Шестикласники в гостях у числа 2019

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до олімпіад та конкурсів

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Василь Серветник

Шестикласники

в гостях

у числа

Тема 1. Дільники і кратні

1.1. Скільки різних натуральних дільників має число 2019?

Відповідь. 4 дільники (1, 3, 673, 2019).

1.2. Від числа 2019 відняли найменший з його дільників, який більший за 1. Із отриманої різниці також відняли найменший з її дільників, і т.д., поки не отримали 0. Скільки всього віднімань було виконано?

Розв’язання

Найменший дільник числа 2019, який більший за 1, дорівнює 3. Виконавши віднімання, отримуємо число 2016.

Найменший дільник числа 2016, який більший за 1, дорівнює 2. Виконавши віднімання, отримуємо число 2014.

Помічаємо, що різниця двох парних чисел є парним числом,тому далі весь час буде відніматись двійка, і 0 отримається після 2016:2=1008 віднімань. Отже, всього було 1009 віднімань.

Відповідь. 1009.

Тема 2. Ознаки подільності

2.1. Яке із запропонованих чисел кратне 3 ?

А: 20:1+9 Б: 2 + 0 - 1 + 9 В: (2 + 0) · (1 + 9) Г: 20 + 19 Д: 20 - 19

Відповідь. 20 + 19

2.2. Якою цифрою закінчується добуток 2011 · 2012 · … · 2018?

Відповідь. Цифрою 0, бо серед даних множників є такі, що закінчуються парною цифрою і п’ятіркою.

2.3. До числа 2019 і справа і зліва записати одну й ту саму цифру, щоб отримане шестицифрове число ділилося націло на 9.

Розв’язання

Треба дописати цифру 3, бо 3+2+0+1+9+3=18, а 189.

Відповідь. 3.

2.4. До числа 2019 зліва і справа дописати одну й ту саму цифру так, щоб отримати шестизначне число, яке ділиться на 3. Знайти всі такі цифри.

Розв’язання

Маємо а+2+0+1+9+а=2а+12, 2а+123.

Умову задовольняють значення а = 3; 6; 9. Отримаємо числа 320193, 620196 і 920199, які діляться на 3.

Відповідь. 3; 6; 9.

2.5. До числа 2019 і справа і зліва записати одну й ту саму цифру, щоб отримане шестицифрове число ділилося націло на 8.

Розв’язання

220192 : 8 = 27524.

Відповідь. Цифру 2.

2.6. До числа 2019 і справа і зліва записати одну й ту саму цифру, щоб отримане шестицифрове число ділилося націло на 7.

Розв’язання

220192:7=31456 або 920199:7=131457. Треба дописати цифру 2 або 9.

Відповідь. Цифру 2 або 9.

2.7. Яку цифру треба дописати справа до числа 2019, щоб отримане число ділилось на 9?

Розв’язання

На 9 діляться ті числа, сума цифр яких ділиться на 9. Оскільки 2+0+1+9=12, то наступна цифра повинна бути 6, бо 12+6=189.

Відповідь. 6.

2.8. Яку цифру треба дописати справа до числа 2019, щоб отримане число ділилось на 4?

Розв’язання

На 4 діляться ті числа, в яких двоцифрові числа, що записані двома останніми цифрами, діляться на 4. Оскільки 92 і 96 діляться на 4, то наступна цифра повинна бути 2 або 6.

Відповідь. 2 або 6.

2.9. Яку цифру треба дописати справа до числа 2019, щоб отримане число ділилось на 11?

Розв’язання

Оскільки 1836 ∙ 11 = 20196, то наступна цифра повинна бути 6.

Відповідь. 6.

2.10. Яку цифру треба дописати справа до числа 2019, щоб отримане число ділилось на 19?

Розв’язання

Оскільки 1063 ∙ 19 = 20197, то наступна цифра повинна бути 7.

Відповідь. 7.

2.11. До числа 2019 зліва і справа дописати по одній цифрі так, щоб отримати шестизначне число, яке ділиться на 45. Знайти всі такі шестизначні числа.

Розв’язання

Оскільки число ділиться на 5, то його остання цифра 0 або 5. Оскільки число ділиться на 9, то його сума цифр ділиться на 9. Цим умовам задовольняють числа 620190 і 120195.

Відповідь. 620190 і 120195.

2.12. До числа 2019 справа дописати три цифри так, щоб отримане семизначне число ділилося на 495. Знайти всі такі числа.

Розв’язання

495=5·9·11. Тому остання цифра повинна бути 0 або 5. Оскільки число ділиться на 9, то його сума цифр ділиться на 9. Далі використовуємо ознаку подільності на 11. Цим умовам задовольняють числа 2019105 і 2019600.

Відповідь. 2019105 і 2019600.

2.13. На дошці записані числа від 1 до 2019. Хлопчик підкреслив всі числа, які діляться на 2, потім – ті, що діляться на 3, і після того – ті, що діляться на 4. Скільки чисел хлопчик підкреслив тільки двічі?

А: 168 Б: 335 В: 504 Г: 1009 Д: 1010

Розв’язання

Якщо число ділиться на 4, то воно буде підкреслене два рази, оскільки ділиться і на 2, і на 4. З цього ряду треба викинути ті числа, які діляться на 3: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … , тобто кожне третє число.

Усіх чисел, кратних чотирьом від 1 до 2011 є 504, з них 168 ділиться і на 3. Тому залишилося 336 чисел. Далі треба порахувати кількість таких чисел, які діляться і на 2, і на 3, тобто на 6, але лише виду 6·(2k-1), де k – натуральне число: 6·1, 6·3, 6·5,…, 6·335.Таких чисел є 168. Разом 336+168=504.

Відповідь. 504.

2.14. Скільки існує натуральних чисел, які не перевищують 2019 і мають суму цифр, кратну 5?

Розв’язання

Серед чисел кожного десятка, який починається числом з останньою цифрою 0 і закінчується числом з останньою цифрою 9, є рівно два потрібних нам числа з сумою цифр, кратною 5:

14, 19, 23, 28, 32, 37, 41, 46, 50, 55, 64, 69, 73, 78, 82, 87, 91, 96, 104, 109, … .

Таких повних десятків набирається 202. Всього чисел набирається 1+202∙2=405.

Відповідь. 405.

2.15. Скільки є п’ятицифрових чисел, у яких всі п’ять цифр різні, таких, що діляться на 2019?

Розв’язання

30285:2019=15; 62589:2019=31; 72684:2019=36; 92874:2019=46.

Відповідь. 4 числа.

2.16. Скільки існує п’ятизначних чисел, які починаються з 2019 і діляться на 2, 3, 4, 5 і 6?

Відповідь. Одне число: 20190.

2.17. Скільки існує шестизначних чисел, які починаються з 2019 і діляться на 2, 3, 4, 5, 6, 8 та 9?

Відповідь. Одне число: 201960.

2.18. Скільки є чотирицифрових чисел, які діляться на 19 і дві середні цифри в них 20?

Розв’язання

- шукане число. Діляться на 19 числа 2204, 5206, 7201, 8208, бо 116·19=2204, 274·19=5206, 379·19=7201, 432·19=8208.

Відповідь. Чотири числа (2204, 5206, 7201, 8208).

2.19. Знайти всі натуральні числа виду , які діляться на 19. (Тут * позначає пропущену цифру).

Відповідь. 5 розв’язків (2109, 2204, 2508, 2603, 2907).

2.20. Знайти найменше шестицифрове число, яке ділиться на 2019 без остачі.

Розв’язання

Число 100000 (найменше шестицифрове число) при діленні на 2019 дає остачу 1069. Тоді число, яке на 950 більше за 100000, дає шукану відповідь. Перевіримо: 100950 : 2019 = 50.

Відповідь. 100950.

2.21. Знайти найменше шестицифрове число з різними цифрами, яке ділиться на 2019 без остачі.

Відповідь. 145368.

2.22. Знайти найбільше шестицифрове число з різними цифрами, яке ділиться на 2019 без остачі.

Відповідь. 981234.

2.23. Із чисел від 1 до 2019 викреслюють усі, які діляться на 2 і не діляться на 5, а також усі, які діляться на 5 і не діляться на 2. Скільки чисел залишилося?

Візьмемо перший десяток. У ньому викреслимо числа 2, 4, 5, 6, 8. Залишиться 5 чисел. І так у кожному десятку буде залишатися 5 чисел. Від 1 до 2019 маємо 201 десяток. Отже, залишиться 201 · 5 + 4 = 1009 чисел.

Відповідь: 1009 чисел.

2.24. Знайдіть остачу від ділення 2018 · 2019 · 2020 + 20192 на 7.

Розв’язання

При діленні на 7 число 2018 дає в остачі число 2; число 2019 – дає в остачі 3; число 2020 – дає в остачі 4. Тому даний вираз при діленні на 7 дасть таку саму остачу, як і 2·3·4+32=33, тобто 5.

Відповідь. 5.

2.25. Запишіть декілька разів підряд число 2019 так, щоб отримане число ділилося на 9. Відповідь обґрунтуйте.

Розв’язання

Сума цифр числа 2019 ділиться на 3, тому, якщо написати 2019 підряд 3 рази, то сума цифр отриманого числа буде ділитися на 3·3=9. Це означає, що й саме число буде ділитися на 9.

Відповідь. 201920192019.

2.26. На яке число треба поділити число 2019, щоб і частка, і остача були рівними?

Розв’язання

Якщо 2019 поділили на натуральне число N і отримали в частці і в остачі натуральне число k, то 2019=N·k+k=k(N+1), причому k< N. Звідси k – дільник числа 2019. Дільниками числа 2019 є числа 1, 3, 673 і 2019.

Далі маємо: 2019=1·2019=2018·1+1 і 2019=3·673=672·3+3. Отже, треба ділити на 672 або на2018.

Відповідь. 672; 2018.

2.27. Яких натуральних чисел більше: тих, які діляться на 8, але не діляться на 9, чи тих, які діляться на 9, але не діляться на 8?

Розв’язання

Чисел, які діляться на 8, більше, ніж чисел, які діляться на 9. Виключимо із цих наборів числа, які діляться і на 8, і на 9. В першому наборі залишиться більше чисел, ніж в другому.

Відповідь. Більше тих чисел, які діляться на 8.

2.28. Скільки всього є чотиризначних чисел, які діляться на 19 і закінчуються на 19?

Розв’язання

Нехай N= – таке число. Тоді N-19 також кратне 19.

Але N-19==. Оскільки числа 100 і 19 взаємно прості, то двозначне число ділиться на 19. А таких чисел всього пʼять: 19, 38, 57, 76 і 95.

Отже, умову задовольняють числа 1919, 3819, 5719, 7619 і 9519.

Відповідь. Пʼять чисел.

2.29. На дошці записують послідовність чисел: 1; 2; 4; 8; 16; 23; 28 і т.д. (кожне наступне число одержують із попереднього, збільшуючи на його суму цифр). Чи буде записаним на дошці число 201820192020?

Розв’язання

Помічаємо, що числа даної послідовності чисел при діленні на 3 дають остачу 1 або 2, тобто не діляться на 3. Число ж 201820192020 кратне трьом (2+0+1+8+2+0+1+9+2+0+2+0=27, 273). Отже, не буде записане.

Відповідь. Не буде.

2.30. На дошці записано число 20. Через кожну хвилину число витирають і записують на його місці добуток цифр числа, збільшений на 19. Яке число буде записане на дошці через 2019 хвилин?

Розв’язання

1 хв. маємо 2·0=0, 0+19=19, 2 хв. маємо 1·9=9, 9+19=28,

3 хв. маємо 2·8=16, 16+19=35, 4 хв. маємо 3·5=15, 15+19=34,

5 хв. маємо 3·4=12, 12+19=31, 6 хв. маємо 3·1=3, 3+19=22,

7 хв. маємо 2·2=4, 4+19=23, 8 хв. маємо 2·3=6, 6+19=25,

9 хв. маємо 2·5=10, 10+19=29, 10 хв. маємо 2·9=18, 18+19=37,

11 хв. маємо 3·7=21, 21+19=40, 12 хв. маємо 4·0=0, 0+19=19.

Цикл повторюється з періодом 11 хвилин. Оскільки число 2019 при діленні на 11 дає остачу 6, то через 2019 хвилин на дошці буде записане число 22.

Відповідь. 22.

2.31. Розглянемо число 1232123212321…, що складається із 2019 цифр. Укажіть останню цифру цього числа.

Розв’язання

Цифра 3 знаходиться на 4п+3 місцях, де пN.

2019:4=504(3 ост.). Отже, останньою цифрою даного числа є 3.

Відповідь. 3.

2.32. Підряд в стрічку виписали 2019 цифр. Відомо, що кожне двоцифрове число, що записане сусідніми цифрами (в тому порядку, в якому вони написані), ділиться на 17 або на 23. Відомо, що остання цифра 1. Якою є перша цифра?

Розв’язання

Випишемо двоцифрові числа, які кратні числам 17 і 23 окремо:

числа, кратні 17: 17; 34; 51; 68; 85;

числа, кратні 23: 23; 46; 69; 92.

Кроки

Утворені числа

Примітка

1

1

до періоду

2

51

3

851

4

6851

5

46851

6

346851

період

7

2346851

8

92346851

9

392346851

новий період

Помічаємо, що утворені числа, починаючи із шостого кроку, повторюються із періодом 923 (три цифри).

Тоді 2019-5=2014; 2014:3=671 (1 ост.).

Отже, першою цифрою 2019-цифрового числа є цифра 3.

Відповідь. 3.

Тема 3. Прості і складені числа

3.1. Чому дорівнює сума всіх різних простих множників числа 2019?

Розв’язання

2019=3·673. Тоді 3+673=676.

Відповідь. 676.

3.2. У скількох простих чисел, менших від 2019, сума цифр дорівнює 2?

А: 1 Б: 2 В: 3 Г: 4 Д: більше, ніж у чотирьох

Розв’язання

Випишемо всі числа, які менші від 2019, сума цифр яких дорівнює 2. Це 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, 1010, 1100, 2000. Зрозуміло, що ті серед них, у яких остання цифра рівна 0 є складеними, оскільки діляться принаймні на 2. Серед решти простими є числа 2, 11 і 101. (1001 = 7 · 143).

Відповідь. 3 числа.

3.3. У скількох простих чисел, менших від 2019, сума цифр дорівнює 3?

А: 1 Б: 2 В: 3 Г: 4 Д: більше, ніж у чотирьох

Відповідь. Одне число, це 3.

3.4. Скількома способами можна записати число 2019 у вигляді суми двох простих чисел?

А: 0 Б: 1 В: 2 Г: 3 Д: більше 3

Розв’язання

Сума двох чисел непарна тоді, коли один з доданків парне число, а інше – непарне. Оскільки існує тільки одне парне просте число 2, то 2019 = 2 + 2017. Тому є один спосіб.

Відповідь. 1.

3.5. Петрик перемножив перші 2019 простих чисел. Скількома нулями закінчується добуток?

А: 0 Б: 1 В: 10 Г: 20 Д: 100

Розв’язання

Один нуль дістаємо, коли 2 · 5. Більше нулів немає.

Відповідь. 1.

3.6. Записати всі можливі прості числа за допомогою цифр 2, 0, 1, 9 в заданому порядку та знаків арифметичних дій.

Розв’язання

2+0∙19=2; 2+0·1+9=11.

Відповідь. 2 і 11.

3.7. Перемножили всі натуральні числа від 1 до 2019 включно, а потім розклали отримане число на прості множники. Скільки буде двійок в цьому розкладі?

Розв’язання

Кожне друге число ділиться на 2, кожне четверте число ділиться на 4, кожне восьме – на 8 і т.д. Тому на 2 ділиться 1009 чисел, на 4 – 504 числа, на 8 – 252 числа, на 16 – 126 чисел, на 32 – 63 числа, на 64 – 31 число, на 128 – 15 чисел, на 256 – 7 чисел, на 512 – 3 числа і на 1024 – 1 число.

Тому в розкладі на прості множники двійок буде:

1009 + 504 +252 + 126 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2011 двійок.

Відповідь. 2011 двійок.

3.8. Скільки існує пар натуральних чисел, в яких найменше спільне кратне дорівнює 2019?

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) Нехай одне з чисел дорівнює 2019 (а = 2019). Тоді друге число може бути будь-яким дільником числа 2019. Оскільки 2019=3∙673, то b={1; 3; 673}. Є 2 пари таких чисел а і b.

2) Жодне з чисел а і b не дорівнює 2019. Тоді можлива пара (3; 673).

Отже, всього є 2+1=3 пари натуральних чисел, які задовольняють умові.

Відповідь. 3 пари.

3.9. Яку цифру треба дописати зліва до числа 2019, щоб отримане число було простим?

Розв’язання

Оскільки 42019 і 72019 – прості числа, то перша цифра повинна бути 4 або 7.

Відповідь. 4 або 7.

3.10. До числа 2019 справа і зліва дописати одну й ту саму цифру, щоб отримане число стало простим.

Відповідь. 720197.

3.11. Хто знайде більше способів записати число 2019 у вигляді суми трьох простих чисел?

Розв’язання

2019=2011+5+3; 2019=2003+13+3; 2019=2003+11+5; 2019=1999+17+3;

2019=1999+13+7; 2019=1993+23+3; 2019=1993+23+3; 2019=1993+19+7;

2019=1993+13+3 і т.д.

3.12. Доведіть, що 2019-цифрове число не є простим.

Доведення

Запишемо дане число так:

+=+

Оскільки це число ділиться на , то воно не є простим.

3.13. Число А є сумою трьох послідовних натуральних чисел. Число В також є сумою трьох послідовних натуральних чисел. Чи може добуток чисел А і В дорівнювати 2019?

Розв’язання

За умовою задачі А=(m-1)+m+(m+1)=3m, де m натуральне число, відмінне від 1. Аналогічно В=3n, де nN, n≠1.

Нехай А·В=2019, тоді 3 m·3 n=2019, 9 m n=2019, 3 m n=673. Остання рівність виконувати не може, бо 673 – просте число.

Відповідь. Не може.

3.14. На дошці в довільному порядку виписані числа від 1 до 2019. Два числа можна поміняти місцями, якщо одне з них ділиться на друге. Доведіть, що за декілька таких операцій числа можна розташувати в порядку зростання.

Доведення

Спочатку поставимо число k≠1 на k-те місце. Нехай на k-ому місці стоїть число п. Поміняємо спочатку п із 1, а потім поміняємо k з 1. Тоді k виявиться на своєму місці.

Послідовно ставлячи на свої місця числа 2019, 2018, … , ми поставимо всі числа в порядку зростання.

3.15. Є три попарно різних натуральних числа a, b, c. Доведіть, що числа

2019+a-b, 2019+b-c та 2019+c-a не можуть бути трьома послідовними натуральними числами.

Доведення

Якщо усі три числа додати та поділити на 3, то вийде їх середнє арифметичне, воно дорівнює з одного боку

А з іншого боку воно дорівнює середньому з цих трьох послідовних чисел.

Таким чином, одне з чисел дорівнює 2019. Наприклад, це a- b+2019=2019, тому a= b. а це суперечить тому, що усі 3 числа попарно різні.

Тема 4. Дроби

4.1. Обчисліть .

Відповідь. .

4.2. Значення виразу дорівнює…

А: 0,01 Б: 0,1 В: 1 Г: 10 Д: 100.

Розв’язання

Відповідь. 1.

4.3. Порівняти дроби: і .

Розв’язання

Дроби рівні, бо 191919 = 19 · 10101, 202020 = 20 · 10101 і

1919 = 19 · 101, 2020 = 20 · 101.

Відповідь. Рівні.

4.4. Розставити дужки і знаки арифметичних дій так, щоб отримати правильну рівність: .

Розв’язання

.

4.5. Знайти значення виразу

Розв’язання

Кожний із доданків подамо у вигляді різниці двох дробів із чисельниками 1, а знаменниками – послідовними натуральними числами:

Маємо

Відповідь.

4.6. Спростити вираз

Розв’язання

Маємо

Відповідь.

4.7. Виразити число 2019 тільки за допомогою числа 2018 та арифметичних дій.

Відповідь. .

4.8. Як розділити порівну 19 яблук між 20 друзями, якщо кожне яблуко можна розрізати не більше, ніж на 5 частин?

Розв’язання

10 яблук поділити пополам, 5 яблук поділити на 4 частини і 4 яблука поділити на 5 частин. Дістанемо яблука одержить кожний друг.

4.9. Чому дорівнює найменше ціле значення n, для якого справедлива нерівність ?

Розв’язання

; звідси n-5=4; n=9.

Відповідь. 9.

4.10. Число 1 ділимо «кутиком» на 22. Яка цифра стоїть в частці на 2019-му місці після коми?

Розв’язання

Маємо 1:22=0,04545… Бачимо, що на кожному парному місці після коми стоїть цифра 4, а на кожному непарному, починаючи з розряду тисячних, цифра 5. Отже, на 2019-му місці після коми стоїть цифра 5.

Відповідь. 5.

4.11. Число 2019 ділимо «кутиком» на 22. Яка цифра стоїть в частці на 2019-му місці після коми?

Розв’язання

Маємо 2019:22=91,77272727…=91,7(72). На першому місці після коми стоїть цифра 7, на другому (і на наступних парних місцях) стоїть цифра 7, на третьому (і на наступних непарних місцях) стоїть цифра 2.

Отже, на 2019-му місці після коми стоїть цифра 2.

Відповідь. 2.

4.12. Знайти суму 2019-ти цифр після коми у дробі .

Розв’язання

. Період має довжину 6 цифр, а їх сума дорівнює 4+2+8+5+7+1=27. З того, що 2019=6·336+3, маємо S2019=27·336+(4+2+8)=9072+14=9086.

Відповідь. 9086.

4.13. Правильний дріб та неправильний дріб посперечалися, котрий з них знаходиться ближче до одиниці. а) Розсудіть їх; б) Знайдіть хоч одну пару дробів указаного вигляду, один із яких у 2019 разів ближчий до одиниці, ніж інший.

Розв’язання

а) Оскільки m< n, то Отже, правильний дріб ближчий до одиниці, ніж неправильний дріб .

б) . Отже, шуканою є, наприклад, пара дробів та .

4.14. Довести, що:

Доведення

Позначимо Тоді маємо:

4.15. Обчисліть: (2019 двійок)

Розв’язання

Виконаємо дії: 1) 2-= 2) 1:; 3) 2-; 4) 1:.

Кожна наступна пара дій забирає одну двійку.

5) 2-; 6) 1:.

Отже, 2019-ту двійку завершить цикл, при якому утворюється дріб .

Відповідь. .

Тема 5. Відсотки

5.1. Чому дорівнює сума 25% від числа 2019 та 2019% від числа 25?

Розв’язання

25% від 2019=0,25·2019=504,75,

2019% від 25=20,19·25=504,75,

504,75+504,75=1009,5.

Відповідь.1009,5.

Тема 6. Цілі числа

6.1. Обчисліть: 2019:(2+0+1-9)+2·0·1·9.

Розв’язання

2019:(2+0+1-9)+2·0·1·9=2019·(-6)+0=-12114.

Відповідь. -12114.

6.2.Обчисліть значення виразу (1-2)-(3-4)-…-(2019-2020).

Розв’язання

(1-2)-(3-4)-…-(2019-2020)=-1-(-1)-…-(-1)=-1+

Відповідь. 1008.

6.3. Обчисліть значення виразу:

1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14-…-2019-2020.

Розв’язання

Кількість доданків ділиться на 4. Враховуємо, що а+(а+1)-(а+2)-(а+3)=-4. Отже, -4·505=-2020.

Відповідь. -2020.

6.4. Поясніть, чому при послідовному добавлянні до числа 2019 по (-2) не можна отримати число -2018.

Розв’язання

Якщо до непарного додатного числа додати число -2, одержимо непарне число. Число -2018 є парне.

6.5. На дошці було записано два числа 1 і -1. Василько продовжив записувати числа в цьому ряді за правилом: кожне наступне записане число дорівнює добутку двох попередніх. Чому дорівнює сума перших 2019-ти цих чисел?

Розв’язання

Продовжимо цей ряд чисел: 1; -1; -1; 1; -1; -1; 1; -1; -1; 1; … Ці числа можна розбити на групи по 3 числа , сума яких дорівнює -1. Оскільки 2019=673·3, то отримуємо результат: -673.

Відповідь. -673.

6.6. У записаному рядку 1*1*1*…*1 вміщено 2019 одиниць. Замість кожної * можна поставити знак плюс або мінус. Виконавши дії, отримаємо деяке число. Чому дорівнює сума усіх чисел, отриманих таким чином?

Розв’язання

всі плюси

1+1+1+…+1=2019

1 мінус

1-1+1+…+1=2017

2 мінуси

1-1-1+…+1=2015

3 мінуси

1-1-1-…+1=2013

2017 мінусів

1-1-1-…+1=-2015

2018 мінусів

1-1-1-…-1=-2017

Додамо всі отримані числа.

Дістанемо 2019+2017+2015+2013+…+1-1-…-2017=2019.

Відповідь. 2019.

Тема 7. Модуль числа

7.1. Для будь-яких чисел а, b і с знайти найменше значення виразу:

|2019-а|+|а-b|+|b-с|+|с-9102|.

Розв’язання

Використаємо геометричний зміст модуля. Тоді числа |2019-а|, |а-b|, |b-с|, |с-9102| - це відстань між даними числами на координатній прямій. Отже, найменше значення суми дорівнює 9102-2019=7083.

Відповідь. 7083.

Тема 8. Додатні і відʼємні числа

8.1. Яке найменше невід’ємне число можна отримати шляхом розстановки знаків «+» і «-» між числами 1; 2; 3; 4; …; 2016; 2017; 2018, 2019 ?

Розв’язання

Очевидно, що результат буде цілим числом, причому парним (1009 парних чисел і 1010 непарних).

Якщо в четвірці чисел п, п + 1, п + 2, п + 3 розставити знаки таким чином:

п – (п + 1) – (п + 2) + (п + 3), то в сумі вийде 0. Розставимо таким способом знаки в четвірках: (4; 5; 6; 7), (8; 9; 10; 11), …, (2016; 2017; 2018; 2019), а між четвірками поставимо знаки «+». Значення такої суми дорівнює 0. Залишається поставити знаки «+» і «-» між числами 1, 2 і 3. Маємо 1 + 2 – 3 = 0.

Отже, значення всього виразу дорівнює 0.

Відповідь. 0.

8.2. Задані 2019 чисел. Відомо, що сума будь-яких 19 з цих чисел – додатна. Чи обовʼязково сума усіх 2019 чисел також додатна?

Розв’язання

Виберемо 19 найменших серед заданих чисел. Тоді їх сума – додатна. Але тоді усі інші числа – додатні. Бо якщо якесь з них, наприклад, a≤0, а серед обраних 19 числах усі не перевищують а, то їх сума також недодатна. Таким чином одержали суперечність. Звідси висновок, сума найменших 19 чисел додатна, і усі числа також додатні. Тому сума усіх чисел – додатна.

8.3. В добутку трьох натуральних чисел кожний множник зменшили на 3. Чи міг добуток при цьому збільшитися рівно на 2019?

Розв’язання

Припустимо, що два співмножники дорівнюють 1, а третій – а. Їх добуток дорівнював а. Після зменшення добуток перетворився так (-2)2·(а-3)=4а-12. Тоді 4а-12=а+2019, звідки а=677.

Перевіримо це. Добуток початкових чисел: 1·1·677=677; добуток зменшених чисел: (-2)·(-2)·674=4·674=2696=677+2019.

Відповідь. Міг.

8.4. У виразі

Певним чином розставили дужки та порахували значення отриманого виразу. Яке найбільше значення могли отримати?

Розв’язання

При будь-якій розстановці дужок у підсумковому результаті перше число 2020 завжди буде із знаком +, а перше число 2019 – із знаком -. Таким чином сума буде найбільшою, якщо усі інші числа будуть із знаком +, а для цього достатньо розставити дужки так:

2020-(2019-2020-2019-2020-2019-…-2020-2019)=

=2020-2019+2020+2019+2020+2019+…+2020+2019=

=1+(2020+2019)·1009=4075352.

Відповідь. 4075352.

Тема 9. Рівняння

9.1. Знайдіть х із рівняння 5-(1-(2х-5))=2019.

Розв’язання

5-1+2х-5=2019; 2х=2020; х=1010.

Відповідь. 1010.

9.2. Онук запитав дідуся, скільки йому років. Дідусь відповів: «Якщо до половини моїх років додати 19, то дізнаєшся мій вік 20 років тому». Скільки років дідусеві?

Розв’язання

Нехай дідусеві зараз х років. Маємо рівняння: 0,5х + 19 = х – 20. Звідки х = 78.

Відповідь. 78 років.

9.3. Знайти всі корені рівняння: |х–2018| = 2019.

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) Якщо х-2018≥0,то рівняння матиме вигляд: х-2018=2019, звідки х=4037.

2) Якщо х-2018<0,то рівняння матиме вигляд: -(х-2018)=2019, звідки х=-1.

Відповідь. -1 і 4037.

9.4. Розвʼяжіть рівняння: |х| = + 2019.

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) Якщо х≥0,то рівняння матиме вигляд: х=+2019, звідки х=4038.

2) Якщо х<0,то рівняння матиме вигляд: -х=+2019, звідки х=-1346.

Відповідь. -1346 і 4038.

9.5. Розв’язати рівняння: =2019.

Розв’язання

Відповідь.

9.6. Знайти найменший цілий корінь рівняння: (|х|-2018)·(|х|+2019) = 0.

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) |х|-2018=0, звідки |х|=2018, х=-2018 або х=2018.

2) |х|+2019=0, звідки |х|=-2019. Рівняння коренів не має.

х=-2018 – найменший цілий корінь.

Відповідь. -2018.

9.7. Знайти найменший цілий корінь рівняння: (|х-1|-2018)·(|х|+2019) = 0.

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) |х-1|-2018=0, звідки |х-1|=2018, х=-2017 або х=2019.

2) |х|+2019=0, звідки |х|=-2019. Рівняння коренів не має.

х=-2017 – найменший цілий корінь.

Відповідь. -2017.

9.8. Знайти найменший цілий корінь рівняння: (|х|-2018)·(х+2018,2019) = 0.

Розв’язання

Розглянемо два випадки:

1) |х|-2018=0, звідки |х|=2018, х=-2018 або х=2018.

2) х+2018,2019=0, звідки х=-2018,2019. Рівняння цілих коренів не має.

х=-2018 – найменший цілий корінь.

Відповідь. -2018.

9.9. Розвʼяжіть рівняння: |2019-х|+|х-2019|=2018.

Розв’язання

Оскільки |2019-х|=|х-2019|, то 2·|х-2019|=2018, |х-2019|=1009, звідки х=1010 або х=3028.

Відповідь. 1010 і 3028.

9.10. Розвʼяжіть рівняння: .

Розв’язання

,

Оскільки то далі маємо, що

звідки х=2019.

Відповідь. 2019.

9.11. Знайти невідоме значення х, що задовольняє рівність: х*2020=2019*х, де через * позначено операцію, яка визначається рівністю а*b=а+b–2аb.

Розв’язання

х+2020–2∙2020х=2019+х–2∙2019х;

1 = 2х(2020–2019); х=0,5.

Відповідь. 0,5.

9.12. Скільки розв’язків у натуральних числах має рівняння х2 у – 1 = 2019? Знайти ці натуральні розв’язки.

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді х2 у = 2020 = 22 ∙ 505. Отже, рівняння має один натуральний розв’язок: х = 2, у = 505.

Відповідь. х = 2, у = 505.

9.13. Буратіно закопав на Полі Чудес золоту монету. Із неї виросло дерево, а на ньому – дві монети: срібна і золота. Срібну монету Буратіно заховав у кишеню, а золоту закопав, і знову виросло дерево… . Кожного разу на дереві виростали дві монети: або дві золоті, або золота і срібна, або дві срібні. Срібні монети Буратіно складав у кишеню, а золоті закопував. Коли закопувати стало нічого, в кишені у Буратіно було 2019 срібних монет. Скільки монет закопав Буратіно?

Розв’язання

Назвемо монету, з якої щось виросло – «батьківською», а монету, яка виросла із деякої монети – «дитячою». Помічаємо, що «дитячими» є всі монети, крім першої, а кожна золота монета (і тільки вона) є «батьківською». Оскільки в кожної «батьківської» монети є дві «дитячі», то «дитячих» монет в 2 рази більше, ніж «батьківських».

Нехай х – кількість золотих монет, а у – кількість срібних монет. Тоді всього монет було х + у, з яких «дитячими» є (х + у) – 1 монет, а «батьківськими» - х. Маємо рівняння: (х + у) – 1 =2 х, звідки х = у – 1, тобто золотих монет було менше від срібних на 1.

Отже, Буратіно закопав 2018 монет.

Відповідь. 2018.

9.14. При яких значеннях m рівняння mх-2018=2019 і 2019х= m-2018х мають спільний корінь?

Розв’язання

Розвʼяжемо рівняння відносно х. З першого рівняння отримуємо , а з другого . Тоді . Отже, m=4037 або m=-4037.

Відповідь. При m=4037 або m=-4037.

9.15. Розвʼяжіть рівняння .

Розв’язання

х-2019│=2-3.

Порівняємо числа 2 і 3: (2)2=8 і 32=9. Тому 2<3, тобто 2-3<0. Оскільки модуль не може дорівнювати відʼємному числу, то дане рівняння не має розвʼязків.

Відповідь. Рівняння не має розвʼязків.

9.16. Скільки розвʼязків має рівняння

Розв’язання

Оскільки │х-1│+1>0, то рівняння перепишеться так: ││х-1│-2│=. Отримане рівняння рівносильне сукупності │х-1│-2= або │х-1│-2=-. Звідки │х-1│=2+ або │х-1│=2-. Кожне з цих рівнянь має по 2 розвʼязки. Отже, маємо 4 розвʼязки.

Відповідь. 4 розвʼязки.

Тема 10. Задачі на властивості парності чисел

10.1. В деякому натуральному числі довільно переставлені цифри. Доведіть, що сума отриманого числа із початковим не дорівнює 99...9 (число містить 2019 девʼяток).

Доведення

Очевидно, що початкове число має 2019 цифр. Нехай а1, а2, …, а2019 – цифри початкового числа, b1, b2, … , b2019 – цифри отриманого числа. Припустимо, що а1+b1=9, а2+b2=9, … , а2019+b2019=9. Оскільки сума цифр початкового і отриманого чисел одна й та сама, то 2·(а1+ а2+…+а2019)=9·2019. Цього бути не може, бо в правій і лівій частинах рівності стоять числа різної парності.

10.2. Микола написав на дошці декілька цілих чисел. Оля записала під кожним Миколиним числом його квадрат, а Льоня додав всі написані на дошці числа і отримав 2019. Доведіть, що або Оля, або Льоня зробили помилку.

Доведення

Микола: а b

Оля : а2 b

Льоня: а+а2+ b+ b2=2019,

а(1+а)+ b(1+ b)=2019.

Відомо, що п(п+1) – парне число. В лівій частині є парне число, а в правій – непарне. Тому є помилка. Що й треба було довести.

10.3. Чи існують такі натуральні числа m і n, що m n(m- n)=2019?

Розв’язання

Не існують, бо добуток трьох множників – непарне число, то кожний із множників повинен бути непарним, але якщо m і n – непарні, то m- n – парне. Протиріччя.

10.4. Вася сказав, що знає розвʼязки рівняння ху88у=2019 в натуральних числах. Доведіть, шр Вася помилився.

Розв’язання

Складемо таблицю:

х

у

х8

у8

ху8

х8у

ху88у

парне

парне

парне

парне

парне

парне

парне

парне

непарне

парне

непарне

парне

парне

парне

непарне

парне

непарне

парне

парне

парне

парне

непарне

непарне

непарне

непарне

парне

парне

парне

Отже, при будь-яких х і у вираз ху88у є парне і тому не може дорівнювати 2019. Значить Вася помилився.

10.5. З однієї сторони дороги росли в ряд декілька дерев. Однієї весни між кожними сусідніми деревами посадили ще одному дереву. Наступної весни зробили так само, а ще через рік – знову так само. Чи може в результаті загальне число дерев дорівнювати 2019?

Розв’язання

Нехай дерев було п. тоді за перший рік було посаджено (п-1) дерев, тобто всього дерев стало п+п-1=2п-1. На другий рік посадили (2п-2) дерева. Дерев стало 2п-1+2п-2=4п-3. Через рік посадили (4п-4) дерева. Всього дерев стало 4п-3+4п-4=8п-7.

Маємо рівняння: 8п-7=2019, звідки п=251,5 (п – дробове число). Тому дерев не могло бути 2019.

Відповідь. Не може.

10.6. На дошці записано числа від 1 до 10. Дозволяється стерти будь-які два числа х і у, а замість них записати числа х-1 і у+3. Чи змогли через деякий час на дошці зʼявитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2019?

Розв’язання

Помічаємо, що після кожної такої операції сума чисел, що записані на дошці збільшується на 2. Спочатку вона дорівнювала 55. Тому після кожної операції сума чисел, що написані на дошці, залишатиметься непарною. Але сума чисел 1+2+3+4+5+6+7+8+9+2019=2064 є парною. Тому числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2019 отримати неможливо.

Відповідь. Не змогли.

10.7. Із записаних чисел 1, 2, …, 2019 дозволяється будь-які два числа «викинути», а замість них записати різницю їх. Внаслідок багаторазового повторення цієї операції залишається тільки одне число. Доведіть, що це число не може бути 0.

Доведення

Серед початкових чисел – непарних чисел є непарна кількість. При кожному перетворенні кількість непарних чисел або залишається незмінною, або зменшується на 2. Тому останнє число неодмінно непарне.

10.8. Дано числа 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022. Дозволено до будь-яких двох з них додати по одиниці. Чи можна за кілька кроків зрівняти ці числа?

Розв’язання

Додавання до числа одиниці змінює його парність. Додавання по 1 до двох чисел змінює парність двох чисел. Якщо це були два парні числа, то парних чисел стане на два менше, якщо два непарні, то парних стане на два більше. А якщо одне було парне, а інше непарне, то кількість парних чисел не зміниться. У кожному разі парність числа парних чисел не зміниться. Інакше кажучи, тут парність числа парних чисел – інваріант. Але якщо в шістці всі числа стануть однакові, парних серед них стане 0 або 6 – парне число.

Відповідь. Не можна.

10.9. По колу вписали 2019 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких парна.

Доведення

Сума двох чисел буде парною, якщо обидва числа парні або непарні. Сума двох чисел буде непарною, якщо одне з них буде парне, а інше – непарне. Нехай сума будь-яких двох сусідніх чисел непарна, тоді парні і непарні числа повинні чергуватися. Значить, загальне число чисел буде парним, а за умовою чисел є 2019 – число непарне. Отже, припущення зроблено неправильно і в дійсності знайдуться два числа, сума яких парна.

10.10. Чи можна записати по кругу 2019 натуральних чисел так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була непарною?

Розв’язання

Не можна. Якщо сума будь-яких двох сусідніх чисел непарна, то парні і непарні числа послідовно чергуються. Але оскільки всього чисел 2019 – непарне число, то перше і останнє числа обоє парні або обоє непарні, а вони стоять поруч.

10.11. 2019 осіб вишикувані в шеренгу. Чи завжди можна розставити їх за зростом, якщо дозволяється переставляти будь-яких двох осіб, які стоять тільки через одну?

Розв’язання

Не завжди. Якщо найнижча і найвища особи стоять на парних місцях, то жодна з них не буде першою, бо при вказаних перестановках парність зберігається.

10.12. Чи існують цілі числа х, у, z, які задовольняють рівність: (х+у)(у+z)(z+х)=2019?

Розв’язання

Якби такі три числа х, у та z існували, принаймні два з них мали би однакову парність. Припустимо, це пара чисел х та у. тоді сума х+у – парна, а отже парним мав би бути й добуток (х+у)(у+z)(z+х). число ж 2019, якому цей добуток повинен дорівнювати, - непарне. Одержана суперечність показує, що цілих чисел, які задовольняють умову, не існує.

Відповідь. Таких чисел не існує.

10.13. В пробірці є 2019 червоних амеб, 2020 синіх амеб і 2021 зелених амеб. Дві амеби різних кольорів можуть зливатися в одну амебу третього кольору. Після декількох зливань в пробірці залишилась одна амеба. Якого вона кольору?

Розв’язання

Сумарна кількість амеб двох будь-яких кольорів при будь-якому зливанні зберігає свою парність (або зникає амеба одного кольору і з’являється амеба іншого кольору, або амеби двох кольорів зникають). Тому ні червона, ні зелена амеба в пробірці залишитися не можуть (бо тоді сума Ч + З стала б непарною, а на початку вона була парною).

Отже, в пробірці залишиться синя амеба (суми Ч + С і С + З були непарними).

Відповідь. Синього.

Тема 11. Задачі на стратегію гри

11.1. Маємо 2019 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. Грають двоє. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців – перший чи другий, може забезпечити собі виграш?

Розв’язання

Перший гравець своїм першим ходом забирає 3 сірники і в коробці залишиться 2016 сірників. Оскільки 2016  6, то далі стратегія гри першого гравця така: якщо другий гравець забирає n сірників (1  n  5), то перший забирає 6-n сірників, тобто доповнює ходи другого гравця до шести сірників. Після цього загальна кількість сірників в коробці зменшиться на 6. Граючи в такий спосіб, перший гравець здобуде перемогу.

Відповідь. Виграє перший гравець.

11.2. Двоє гравців по черзі дістають з скриньки кульки. Програє той, хто забирає останню кульку. Хто може забезпечити собі перемогу, якщо спочатку в скриньці було 2019 кульок і за один хід можна виймати не менше однієї і не більше пʼяти кульок?

Розв’язання

Перший гравець своїм першим ходом забирає 2 кульки і в скриньці залишиться 2017 кульок. Оскільки 2017 при діленні на 6 дає остачу 1, то далі стратегія гри першого гравця така: за кожен наступний хід він повинен брати стільки кульок, щоб у сумі з кульками, які взяв другий гравець, було 6 кульок, а в кінці гри залишилася одна кулька, яка дістанеться другому гравцю. Граючи в такий спосіб, перший гравець здобуде перемогу.

Відповідь. Виграє перший гравець.

11.3. Двоє грають в таку гру: на столі лежить коробка сірників, і вони по черзі беруть звідти сірники. За один хід дозволяється взяти від одного до десяти сірників. Виграє той, хто забере останній сірник. Хто виграє: той хто починає гру чи його суперник, якщо в коробці 2019 сірників?

Розв’язання

Перший гравець своїм першим ходом забирає 6 сірників і в коробці залишиться 2013 сірників. Оскільки 2013  11, то далі стратегія гри першого гравця така: якщо другий гравець забирає n сірників (1  n  10), то перший забирає 11 - n сірників. Після цього загальна кількість сірників в коробці зменшиться на 11. Граючи в такий спосіб, перший гравець здобуде перемогу.

Відповідь. Виграє перший гравець.

11.4. На столі лежить 2019 сірників. Два хлопчики по черзі можуть взяти 1 або 2 сірники. Виграє той, хто візьме останнього сірника. Хто виграє при правильній грі і як він повинен грати?

Розв’язання

Помічаємо, що число 2019 ділиться на 3. Звідси маємо стратегію для другого гравця: кожним своїм ходом він бере стільки сірників, щоб в сумі із взятими першим гравцем становило 3. Граючи в такий спосіб, другий гравець здобуде перемогу.

Відповідь. Виграє другий гравець.

11.5. На дошці записано число 2019. Два гравці грають у таку гру. За один хід треба відняти від числа, що записане на дошці, будь-який його дільник та записати на дошці одержану різницю замість попереднього числа. Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число 0. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

Розв’язання

Помічаємо, що всі непарні числа мають тільки непарні дільники. Отже, якщо гравець ходить з непарного числа, то йому доведеться записати на дошці парне число. Звідси маємо стратегію для другого гравця: кожним своїм ходом віднімати від записаного числа 1. Тоді перший гравець завжди буде починати з непарного числа і записувати парне число. Оскільки числа на дошці постійно зменшуються, колись перший гравець буде змушений записати 0.

Відповідь. Виграє другий гравець.

11.6. На столі лежать 2019 монет. Двоє грають таку гру: ходять по черзі; за хід перший може взяти зі стола будь-яке непарне число монет від 1 до 99, другий – будь-яке парне число монет від 2 до 100. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання

Опишемо стратегію першого гравця. Першим ходом він повинен взяти зі столу 99 монет. Кожним наступним ходом, якщо другий гравець бере х монет, то перший гравець повинен взяти 101-х монет (він завжди це може зробити, бо якщо х – парне число від 2 до 100, то ()не число від 1 до 99). Оскільки 2019=101·19+99+1, то через 19 таких «відповідей» після ходу першого на столі залишиться 1 монета, і другий не зможе зробити хід, тобто програє.

Відповідь. Виграє перший гравець.

11.7. Є дві великі коробки, в одній 2018 цукерок, а в другій 2019. Грають двоє, ходять по черзі. За один хід кожний може зʼїсти будь-яку кількість цукерок, відмінну від нуля, з будь-якої коробки. Правила гри не допускають, щоб після деякого ходу число цукерок в одній із коробок ділилося на число цукерок в іншій. Програє той, хто не може зробити хід, не порушивши цієї умови. Хто зможе виграти: перший чи другий гравець?

Розв’язання

Для того, щоб виграти, перший гравець після кожного свого ходу повинен створювати ситуацію, коли в одній із коробок залишатиметься 2п цукерок, а в другій 2п+1 (п – натуральне число).

Діючи таким чином, перший гравець зведе гру до того, що в одній коробці залишиться дві цукерки, а в другій три. Після цього другий гравець програє, який би хід він не зробив.

Відповідь. Виграє перший гравець.

11.8. В трьох купках лежать предмети, по 2019 предметів у кожній. За хід дозволяється взяти довільне число предметів, але тільки з однієї купки. Програє гравець, який не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання

Виграшна стратегія для першого гравця: насамперед забрати всі предмети з однієї купки, тоді гра зводиться до гри «дві купки по 2019 предметів, в якій «перший» гравець грає другим».

В новій грі першому« гравцю досить «грати симетрично», повторюючи ходи першого, але тільки в другій купці. Тоді після ходів другого гравця кількість предметів у купках стає рівною.

Отже, ситуація, коли в обох купках не залишиться жодного предмета, настає після ходу другого, а, значить, він виграє.

Відповідь. Виграє «перший» гравець.

11.9. Малюк і Карлсон грають в таку гру: вони беруть шоколадку 2018х2019 і по черзі викушують із неї «по клітинках» шматочки (не обовʼязково із краю): Карлсон – 2х2, Малюк – 1х1. Якщо не залишилося жодного шматочка 2х2, то весь шоколад, що залишився, доїдає Малюк. Виграє той, хто більше зʼїсть. Починає гру Малюк. Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання

Нехай Малюк кожним своїм ходом зʼїдає одну із 1018081 позначених частинок. Оскільки кожним ходом Карлсон також зʼїдає рівно одну позначену частинку, то після 509040-го ходу Карлсона позначених частинок не залишиться, а значить не залишиться жодного квадрата 2х2, і наступні ходи буде робити тільки Малюк.

Відповідь. Виграє Малюк.

11.10. Гра починається із числа 10. Два гравці роблять ходи почергово. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яку цифру від 2 до 9 включно. Виграє той, хто першим запише число, більше за 2019. Хто з них має виграшну стратегію?

Розв’язання

На яку б цифру не помножив 10 перший гравець, він може отримати число від 20 до 90 включно. У кожному з цих випадків другий гравець матиме змогу записати число з відрізка [111;221]. Тоді число, записане на другому кроці першим гравцем, попаде на відрізок [222;1989]. Помноживши це число, наприклад, на 9, другий гравець переможе.

Відповідь. Виграє другий гравець.

Тема 12. Задачі на розфарбовування

12.1. Кожне ціле число на координатній прямій пофарбовано в один із двох кольорів – білий або чорний, причому числа 2018 і 2019 пофарбовані різними кольорами. Чи обовʼязково можна знайти три однаково пофарбовані цілі числа, сума яких дорівнює нулю?

Розв’язання

Припустимо, що таких цілих чисел немає. Нехай, для визначеності, число 2018 пофарбовано в чорний колір, а число 2019 – в білий. Розглянемо два випадки:

1) Число 0 пофарбовано в білий колір. Оскільки числа 0 і 2019 – білі, то число -2019 пофарбовано в чорний колір. Із того, що числа -2019 і 2018 – чорні і -2019+2018+1=0 слідує, що число 1 – біле. Аналогічно, оскільки числа 0 і 1 – білі, то число -1 повинно бути чорним.

Далі, числа -1 і 2018 – чорні, значить, число -2017 – біле, тоді число 2017 – чорне. Числа -2017 і 2019 – білі, 2019+(-2017)+(-2)=0, тому число -2 – чорне, тоді число 2 – біле.

Таким чином, числа 1 і 2 пофарбовані в білий колір. Нехай число п – найменше натуральне число, яке пофарбовано в чорний колір, тоді число –п пофарбовано в білий колір. Оскільки 1+(п-1)+(-п)=0, п>2 і ці три числа – білі, то отримали протиріччя.

2) Число 0 пофарбовано в чорний колір. Оскільки числа 0 і 2018 – чорні, то число -2018 пофарбовано в білий колір. Із того, що числа -2018 і 2019 – білі і -2018+2019+(-1)=0 слідує, що число -1 – чорне. Аналогічно, оскільки числа 0 і -1 – чорні, то число 1 повинно бути білим. Далі, числа 1 і -2018 – білі, значить, число 2017 – чорне, тоді число -2017 – біле. Числа -2017 і 2019 – білі, (-2019)+2017+(-2)=0, тому число -2 – чорне.

Таким чином, числа -1 і 2 пофарбовані в чорний колір. Нехай число -m – найбільше ціле відʼємне число, яке пофарбовано в білий колір, тоді число m пофарбовано в чорний колір. Оскільки -1+(-m+1)+m=0, -m>2 і ці три числа – чорні, то отримали протиріччя.

Відповідь. Обовʼязково.

12.2. Чи можна пофарбувати клітчастий квадрат2019х2019 у два кольори – чорний і білий (кожна одинична клітка фарбується одним із цих кольорів) – таким чином, щоб кожна чорна клітка мала двох білих сусідів, а кожна біла клітка – двох чорних сусідів (сусідами вважаємо клітинки, які мають спільну сторону)?

Розв’язання

Припустимо, що таке заповнення можливе, і порахуємо кількість одиничних відрізків, які служать спільною межею сусідніх чорної і білої кліток. З однієї сторони, кожний такий відрізок прилягає рівно до однієї білої клітки, і за умовою до кожної білої клітки прилягає рівно два таких відрізки. Отже, кількість розглядуваних відрізків дорівнює подвоєній кількості білих кліток.

Аналогічно кількість розглядуваних відрізків дорівнює подвоєній кількості чорних кліток. Але тоді білих і чорних кліток повинно бути порівну, що неможливо, бо їх загальна кількість 20192 – непарне число.

Відповідь. Не можна.

12.3. Куб розрізали на 2019х2019х2019 маленьких кубиків. Спочатку в кожному маленькому кубику сидів жук. Потім кожний жук переповз у сусідній кубик (сусідніми вважаються кубики, які мають спільну грань). Чи можливо, щоб після цього в кожному маленькому кубику знову сидів один жук?

Розв’язання

Розфарбуємо кубики у шаховому порядку у два кольори – білий і чорний. Оскільки кубиків всього непарна кількість, то жуки, які сидять в кубиках одного кольору, повинні переповзти в кубики іншого кольору. Але число таких кубиків завідомо має іншу парність.

Відповідь. Це неможливо.

12.4. Кожна клітка таблиці 2019х2019 зафарбована в один із двох кольорів. За один хід дозволяється всі клітки будь-якої стрічки (або стовпчика) перефарбувати в той колір, який частіше зустрічається в цій стрічці (стовпчику). Чи можна перефарбувати всю таблицю в один колір?

Розв’язання

Спочатку перефарбуємо таблицю в смугу: кожну стрічку в той колір, який в ній частіше зустрічається. Потім також перефарбуємо стовпчики.

Відповідь. Можна.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
3
міс.
2
4
дн.
0
4
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!