і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
Взяти участь
Поспішайте взяти участь у вебінарі Особливості вивчення англійської мови у 1 класі за методом асоціативних символів.
До початку вебінару залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »

Симетрична стратегія в ігрових задачах

Перегляд
матеріалу
Отримати код

Симетрична стратегія в ігрових задачах

(6 клас)

Від автора

Метою написання даної розробки є надання допомоги учню загальноосвітньої школи самостійно підготуватися до успішного виступу на районній чи обласній олімпіаді. При доборі задач автор виходив з досвіду проведення занять математичного гуртка “Пізнайко” для учнів 6-го класу в Мурованокуриловецькій СЗШ І-ІІІ ст. №1.

З метою економії часу при проведенні занять математичного гуртка краще, щоб учні опрацювали теоретичний матеріал та задачі з розв’язаннями вдома, а під час заняття треба розв’язувати ті задачі, що дано без розв’язання.

Під час підготовки до олімпіад роботу з даною розробкою також варто поєднувати з роботою над рекомендованою літературою.

Частина І. Задачі для попереднього вивчення.

Діти люблять гратися! Тому в школярів середніх класів великий інтерес викликають задачі-ігри. З їх допомогою вчитель може внести в заняття гуртка елемент розваги, що важливо для учнів 6-го класу.

В той же час такі задачі є змістовними. При їх розв’язуванні школярі звичайно мають значні труднощі. Адже необхідно, по-перше, грамотно сформулювати стратегію, а по-друге, довести, що вона справді веде до виграшу.

Тому завдання-ігри дуже корисні для розвитку розмовної математичної культури, чіткого розуміння того, що означає розв’язати задачу.

Необхідно усвідомити, що міркування типу “якщо він ходить так, то я ходжу так” не є, як правило, розв’язком гри.

В математичних іграх припускається, що грають двоє гравців, ходи роблять по черзі (жоден із гравців не може пропустити хід), причому гравці не роблять помилок. А тому в таких іграх наперед можна визначити кінцевий результат, тобто передбачити, який з гравців може забезпечити собі виграш. В цих задачах треба відшукати виграшну стратегію для одного із гравців.

У даній статті розглянемо приклади найпростіших задач, де у виграшних стратегіях гравець має робити ходи симетричні у певному сенсі ходам суперника. В наведених прикладах симетричні ходи гарантують гравцеві, що йому буде куди зробити хід. А якщо гра завершується за скінчену кількість ходів, то колись не буде куди походити іншому учаснику.

При виборі симетричної стратегії потрібно пам’ятати таке правило:

Суперник не повинен мати можливості перешкодити вашому черговому

симетричному ходу.

Задача 1. Двоє гравців по черзі розламують шоколадну плитку 6 х 8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого зі шматків уздовж заглиблення на плитці Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з гравців є виграшна стратегія ?

Розв'язання. Перемога першого гравця досягається незалежно від його гри, все ж можна було б запропонувати для нього цілком осмислену стратегію. Припустимо, що своїм першим ходом він розламав плитку на дві однакові частини розмірами 6х4. Тоді, яку б із цих частин не розламав другий гравець, у першого є можливість зробити аналогічний (симетричний) розлом у тотожній їй другій частині. При цьому одержимо дві пари рівних між собою шматків. Тоді, який би шматок не розламав другий гравець, перший знову має змогу зробити аналогічний розлом шматка, який входить із розламаним в ту ж саму пару. Таким чином, скільки б не продовжувалася гра, ходи першого гравця не зможуть вичерпатися раніше, ніж ходи другого. А оскільки число розломів плитки є скінченним, ми дістаємо, що врешті-решт вичерпаються ходи обох гравців. З попередніх міркувань випливає, що останній хід при цьому буде за починаючим гру, який і здобуде перемогу.

Задача 2. Двоє гравців по черзі кладуть однакові монети на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладалися одна на одну. Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язання. В цій грі виграє перший гравець, незалежно від розмірів столу. Першим ходом він кладе монету так, щоб центри монети і столу співпали. Після цього на кожний хід другого гравця перший гравець відповідає симетрично щодо центру столу. При такій стратегії після кожного ходу першого гравця позиція симетрична. Тому, якщо черговий хід другого гравця можливий, то можливий і симетричний йому відповідний хід першого гравця. Отже, перший гравець перемагає.

Задача 3. Двоє гравців по черзі ставлять слонів на клітинки шахової дошки так, що слони не б’ють один одного (колір слонів значення не має). Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язання. Шахова дошка симетрична відносно свого центра, тому, на перший погляд, другий гравець на кожен хід першого має симетричний хід. Однак це не так, бо, якщо перший гравець ставить слона на одну з клітинок головної діагоналі, то другий гравець симетричного ходу немає.

Щоб розв’язати задачу за допомогою симетричної стратегії, необхідно знайти симетрію, при якій попередній хід суперника не перешкоджає дотриманню обраної стратегії. Такою є симетрія відносно прямої, що розділяє четверту і п’яту горизонталі. Симетричні відносно неї поля мають різний колір, і тому слони, поставлені на такі поля, не б’ють один одного.

Отже, другий гравець виграє, якщо на кожен хід першого гравця відповідає ходом, симетричним відносно вказаної прямої.

Задача 4. Хлопчик та дівчинка по черзі зафарбовують клітинки прямокутної таблиці. За один хід треба зафарбувати дві не зафарбовані клітинки, які мають спільну сторону. Починає гру дівчинка, а програє той, хто немає можливості зробити хід. Хто переможе при правильній грі, якщо таблиця має розміри:

а) 2004 х 2006; б) 2005 х 2006?

Розв’язання. а) Переможе хлопчик. Після кожного ходу дівчинки йому треба зафарбувати ту пару клітинок, яка центрально – симетрична відносно центра прямокутника клітинкам, тільки що зафарбованими дівчинкою. Простіше кажучи, ходи хлопчика повинні бути центрально – симетричні ходам дівчинки. Клітинки для такого ходу хлопчика завжди будуть чистими. Адже після кожного ходу хлопчика набір не зафарбованих клітинок буде мати центр симетрії – центр прямокутника. І якщо дівчинка обере для свого ходу якісь дві чисті клітинки, то чистими будуть і клітинки для ходу хлопчика. Оскільки загальна кількість клітинок скінченна, гра колись кінчиться, а програти може лише дівчинка. Для стратегії хлопчика важливим буде те, що центр прямокутника лежить у вершині клітинки.

б) Виграє дівчинка. Для прямокутника 2005 х 2006 центр симетрії лежить всередині спільної сторони двох клітинок, і першим ходом дівчинці треба зафарбувати ці дві клітинки. Далі вона повинна робити ходи, центрально – симетричні ходам хлопчика відносно центра прямокутника.

Задача 5. Прямокутна шоколадка розділена 4 повздовжніми та 9 поперечними заглибленнями на 5х10=50 квадратних частин. Перший гравець розламує шоколадку по деякому заглибленню на дві прямокутні частини. Два гравці по черзі одну із отриманих частин по заглибленнях ділять на дві прямокутні частини. Хто виграє при правильній грі, якщо той, хто відламає частку 1х1: а) програє; б) виграє.

Розв’язання. В обох випадках виграє перший гравець, і першим своїм ходом він має розламати шоколадку на дві частини 5х5.

У варіанті а)на кожний хід другого гравця на одній половині шоколадки першому треба зробити такий же хід на іншій. Очевидно, що частку 1х1 раніше отримає другий гравець.

У варіанті б) перший гравець дублює ходи другого в іншій половині шоколадки, поки другий не відламає якусь частку 1х п. Тоді з цієї частини перший отримує частку 1х1.

Задача 6. (Обласна олімпіада). Дано смужку розміром 1х 2005. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід потрібно закреслити одну довільну клітинку смужки або деякі дві послідовні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш – перший гравець чи його суперник?

Розв’язання. Перемогу може забезпечити собі перший гравець. Першим ходом він закреслює 1003-тю (центральну) клітинку, а потім повторює ходи суперника симетрично відносно неї.

Задача 7. (Обласна олімпіада). Два гравці записують по черзі числа 1 і –1 в одиничні клітинки таблиці розміром 1987 х 1987. Після того, як всі клітинки заповнені, для кожного рядка, стовпця і двох діагоналей таблиці підраховується добуток чисел, які там записані. Довести, що гравець, який робить перший хід, може грати так, щоб серед цих добутків було рівно 1990 додатних.

Розв’язання. оскільки число 1987 непарне, то існує клітинка, центром якої є центр симетрії даної таблиці. Для кожної іншої клітинки існує клітинка, симетрична з нею відносно центра таблиці. Якщо перший гравець хоче домогтись вказаного в задачі результату, то своїм першим ходом він має записати в центральну клітинку число (-1), а після кожного ходу другого гравця йому слід записувати число протилежного знаку в клітинку, симетричну відносно центра таблиці із клітинкою “суперника”. Якщо, наприклад, другий гравець своїм першим ходом записує число (+1) в клітинку першого стовпця, то перший гравець записує число (-1) в симетричну з нею клітинку 1987-го стовпця. Після цього обміну ходів в кожному із заданих стовпців залишиться по 1986 клітинок, тому в першому стовпцеві буде 993+1 число (+1) і 993 числа (-1), тобто добуток чисел буде дорівнювати –1. В 1987 стовпцеві буде 994 клітинки з числами (-1) і 993 – з числами (+1). Добуток всіх чисел дорівнює (+1). Таким чином, в тому рядку чи в тій діагоналі, де перший запис робить перший гравець, добуток чисел дорівнює (+1). Сюди відносяться, перш за все, обидві діагоналі, той рядок і той стовпець, які містять центральну клітинку (всього 4). В решті рядків і стовпців буде 1986 з додатними добутками і 1986 – з від’ємними.

1986 + 4 = 1990

Задача 8.. У рівностях *+*+*=*, *+*=*, *=* двоє вписують по черзі на свій розсуд замість зірочок цілі числа. Довести, що той, хто починає гру, завжди може досягти правильності усіх числових рівностей.

Розв'язання. Перший гравець повинен записати довільне ціле число замість однієї із зірочок другої рівності. Далі, записуючи числа в тій же рівності, що і його суперник, він матиме змогу записати останні числа кожної рівності, а отже, і добитися їх виконання.

Слід зауважити, що відступ від описаної стратегії може привести першого гравця і до поразки. Наприклад, суперник негайно міг би скористатися із вписування числа у третю рівність.

Задача 9.. Дано шахівницю 8 х 8 і прямокутні доміно 1 х 2. За один хід дозволяється накрити дві сусідні клітинки шахівниці так, щоб плитки доміно не перекривались. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з двох гравців є виграшна стратегія?

Розв'язання. Виграшна стратегія є у другого гравця. Для перемоги він кожного разу повинен ставити плитку доміно симетрично відносно центра дошки до плитки, поставленої перед цим його суперником.

Задача 10. (Всеросійська олімпіада. 1990р. Обласний етап) Двоє по черзі ставлять на вільні клітинки шахової дошки коней: один – білих, другий – чорних, роблячи це так, щоб виставлений кінь не міг бути взятий жодним із вже поставлених противником коней. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той хто починає гру чи його партнер – і як треба ходити, щоб виграти?

Розв'язання. Нехай другий гравець, роблячи черговий хід, ставить свого коня на клітинку, яка симетрична відносно центра дошки клітинці, на яку тільки що поставив коня його партнер. Доведемо, що вказана стратегія дозволяє другому гравцю завжди добитися перемоги. Для цього покажемо, що якщо перший гравець може зробити черговий хід, то черговий хід може зробити і його партнер.

В силу вибору стратегії, по – перше, вільна клітинка, на яку другий гравець ставить коня. По – друге, цей кінь не може бути взятий тільки що поставленим конем партнера, бо ці коні знаходяться на клітинках одного кольору. По – третє, цей кінь не може бути взятим жодним з інших виставлених партнером коней: якби він міг бути взятий з клітинки А, то виставлений останнім кінь першого гравця міг би бути взятий конем із клітинки, симетричної А відносно центра.

Зауваження. Існують і інші стратегії, які дозволяють завжди виграти тому, хто ходить другим. Наприклад, він може ставити коня на клітинку, симетричну клітинці, на яку тільки що поставив коня його партнер, відносно вертикальної (горизонтальної) осі симетрії дошки.

Частина ІІ. Задачі для самостійного розв’язування.

Задача 1. Двоє гравців по черзі кладуть п’ятикопійчані монети на прямокутний стіл. Монети повинні повністю вміщуватися на столі і не торкатися одна одної. Той, кому нікуди покласти монету, програє. Хто переможе при правильній грі – той, що ходить першим чи той, хто другим?

Задача 2. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється сполучити будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі – той, що ходить першим чи той, хто другим?

Задача 3. Двоє гравців по черзі ставлять коней на клітинки шахової дошки так, що коні не б’ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі – той, що ходить першим чи той, хто другим?

Задача 4. Двоє гравців грають в шашки на дошці 8 х 8. При цьому забороняється бити шашки суперника та перетворювати шашки в дамки. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі?

Задача 5. Ромашка має: а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну, або дві пелюстки, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі?

Задача 6. Двоє гравців по черзі ставлять хрестики і нулики в клітинки дошки 9 х 9. Перший гравець ставить хрестик, другий – нулик. Наприкінці гри треба підрахувати, скільки є рядків і стовпчиків, у яких хрестиків більше, ніж нуликів – це є очки, набрані першим гравцем. Кількість рядків і стовпців, де нуликів більше – очки другого гравця. Перемагає той, у кого більше очок. Хто переможе при правильній грі?

Задача 7. Вісім кружечків розфарбовано в чотири кольори: 2 червоних, 2 синіх, 2 білих і 2 чорних. Два гравці по черзі закріплюють кружечки до вершин куба. Перший виграє, якщо після закріплення всіх кружечків з деякої вершини куба можна провести ребро, до кінців якого закріплено кружечки одного кольору. Інакше виграє другий гравець хто виграє в цій грі?

Задача 8. Двоє гравців по черзі зафарбовують клітинки на клітчастій дошці розміром 200 х 5. Кожним ходом зафарбовуються декілька клітинок, що утворюють квадрат. Зафарбовувати клітинки двічі не дозволяється. Виграє той, хто зафарбовує останню клітинку. Довести, що гравець, який починає, завжди може виграти.

Задача 9. Двоє гравців ставлять королі у клітинки дошки 9 х 9 так, що королі не б’ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід.

Задача 10. Дано клітчасту дошку 10 х 10. За хід дозволяється покрити будь – які дві сусідні клітинки прямокутником 1 х 2 так, щоб прямокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід.

Задача 11. В кожній клітинці дошки 11 х 11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь – яку кількість шашок, що йдуть підряд, або з одного вертикального, або з одного горизонтального ряду. Виграє той, хто зняв останню шашку.

Задача 12. ( Районна олімпіада 1992 – 93 н.р.) Два гравці по черзі записують числа 1 і –1 в клітинки таблиці розмірами 1993 х 1993. Після того, як всі клітинки заповнені, для кожного рядка, кожного стовпчика і двох діагоналей таблиці підраховується добуток чисел, які там записані. Довести, що гравець, який робить хід першим, може грати так, щоб серед цих добутків було рівно 1996 від’ємних.

Задача 13. ( Районна олімпіада 1996 – 97 н.р.) Два гравці по черзі кладуть фішки на клітинки дошки 101 х 101. Перший може покласти чергову фішку на будь – яку вільну клітинку, для якої кількість фішок, які вже стоять в стовпці та рядку, що містять цю клітинку, парна. Другий може покласти чергову фішку на будь – яку вільну клітинку, для якої така кількість непарна. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє при правильній грі?

Задача 14. Є дошка 50 х 50. Двоє по черзі закреслюють вибрану клітинку, а також клітинки, які знаходяться над нею і справа від неї. Програє той, хто закреслить ліву нижню клітинку. Хто виграє при правильній грі: перший гравець чи його партнер?

Задача 15. (ХІХ Всесоюзна олімпіада 1985р.) Яка найбільша кількість дамок може бути поставлена на шашковій дошці (8 х 8 кліток) так, щоб кожна дамка була побита тільки однією іншою дамкою?

Задача 16. (Всеросійська олімпіада. Обласний етап 1990р.) Двоє грають в шашки на дошці 8 х 8. Правила гри відрізняються від правил звичайної гри в шашки тим, що не дозволяється “їсти” (збивати) шашки противника і перетворювати свої шашки в дамки. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той, що починає гру, чи його партнер? Як треба ходити, щоб виграти?

Задача 17. Клітинки шахової дошки заповнені числами так, що сума будь – яких чотирьох чисел, які стоять в клітинках, що розміщені “буквою Г” (хід шахового коня), одна й та сама. Скільки чисел використано при такому заповненні?

Задача 18. (Всеросійська олімпіада. Обласний етап 1990р.) Двоє по черзі ставлять на вільні клітинки шахової дошки слонів: один – слонів білого кольору, другий – слонів чорного кольору, роблячи це так, щоб виставлений слон не міг бути взятий жодним із вже поставлених противником слонів. (Слони кожного кольору можуть виставлятися як на білі, так і на чорні клітинки). Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той, хто починає гру, чи його партнер – і як треба ходити, щоб виграти?

Частина ІІІ. Вказівки та відповіді до задач.

Задача 1. Відповідь: виграє той, хто ходить першим. Йому треба першу монету покласти в центр стола, а потім класти монети симетрично ходам другого відносно центра стола.

Задача 2. Відповідь: виграє перший гравець. Перший хід – провести хорду, по обидва боки від якої розміщено по 9 точок. Виграшна стратегія – симетричні ходи.

Задача 3. Відповідь: виграє другий гравець. Виграшна стратегія – центральна або осьова симетрія.

Задача 4. Відповідь: виграє другий гравець. Йому треба робити ходи, симетричні ходам партнера, відносно центра дошки.

Задача 5. Відповідь: виграє другий гравець. Незалежно від першого ходу суперника він може залишити після свого ходу два однакові за довжиною ланцюжки пелюсток, після чого буде застосовувати симетричну стратегію.

Задача 6. Відповідь: виграє перший гравець. Перший хід він робить в центральну клітинку, а потім робить симетричні ходи – відповіді.

Задача 7. Відповідь: виграє другий гравець. Використати центральну симетрію куба.

Задача 8. Першому гравцю слід першим ходом зафарбувати квадрат розміром 4 х 4, симетричний відносно відрізка, що ділить дошку навпіл, як показано на малюнку. Який би квадрат не зафарбував партнер своїм ходом, перший гравець повинен зафарбувати квадрат, симетричний вказаному відносно прямої АВ.

А

4

4 В

Задача 9. Відповідь: виграє перший гравець. Перший хід – в центр дошки, а після цього – центральна симетрія.

Задача 10. Відповідь: виграє другий гравець. Центральна симетрія.

Задача 11. Відповідь: виграє перший гравець. Першим ходом він знімає центральну шашку, а потім грає центрально симетрично.

Задача 12. Вказівка. Шуканою стратегією є така: перший гравець ставить –1 в центральну клітинку. Якщо другий гравець записує в деяку клітинку певне число, то перший гравець записує протилежне число в клітинку, яка симетрична клітинці другого гравця відносно центральної клітинки.

Задача 13. Відповідь: виграє перший гравець. Він першим своїм ходом кладе фішку в центральну клітинку, а потім робить ходи симетрично відносно стовпця, який проходить через центральну клітинку, при умові, що другий гравець перед цим не поставив фішку у цей стовпець. У супротивному разі він (перший гравець) робить ходи симетрично відносно центральної клітинки.

Задача 14. Відповідь: виграє перший гравець. Першим своїм ходом він повинен закреслити квадрат 49 х 49, а потім ходити симетрично.

Задача 15. Зрозуміло, що жодна дамка не може розміщуватися на краю дошки. Крім того, в двох квадратах дошки, які

обведені на рисунку жирною лінією, всі 5 чорних кліток не можуть бути зайняті (центральна дамка не б’ється.)

Тому зайнятими можуть бути не більше 16 кліток.

В той же час 16 дамок з отриманням умов задачі можна розставити так, як показано рисунку.

Задача 16. Відповідь: виграє другий гравець. На кожний хід партнера він повинен відповісти ходом, після якого його шашка займає клітинку, симетричну відносно центра дошки тій клітинці, на яку тільки що поставив свою шашку його партнер.

а1

а2

а3

а4

а5

а6

а7

а8

а9

Задача 17. Відповідь: два числа.

Розглянемо частину (3 х 3) шахової дошки. З рівності (а4 + а5 + а6 )+ а3 = (а4 + а5 + а6 )+ а9 = а1 + (а4 + а5 + а6 )= а7 + + (а4 + а5 + а6 )слідує, що а1 = а3 = а7 = а9.

Із рівності а7 + а4 + а1 + а2 = а9 + а6 + а3 + а2 слідує, що а4 = а6.

а

в

а

в

а

в

а

в

а

Аналогічно встановлюємо, що а4 = а6 = а2 = а8 і а5 = а1. Звідси слідує, що будь – який квадрат 3 х 3 шахової дошки можна заповнити тільки одним способом.

Отже, при заповненні всієї шахової дошки вказаним способом можна використати не більше двох чисел.

Задача 18. Відповідь: виграє другий гравець. Вкажемо виграшну стратегію для другого гравця.

Виконуючи черговий хід, він повинен ставити свого слона на клітинку, симетричну відносно вертикальної осі симетрії дошки клітинці, на яку тільки що поставив слона його партнер. Потім слід показати, що описана стратегія може бути реалізована і що вона дійсно призводить до виграшу.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до олімпіад та конкурсів
  • Додано
    15.08.2018
  • Розділ
    Математика
  • Клас
    6 Клас, 7 Клас, 8 Клас, 9 Клас
  • Тип
    Інші методичні матеріали
  • Переглядів
    194
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    BG012848
  • Вподобань
    0
Курс:«Стратегії профілактики та вчасного реагування на прояви суїцидальної поведінки неповнолітніх»
Мельничук Вікторія Олексіївна
36 години
1400 грн
590 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти

«Методичний
тиждень 2.0»
Головний приз 500грн
Взяти участь