16 разів, то одержимо 4,8.

На третьому етапі розв’язуємо рівняння:

1. х + 5 = 2;

7. х + 5 = 2х;

2. 2х - 9 = 11;

8. 9(х+3)-12=60;

3. 4(3х - 2) = 12;

9. (12-х)+14=17;

4. (4х - 5) :3 = 12;

10. 5(х-2)+4=24;

5. 26 : (20х - 7) = 2;

11. 12+3(х+7)=57;

6. 2х+5х=49;

12. 12-3(х-5)=6.

На четвертому етапі складаємо за умовою задачі рівняння і розв’язуємо його.

1. Складіть і розв’яжіть рівняння,якщо відомо, що швидкість велосипедиста х км/год, що в 5 разів менша швидкості автомобіля, що становить 90 км/год.

2. На одній полиці х книжок, а на другій втричі більше. На другій полиці на 24 книжки більше, ніж на першій. Складіть і розв’яжіть рівняння.

3. Розв’яжіть задачу за допомогою рівняння. Яке число треба додати до числа 12,45, щоб одержати 15,9?

4. Яке число потрібно помножити на 5, щоб отримати 25,5?

5. Яке число необхідно поділити на 2,8, щоб отримати число 12?

6.Два пішоходи вийшли одночасно в одному напрямі зі швидкостями4,3 км/год і 5,2 км/год. Яка відстань між пішоходами буде через 4 години

7.Із 80 м тканини пошили декілька платтів та ще 24 м витратили на костюми. Після того залишилося 36 м тканини. Скільки метрів тканини пішло на одне плаття?

8. У трьох класах 119 учнів . У другому класі на 4 учня більше, ніж у першому, а в третьому – на 3 учня більше, ніж у другому. Скільки учнів у кожному класі?

9.У трьох ящиках було 104,5 кг яблук. У першому і другому ящиках разом 60,9 кг, а в другому і третьому разом 75,8 кг яблук. Скільки кілограмів яблук було в кожному ящику.

10.У лісі на площі 7,2 га росли дуби, а берези займали площу на 3,9 га меншу ,ніж дуби. Площа під соснами була на 6,8 га більшою, ніж під березами. Граби займали площу на 4,7 га більшу. ніж дуби, берези і сосни разом. Яка площа всього лісу?

11.У чотири ящики поклали 83,56 кг помідорів. У другому ящику було 30,31 кг помідорів, що на 9,61 кг більше , ніж у першому ящику і на 0,9 кг більше, ніж у третьому ящику. На скільки кілограмів помідорів у четвертому ящику було менше, ніж у другому?

В 7 класі учні починають вивчати одне із найскладніших понять шкільної математики – поняття «функція». Для забезпечення доступності вивчення цієї теми необхідна наочність. Такою наочністю при вивченні будь-якої функції є її графік. Але для того , щоб використати графіки, як засіб наочності при вивченні функції, необхідна важлива умова: графік повинен появитися і стати зрозумілим для учня до вивчення функції. Якщо звернутися до планування, то ми бачимо, що перше уявлення про графік функції учні отримують приблизно за декілька уроків до вивчення лінійної функції. Зрозуміло, що за цей час учні не встигають засвоїти термінологію графіків. Графік для учнів не став засобом наочності, а є важкодоступним об’єктом для вивчення. Вирішенню цього непростого питання допомагає випереджаюче навчання. Починаю підготовку учнів до вивчення графіків з 6 класу, після вивчення прямокутної системи координат. Після того як учні навчилися будувати координатну площину і позначати на ній точки пропонуються виконати такого типу завдання:

1. Побудувати на координатній площині якомога більше точок, у яких абсциса і ордината однакові, тобто y=x. Побудову здійснити на всій сторінці, прийнявши за одиничний відрізок 1 см, тобто 2 клітинки.

На наступному уроці виконуємо це завдання на дошці. Учні класу беруть активну участь побудові точок , які мають однакові координати. Після спостереження учні помічають, всі точки розміщені на прямій. Якщо сполучити ці точки, то можна отримати пряму. Всі інші точки з однаковими координатами належать цій прямій. Потім учням повідомляється, що такі рисунки називаються графіками. І тепер такі графіки будуть задаватися кожного уроку.

2. Побудувати якомога більше точок у яких абсциса дорівнює нулю.

3. Побудувати якомога більше точок у яких координати протилежні числа. (у=-х).

4. Побудувати як можна більше точок у яких абсциса протилежна числу 3. (х=-3).

5. Побудувати якомога більше точок, у яких ордината протилежна числу -3. (у=3).

6. Побудувати як можна більше точок, у яких абсциса дорівнює модулю числа -2. (х=2).

7. Побудувати як можна більше точок , у яких ордината дорівнює модулю абсциси (у=|х|).

8. Побудувати як можна більше точок , у яких ордината на дві одиниці більша за абсцису. (у=х+2).

9. Побудувати як можна більше точок , у яких ордината у два рази більша за абсцису. (у=2х).

Таким чином, учні 6класу наблизилися до вивчення одного з основного математичних понять, що виражає залежність між змінними величинам – функції і отримали важливі знання , які допоможуть природньо і без затруднень засвоїти лінійну функцію.

Надалі завдання для побудови графіків функції даються у звичній формі.

Побудувати графік функції.

1. у = х + 3.

2. у = х -2.

3. у = х - 3.

4. у = 2 + х.

5. у = 3 +2 х.

6. у = |х| + 2.

7. у = |х + 2|.

8. у = -х + 2.

9. у = -х + 3.

10. у = |-х|.

11. у = -|х| + 2.

12. у = 2х - 2.

13. у = 3х -1.

14. у = |х| - 4.

15. у = 2х.

16. у = -3х.

17. у = -3х + 2

18. у=2х-4.

19. у = -2х.

20. у = 3+х

З метою полегшення сприйняття формул скороченого множення, вважаю за необхідне формувати готовність учнів до засвоєння знань. Ця робота розпочинається за декілька тижнів до вивчення нової теми. Вивчаючи тему «Множення многочленів» учні розв’язують завдання, які згодом будемо називати формулами скороченого множення.

1.Перемножте многочлени:

а) (а+в)(а+в);

б) (а-2)(а-2);

в) (х+у) (х+у)

г) (2х-3) (2х-3)

2.Подайте у вигляді многочленів.

а) (а+в)(а-в);

б) (а+2)(а-2);

в) (х-у) (х+у);

г) (2х-3) (2х+3)

3.Чи тотожні вирази:

а) (а+в)(а+в) і а2 +2ав+в2 ;

б) (а-2)(а-2) і а2 -4а+4;

в) (х+у) (х+у) і х2 +2ху+у2 ;

г) (2х-3) (2х-3) і 4х2 -12х+9;

д) (с2+с-1)(с-1) і с3 -1;

е)(х+у)(х2-ху+у2) і х33;

4.Спростити вираз:

а) (а-в)(а2 +ав+в2);

б) (а+в)(а2 -ав+в2);

в) (х+у)(х2-ху+у2);

г) )(х+2)(х2-2х+4);

д) )(х+у)(х2+2ху+у2);

(а+в)(а2 +2ав+в2);

Так, приблизно за 2-3 тижні до вивчення формул скороченого множення, починаю на усних вправах готувати учнів до їх сприйняття. Перед вивчення формул скороченого множення я проводжую звичайні математичні диктанти на перевірку засвоєного матеріалу і останнім питанням включаю завдання, які підготовлять учнів до сприйняття наступної теми. Наприклад:

1.Записати суму чисел 2а і 3в.

2.Записати подвоєний добуток 2а і 3в.

3.Назвати у виразі a+2 перший і другий доданок;

4.Зписати квадрат першого доданку, квадрат другого доданку у виразах: x+2, 2а + Зb.

5 Знайти добуток першого і другого доданків виразу.

6. Знайти подвоєний добуток першого і другого додатків виразу 3х+4у.

7. Знайти куб першого доданку, другого доданку виразу 0,3х+0,4у.

8. Знайти потроєний добуток першого і другого доданку виразу 0,1х+2у.

9. Записати різницю квадратів чисел a i b.

10. Квадрат суми чисел m i n.

11. Квадрат різниці чисел 2x i 5y.

12. Різницю кубів чисел a i b

13. Куб різниці чисел m i n.

14. Квадрат суми чисел 5х і 4у.

15. Добуток різниці чисел 7х і 5у на їхню суму.

Таку роботу проводжу на початку кожного уроку незадовго до вивчення нової теми. Це мобілізує всіх учнів, тому, що вони є доступними навіть для слабих учнів, в яких появляється надія на те, що вони теж можуть успішно працювати на уроці. Крім того, це привчає дітей запам’ятовувати те, що вивчається на уроці, тому що цей матеріал буде використовуватися на наступних уроках. Після проведення такої підготовчої роботи, учні впевнено користуються формулою (а + b)2 = a2 + 2ab + b2 і в завданні (2a + 5)2 = 4a2 + 20a + 25 результат записують зразу, а не (2а2+ 2·2а·5 + 52), що значно зекономить час на уроці.

Під час вивчення теми пропоную учням опорні таблиці, де показано різні типи завдань на застосування формул скороченого множення

Формули скороченого множення

Перетворення на многочлен

(a+b)(a-b) = a2-b2

1) (a-2)(a+2) = a2-22 = a2-4; 2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x2-49y2;

3) (-2a-9c)(2a-9c) = -(2a+9c)(2a-9c) = -(4a2-81c2) = -4a2+81c2 = 81c2-4a2;

4) (-m3+8)(m3+8) = (8-m3)(8+m3) = 64-m6;

Застосування

Обчислення

Спрощення

Рівняння

52·48=

=(50+2)(50-2)=502 -22 =

=2500-4=2496;

1) 2(x-3)(x+3)=2(x2-9) =

2x2-18;

2) (b-2)(b+2)(b2+4)=

(b2- 4)(b2+4)= b4-16;

3) (х-3)2(х+3)2 =

=(х-3)(х-3)(х+3)(х+3)=

=(х-3)(х+3)(х-3)(х+3)=

=(х2-9)(х2-9)=(х2-9)2=

4-18х2+81;

4) 5a(a-8)-3(a+2)(a-2)=

=5a2-40a-3(a2 - 4)=

=5a2-40a-3a2+12=

=2a2-40a+12;

x-3x(1-12x) =

=11-(5-6x)(6x+5),

x-3x+36x2 =

=11-(5-6x)(5+6x),

-2x+36x2 =

=11-(25-36x2),

-2x+36x2= 11-25+36x2,

-2x+36x2-36x2 = 11-25

-2x =-14,

x = ,

x = 7.

Відповідь: 7

Різниця квадратів

Розкладання на множники

a2-b2 = (a+b)(a-b)

1) a2-25= a2-52=(a-5)(a+5);

2) -b8+16a2 = 16a2-b8= (4a)2-(b4)2= (4a-b4)(4a+b4);

3) 64 - (b+1)2 = 82-(b+1)2 = (8-(b+1))(8+b+1)=(8-b-1)(9+b) = (7-b)(9+b);

4) (2x+y)2- (x-2y)2 = (2x+y-(x-2y))(2x+y+x-2y) =

= (2x+y-x+2y)(3x-y) = (x+3y)(3x-y)

Застосування

Обчислення

Рівняння

Практичне застосування

472-372 =

=(47-37)(47+37)=

=10∙84=840

9x2-4 = 0,

(3x)2-22 = 0,

(3x-2)(3x+2) = 0,

3x-2=0, або 3x+2=0,

3x=2, 3x = -2,

x= x= -

Відповідь: ; -

Довести, що вираз (4n+5)2-9 ділиться на 4.

==

= = =

= (4n+2)(n+2)

Формули скороченого множення

Перетворення на многочлен

(a+b)2=a2+2ab+b2=(-a-b)2

(a-b)2=a2-2ab+b2=(b-a)2

1) (а+9)2=а2+2∙а∙9+92=а2+18а+81;

2) (x-3y)2= x2-2∙x∙3y+(3y)22-6xy+9y2 ;

3) (-1-в)2= (-1)2(1+в)2=1++в2;

4) (-3х+у4)2= (у4-3х)2=у8-6ху4+9х2

Застосування

Обчислення

Спрощення

Рівняння

1) 512=(50+1)2=

=502+100+1=

= 2500+100+1=

= 2601

2) 992 =(100-1)2 =

=1002-200+1 =

=10000-200+1=

=9801

1) 3(4х-1)2=3(16х2-8х+1) =

=48х2-24х+3;

2) (х+2)(х-1)2 =

=(х+2)(х2-2х+1) =

3-2х2+х+2х2-4х+2= х3-3х+2;

3) 10ху-4(2х-у)2+6у2 =

=10ху-4(4х2-4ху+у2)+6у2=

=10ху-16х2+16ху -4у2+6у2 =

=26ху-16х2+ 2у2;

4) (-х+у)(у-х)= (у-х)(у-х) =

=(у-х)2=у2-2ху+х2;

5) (x+y)(-x-y) = -(x+y) (x+y) =

= -(x+y)2 = -x2-2xy-y2;

6) (x-y)(y-x)=-(y-x)(y-x) =

= -(y-x)2=-y2+2xy-x2;

1) 9x(x+6)-(3x+1)2=1;

9x2+54x-(9x2+6x+1)=1;

9x2+54x-9x2-6x-1=1;

48x =1+1;

48x = 2;

x =;

x =;

Відповідь:

2) 9+6x+x2 = 0;

(3+x)2=0;

3+x = 0;

x = -3.

Відповідь: -3.

Розкладання на множники

a2+2ab+b2 = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b)2

1) х2+12х+36= х2+ 2х∙6+62=(х+6)2

2) -42х+ 9х2+49 = 9х2-42х+49=(3х+7)2

3) -4x2-12x-9 = -(4x2+12x+9) = -(2x+3)2

Застосування

Обчислення

Порівняння

4x2-20x+25 = (2x)2-2∙2x∙5+52 =(2x-5)2.

Якщо x=-2, то (2∙ (-2)-5)2 = (-4-5)2=(-9)2=81.

1) x2+10 >0,

x2 ≥0, 10>0.

2) -2x2-5 <0,

-2x2 ≤0, -5<0.

3) x2-16x+64 ≥ 0

(x-8)2 ≥ 0.

4) -x2-4x-4 ≤ 0

- (x2+4x+4) ≤ 0

- (x+2)2 ≤ 0

Розкладання на множники цілі вирази за допомогою формул скороченого множення

2a3-8a =

2a(a2-4) =

=2a(a-2)(a+2).

27x3+18x2+3x=3x(9x2+6x+1) =

= 3x(3x+1)2.

ab3-5b3+ab2y-52y =

= b2(ab-5b+ay-5y)=

= b2(b(a-5)+y(a-5)) =

= b2(a-5)(b+y).

a2-4ax-49+4x2 =

= a2-4ax+4x2-49 =

= (a-2x)2-49 =

= (a-2x-7)(a-2x+7).

а2-в2-а-в = (а-в)(а+в)-(а+в) = =(а+в)(а-в-1).

a2-b2+3(a+b)2 =

= (a-b)(a+b)+3(a+b)2 =

= (a+b)(a-b+3(a+b)) =

= (a+b)(a-b+3a+3b) =

= (a+b)(3a+b).

a3-b3+5a2b-5ab2=(a-b)(a2+ab+b2)+5ab(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2+5ab)=

(a-b)( а2+6ab+b2).

Ширше застосування формул скороченого множення

1.(a+b)2=a2+2ab+b2

1.a2+b2= (a+b)2-2ab

2.(a-b)2=a2-2ab+b2

2.a2-b2= (a+b)2 +2ab

3.а3-b3= (a-b)( a2+ ab +b2)

3.а3-b3= (a-b)3+ 3ав ( a-b)

4.а3-b3= (a-b)( a2+ ab +b2)

4.а3+b3= (a+b)3- 3ав ( a+b)

1. Обчислити (х1)2 +(х2)2 ,де х1 і х2 – корені рівняння х2+х-5=0.

Розв’язання: за формулою a2+b2= (a+b)2 - 2ab маємо

1)2 +(х2)2 = (х1 + х2)2 - 2х1х2. .За теоремою Вієта х1 + х2 =-1, х1х2 =-5 , а тому(х1)2 +(х2)2 =(-1)2 -2·(-5)=11.

Відповідь:11.

2.Обчислити (х1)22)5 +1)52)2 , де х1 і х2 – корені рівняння 2х2-4х+1=0.

Розв’язання:Перетворимо даний вираз 1)22)5 +1)52)2 =

1)22)2 ·((х1)3 +(х2)2 ) = 1 2 )3 -3 х1х21 2) .

За теоремою Вієта : х1 + х2 =2, х1х2 =1/2.

Отже, (х1)22)5 +1)52)2 =23 -3·2·1/2 =5

Відповідь:5.

3.При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння х2 +(а-2)х-а-1=0 є найменшою?

Розв’язання:Перевіримо чи має рівняння дійсні корені для всіх значень а.

D=b2 -4ac=(а-2)2+4(a+1)=а2 -4а+4+4а+4= а2 +8 >0.

За теоремою Вієта : х1 + х2 =2-а, х1х2 =-1-а.

Знайдемо суму квадратів коренів рівняння. (х1)2 +(х2)2 = (х1 + х2)2 - 2х1х2

1)2 +(х2)2 = (2-а)2 + 2(а+1)=6-2а+а2 =(а-1) 2 +5

Вираз (а-1) 2 +5набуває найменшого значення , що дорівнює 5 при а=1.

Відповідь:1

Аналогічну роботу проводжу по формуванні готовності учнів до засвоєння формул коренів квадратного рівняння. Використовую таку систему вправ:

1. Назвати коефіцієнти квадратних тричленів:

А) 2х2+3х+4;

Б) х2-3х+5;

В) х2+0,3х-1,4;

Г) 2х2-6х-4;

Д) -2х2+30х+7;

Е) 0,1х23- 0,5х+1;

Є) 1/2х2 – 2/3х+1,4;

Ж) 2/3 х2-2х-1;

2. Обчислити b2,

3.Обчислити ()2, якщо b – парне.

4. Обчислити 4ас.

5.Обчислити, ас, якщо b-парне

6. Обчислити b2 – 4ac.

7.Обчислити ()2ac, якщо b – парне.

5. Знайти – в, або -, якщо b – парне.

6. Записати 2а, або а, якщо b – парне.

Ці вправи вводжу поступово. Наприклад, на перших двох уроках виконуємо тільки перше завдання, а потім поступово переходимо до наступних вправ. До моменту виведення формули коренів квадратного рівняння в учнів сформовано навик знаходження дискримінанта для парного і непарного коефіцієнтів. При вивченні теми "Розв’язування квадратних рівнянь за формулою веду підготовчу роботу до засвоєння теореми Вієта.

Даю завдання учням, після знаходження коренів рівняння, знайти добуток і суму цих коренів і порівняти їх з коефіцієнтами в і с.

х2+4х-5=0

х1 =1, х2=-5

х12= в=

х1·х2= с=

х2+11х+10=0

х1 =-1, х2=-10

х12=, в=

х1·х2= с=

х2-9х+14=0

х1 =2, х2=7

х12=, в=

х1·х2= с=

х2+8х+15=0

х1 =-3, х2=-5

х12=, в=

х1·х2= с=

х2+3х-10=0

х1 =2, х2=-5

х12=, в=

х1·х2= с=

Така система роботи не тільки полегшує сприйняття нового матеріалу, але й дисциплінує учнів дає можливість відчути радість від пізнання нового, побачити красу математики, зрозуміти що нічого на уроці не робиться просто так, все пригодиться в майбутньому. Враховуючи те, що квадратні рівняння зустрічаються на протязі всього курсу математики аж до 11 класу в різних темах, я розробила систему вправ для вироблення навичок усного розв’язування квадратних рівнянь, що дає можливість в наступних класах більше уваги приділити новому матеріалу, а не задержуватися на розв’язуванні квадратних рівнянь за допомогою формул коренів квадратного рівняння. Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта як для зведених квадратних рівнянь так і для рівнянь, у яких перший коефіцієнт відмінний від 1, властивості коефіцієнтів квадратного рівняння, учні мають можливість розв’язувати велику кількість квадратних рівнянь усно.

Розв’язати рівняння , використовуючи властивості коефіцієнтів.

1) 4х2-13х+9=0;

а+в+с=0;

х1=1, х2 =9/4

Відповідь:9/4

1) 4х2+11х+7=0;

а-в+с=0;

х1=-1, х2 =-7/4

Відповідь:-1;-7/4.

2) 24х2-13х-11=0;

а+в+с=0;

х1=1, х 2 =-11/24.

Відповідь 1;-11/24.

3) х2 -5х +4=0

а+в+с=0;

х1=1, х 2 =4.

Відповідь:1;4.

4) ) 2х2-11х+5=0;

у2-11у+10=0;

у1=1, у2=10

х1=1/2, х 2 =10/2=5

Відповідь:1/2;5.

2) 3х2+10х+7=0;

а-в+с=0;

х1=-1, х2 =-7/3.

Відповідь:-1;-7/3.

3) 7х2 -5х -12=0

а-в+с=0;

х1=-1, х 2 =-12/7.

Відповідь:-1;-12/7

4) 3х2+7х+2=0;

у2+7у+6=0;

у1=1, у2=6

х1=1/3, х 2 =6/3=2

Відповідь:1/3;2.

Наступним етапом у вивченні даної теми є складання сильними учнями квадратних рівнянь з цілими , раціональними різними коренями ,з двома однаковими коренями з коренями , один з яких дорівнює 1, або -1.

Рівняння

Розв’язки

Зв'язок між коефіцієнтами

х2+4х-5=0

х1=1, х2=-5

а+в+с=1+4-5=0

х2-4х-5=0

х1=-1, х2=5

а-в+с=1+4-5=0

х2+6х-7=0

х1=1, х2=-7

а+в+с=1+6-7=0

х2-6х-7=0

х1=-1, х2=7

а-в+с=1+6-7=0

х2-4х+3=0

х1=1, х2=3

а+в+с=1-4+3=0

х2-6х+5=0

х1=1, х2=5

а+в+с=1-6+5=0

2+8х+5=0

х1=-1, х2=-5/3

а-в+с=3-8+5=0

х2+4х-12=0

х1=-6, х2=2

х12=(-6+2)=-4, в=4

х1·х2=-6·2=-12=с

2-5х+3=0

х1=1, х2=1,5

а+в+с=2-5+3=0

2+4х-6=0

х1=1, х2=-3

а+в+с=2+4-6=0

2+4х-9=0

х1=1, х2=-9/5

а+в+с=5+4-9=0

х2-6х+8=0

х1=2, х2=4

х12=(2+4)=6, в=-6

х1·х2=2·4=8=с

2-13х+9=0

х1=1, х2=9/4

а+в+с=4-13+9=0

2+11х+7=0

х1=-1, х2=-7/4

а-в+с=4-11+7=0

2-5х+1=0

х1=1/3, х2=1/2

х12=(1/3+1/2)=5/6, в/а=-5/6

х1·х2=1/3·1/2=1/6=с/а

2+7х-4=0

х1=-4, х2=0,5

х12=(-4+1/2)=-3,5, в/а=-3,5

х1·х2=-4·0,5=-2=с/а

Математика як навчальний предмет дає можливість формувати в учнів правильне і послідовне міркування, розвивати логічне мислення. Учні вчаться логічно думати не тільки при доведенні теорем чи виконанні вправ на доведення, але й при виконанні тотожних перетворень, розвязуванні рівнянь, нерівностей, систем рівнянь чи нерівностей, побудови графіків тощо. Ось декілька вправ такого характеру:

1. Поставити замість зірочки такі числа, щоб утворилася тотожність:

а) (3x*)2=9x6

б) (0,2xy2)* =0,04x2y4;

в) (a2bc*)3 =*a*b* c9;

г)(2x3yc*)* =*x6y2c10.

2.Розв’язати нерівність (3 - х)(х2 + 1)0

3. Знайти пропущені коефіцієнти в даних квадратних рівняннях:

а) х2-6х +...=0, якщо х1 =2; х2=...;

б) х2-...х+18=0, якщо х=3; х2=...;

в) х2 + 5х+...=0, якщо х1=-1; х2=... .

В останньому завданні для того, щоб знайти коефіцієнти в квадратних рівняннях необхідно міркувати так: "Якщо рівняння х2 6x + ...=0 зведене, то сума його коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто х1 + х2 =6,але х1=2, звідси Х2=4 Тоді вільний член зведеного квадратного рівняння дорівнює х1 х2=2·4=8. 0тже, рівняння має вигляд х2 6x + 8=0.

4. Не розв’язуючи рівняння, визначити, які з них мають два додатних кореня, два відємних кореня, один додатний другий від’ємний корінь.

а)x2 – 6x + 5=0;

б)x2 – 4x - 5=0;

в)x2 + 20x + 19=0;

г)x2 + 4x + 5=0.

5. Розв’язати рівняння:

а) (х2+1)2+(x-1)2=-1;

б) (х2-1)2+(y-3)2=0

Використовуючи елементи випереджаючї освіти на уроках математики допомагає учням, яким не достатньо часу для глибокого та міцного засвоєння знань краще засвоїти новий матеріал. Знайомство з деякими поняттями нової теми відбувається поступово і ненав’язливо, без обов’язкового заучування, а вчитель не оцінює степінь засвоєння матеріалу, який вивчається з випередженням. Завдяки

цим факторам теми, які важкі для засвоєння, учні засвоюють набагато краще. І в цьому я вбачаю один з перспективних напрямків удосконалення викладання математики .

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
В роботі наведено приклади як можна задовго до вивчення нової теми готувати дітей до сприйняття нової теми, затрачаючи на цю роботу кожного разу по 2 -3 хв. В роботі показано як ненав’язливо, крок за кроком можна готувати дітей до сприйняття нових понять і тверджень.У дітей появився додатковий час для усвідомлення нового матеріалу.Використано досвід С.М.Лисенкової.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Малюк у світі економіки та фінансів»
Часнікова Олена Володимирівна
36 годин
590 грн
295 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти