Семикласники в гостях у числа 2019

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до олімпіад та конкурсів

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Василь Серветник

Семикласники

в гостях

у числа

Тема 1. Цілі вирази

1.1. Якою цифрою закінчується значення виразу: 2019·2019-2018·2018?

Відповідь. 7.

1.2. Знайдіть останню цифру значення виразу 1·2·3·…·2018-1·3·5·…·2019.

Розв’язання

Вираз 1·2·3·…·2018 містить число 10 як множник. А тому значення цього виразу закінчується цифрою 0. Вираз 1·3·5·…·2019 містить число 5 своїм множником. Тому значення цього виразу закінчується цифрою 5. Отже, даний в умові вираз закінчується цифрою 5.

Відповідь. 5.

1.3. Доведіть, що число 1·2·3·…·1009+1010·1011·1012·…·2018 ділиться на 2019.

Доведення

1·2·3·…·1009+1010·1011·1012·…·2018=

=1009!+(2019-1009)(2019-1008)(2019-1007)·…·(2019-1)=

=1009!+2019·п-1009!=2019п, де п – деяке ціле число.

1.4. Знайдіть значення виразу:

1!·3 – 2!·4+3!·5–4!·6+…-2018!·2020+2019!.

Розв’язання

Маємо n! (n + 2) = n! (n+1+1) = (n +1)! + n!.

1!·3 – 2!·4+3!·5–4!·6+…-2018!·2020+2019!=

=2!+1!-3!-2!+4!+3!-5!-4!+…-2019!-2018!+2019!=1.

Відповідь. 1.

1.5. Чи може сума попарних добутків трьох послідовних натуральних чисел дорівнювати 201820192020?

Розв’язання

Сума попарних добутків трьох послідовних натуральних чисел (п-1), п і (п+1) має вигляд: п(п-1)+п(п+1)+(п-1)(п+1)=п2-п+п2+п+п2-1=3п2-1, тобто не ділиться на 3.

Число ж 201820192020 ділиться на 3, бо

2+0+1+8+2+0+1+9+2+0+2+0=27 27 ділиться на 3.

Відповідь. Не може.

1.6. Чи існують 20 послідовних натуральних чисел, сума яких ділиться на 19?

Розв’язання

Нехай такі числа існують: п, п+1, п+2, …, п+19 і їх сума дорівнює 19k (п і k – натуральні числа).

Маємо рівняння: п+ п+1+п+2+…п+19=19k, (2п+19)·10=19k.

При k=30 маємо 2п+19=57, звідки п=19. Тому вже є розвʼязок: 19+20+21+…+38=570, а 570 ділиться на 19.

Відповідь. Існують.

1.7. Нехай n – натуральне число. Десятковий запис числа 5n складається із 2019 пʼятірок і 2019 шісток. Знайдіть суму цифр числа n.

Розв’язання

Очевидно, що число n має таку саму суму цифр, як і число 2·5п. при звичайному множенні на 2 в «стовпчик», помічаємо, що кожна «5» дає «0», а кожна «6» дає «2». Крім того, до кожного розряду, із попереднього, додається по 1. Тому сума всіх цифр числа 10п дорівнює

0·2019+2·2019+4038=8024.

Відповідь. 8024.

Тема 2. Степінь з натуральним показником

2.1. Обчисліть: (201)9.

Розв’язання

(201)9=29·109=5120…0 (девʼять нулів).

Відповідь. 5120…0 (девʼять нулів).

2.2. Обчисліть: 37-34 -34-3-3.

Розв’язання

37-34-34-3-3=2187-81-81-3-3=2019.

Відповідь. 2019.

2.3. Знайдіть цілі значення k, m, n, p, де k>m>n> p, що задовольняють рівність

2k-2m+2n+2p=2019.

Розв’язання

Оскільки 210=1024, 211=2048 і k – найбільше із наведених цілих чисел, то k=11. Очевидно, що р=0, бо 2019 – непарне число. Далі методом перебору знаходимо m=5 і n=1.

Перевірка: 2k-2m+2n+2p=2048-32+2+1=2019

Відповідь. k=11, m=5, n=1, р=0.

2.4. Обчисліть: 22019-22018-22017-…-22-2-1.

Розв’язання

22019-22018-22017-…-22-2-1=22018(2-1)-22017-…-22-2-1=22017(2-1)-22016-…-22-2-1=

=…=22(2-1)-2-1=2(2-1)-1=1.

Відповідь. 1.

2.5. Яке із пʼяти запропонованих у відповідях чисел не є дільником числа

192018+192020?

А: 2 Б: 19 В: 28 Г: 38 Д: 181.

Розв’язання

192018+192020=192018·(1+192)=192018·(1+361)=192018·362.

Відповідь. 28.

2.6. Знайти знаменник дробу після його скорочення.

Розв’язання

Оскільки в чисельник входять множники 20; 40 = 20 ∙ 2; 60 = 20 ∙ 3; 80 = 20 ∙ 4; … ; 2000 = 20 ∙ 100, то чисельник ділиться на 2019. Тому після скорочення дробу вийде ціле число.

Відповідь. 1.

2.7. Знайти дві останні цифри суми 20! + 19!.

Відповідь. …00.

2.8. Якою цифрою закінчується число 220 + 219 ?

А: 0 Б: 2 В: 4 Г: 6 Д: 8

Відповідь. Цифрою 0.

2.9. Знайдіть останню цифру числа 1920+2019.

Розв’язання.

Остання цифра числа 1920 є одиниця, а остання цифра числа 2019 є нуль. Тому останньою цифрою числа 1920+2019 є 1.

Відповідь. 1.

2.10. Знайдіть останню цифру числа 2020!+1919!.

Розв’язання.

Оскільки 20 в будь-якому степені закінчується цифрою 0, а 19 в парному степені (19! є парним числом) закінчується цифрою 1, то число 2020!+1919! закінчується цифрою 1.

Відповідь. 1.

2.11. Знайдіть останню цифру числа 20192020.

Відповідь. 1.

2.12. Знайдіть останню цифру числа 2019·22019.

Розв’язання

Оскільки 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32 і т.д., то остання цифра виразу 2п повторюється з періодом 4. Далі 2019:4=504 (ост.3), тому останньою цифрою виразу 22019 є 8. Далі маємо 9·8=72. Отже, остання цифра є 2.

Відповідь. 2.

2.13. Знайдіть останню цифру числа 20192019.

Розв’язання

Спочатку зауважимо, що остання цифра числа 20192019 співпадає з останньою цифрою числа 92019. Випишемо останні цифри декількох початкових степенів числа 9: 9; 1; 9; 1; …

Оскільки при знаходженні останньої цифри чергового степеня числа 9 досить помножити на 9 лише останню цифру попереднього степеня, то зрозуміло, що за девʼяткою слідує одиниця, а за одиницею – девʼятка.

Отже, непарні степені девʼятки закінчуються на 9. Тому остання цифра числа 20192019 – девʼятка.

Відповідь. 9.

2.14. Знайдіть останню цифру числа .

Розв’язання

Число 9 в непарному степені дає число, яке закінчується цифрою 9, а в парному степені дає число, яке закінчується цифрою 1. Отже, останньою цифрою даного числа є цифра 1.

Відповідь. 1.

2.15. Чи є число точним квадратом?

Розв’язання

Оскільки 20182017 є парним числом, то дане число є точним квадратом.

Відповідь. Так.

2.16. Знайдіть останню цифра числа 52019 ∙ (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2019).

Розв’язання

Останньою цифрою числа 52019 є цифра 5. Тому шукана остання цифра добутку залежить від парності числа (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2019), а ця парність залежить від кількості непарних доданків у цій сумі. В останній сумі не порівну парних і непарних доданків, тому непарних серед них рівно 1010. Таким чином ця сума є парним числом. Звідси випливає, що добуток числа, що закінчується на цифру 5 та парного числа має останню цифру 0.

Відповідь. 0.

2.17. Знайдіть останню цифру в десятковому записі числа S=20192018+20192019.

Розв’язання

Оскільки 20192018 і 20192019 закінчуються відповідно цифрами 1 і 9, то їх сума закінчується цифрою 0.

Відповідь. 0.

2.18. Знайдіть передостанню цифру в десятковому записі числа S=20192018+20192019.

Розв’язання

Оскільки 20192018+20192019=20192018(1+2019)=20192018·2020=

=20192018·2000+20192018·20=20192018·2000+20192018·2·10, то передостання цифра числа S збігається з останньою цифрою числа 20192018·2.

Остання цифра числа 20192018·збігається з останньою цифрою числа 92018 . Оскільки 92018 закінчується цифрою 1, то 20192018·2 закінчується цифрою 2.

Відповідь. 2.

2.19. Визначити дві останні цифри числа 22019.

Розв’язання

Знайдемо послідовність остач від ділення на 100 чисел виду 2п . Вона має вигляд:

2;4;8;16; 32; 64; 28; 56; 12; 24; 48; 96; 92; 84; 68; 36; 72; 44; 88; 76; 52; 04;… .

Бачимо, що, починаючи з другої остачі 4 для п=22, остачі від ділення повторюються з періодом 20.

Оскільки 2019 при діленні на 20 дає остачу 19, то останні дві цифри числа 22019 такі ж, як дві останні цифри числа 219, тобто 8 і 8.

Відповідь. 8 і 8.

2.20. Число записане у вигляді скінченного десяткового дробу. Яка цифра у нього стоїть на четвертому з кінця місці?

Розв’язання

Оскільки то досить знайти четверту від кінця цифру числа 2019·52019. Виконаємо послідовно декілька множень числа 2019 на 5:

1) 2019·5=10095, 2) …0095·5=…0475, 3) …475·5=…2375,

4) …375·5=…1875, 5) …1875·5=…9375, 6) …9375·5=…6875,

7) …6875·5=…4375, 8) …4375·5=…1875.

Як бачимо, далі будуть повторюватись останні цифри 1875, 9375, 6895, 4375 і т.д. Період повторення дорівнює 4. Далі маємо: 2019-3=2016, 2016:4=504.

Отже, результат 2019-го множення буде закінчуватися на 4375. Четвертою цифрою з кінця є 4.

Відповідь. 4.

2.21. Чи ділиться число 72019 – 2019 на 5 ?

Розв’язання

72019 = 72016 · 73 = 74 · 504 · 343 = (2401)504 · 343.

2401п – закінчується цифрою 1. Відповідно число 2401504 · 343 закінчується на 3. Тому 72019 – 2019 закінчується цифрою 4, а отже, не ділиться на 5 ?

Відповідь. Не ділиться.

2.22. Чи ділиться вираз 192019 – 2019 на 5?

Розв’язання

192019 закінчується цифрою 9. Тому 192019 – 2019 закінчується цифрою 0, а, отже, ділиться на 5.

Відповідь. Ділиться.

2.23. Чи ділиться число 102018+2019 націло на 9?

Розв’язання

Сума цифр даного числа 1+2+1+9=13, а тому число не ділиться на 9.

Відповідь. Не ділиться.

2.24. Чи ділиться число 102019+8 націло на 9?

Розв’язання

102019+8=100…08 (2018 нулів).

Сума цифр даного числа ділиться на 9, а тому й саме число ділиться на 9.

Відповідь. Ділиться.

2.25. Чи ділиться сума 2+22+23+…+22019 на 3?

Розв’язання

Згрупуємо доданки даної суми по два. Отримаємо: (2+22)+(23+24)+…+(22017+22018)+22019=2(1+2)+23(1+2)+…+22017(1+2)+22019=

=3·(21+23+…+22017)+22019.Тепер очевидно, що дана сума не ділиться на 3.

Відповідь. Не ділиться.

2.26. Чи ділиться 192019+192020+192021 на 57?

Розв’язання

Перетворимо дану суму: 192019+192020+192021=192019(1+19+192)=

=(20+361)·192019=381·192019. Оскільки 381:3=127 і 19·3=57. Значить, дана сума ділиться на 57.

Відповідь. Ділиться.

2.27. Чи буде сума чисел 1+2+3+…+2017+2018+2019 ділитися на 2019?

Розв’язання

Подамо дану суму у вигляді таких доданків:

(1+2018)+(2+2017)+…+(1009+1010)+2019.

Оскільки кожний із доданків ділиться на 2019, то й вся сума буде ділитися на 2019.

Відповідь. Буде.

2.28. Куб натурального числа N ділиться на 2019. Чи слідує звідси, що й саме число N ділиться на 2019?

Розв’язання

2019=3·673. Числа 3 і 673 прості. Оскільки N3 ділиться на 3, то N ділиться на 3. Аналогічно з того, що N3 ділиться на 673, то й число N також ділиться на 673. Отже, N ділиться на 2019.

Відповідь. Так, слідує.

2.29. Доведіть, що 19+192+193+194+…+192019+192020 ділиться націло на 20.

Доведення

19+192+193+194+…+192019+192020=19(1+19)+193(1+19)+…+192019(1+19)=

=20(19+193+…+192019).

Оскільки в отриманому добутку множником є число 20, то даний вираз ділиться на 20.

2.30. Доведіть, що число 11…1, записане 2019-ма одиницями, ділиться на 37.

Доведення

Число, яке складається із 2019-ти одиниць можна записати так:

111·102016+111·102013+…+111·103+111=111·(102016+102013+…+103+1).

Оскільки 111 кратне 37, то й число кратне 37.

2.31. Довести, що число 92019 + 1 не ділиться на 100.

Доведення

Доведемо, що друга цифра числа 92019 + 1 не нуль, тобто, що число 92019 не закінчується цифрами 99.

Відомо, що останні дві цифри добутку визначаються останніми двома цифрами множників. Випишемо останні дві цифри перших одинадцяти степенів дев’ятки:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

09

81

29

61

49

41

69

21

89

01

09

Оскільки 911 закінчується тими самими цифрами, що й 91, то надалі піднесення дев’ятки до степеня ця послідовність буде періодично повторюватися з періодом 10. Отже, останні дві цифри числа 92019 такі самі, як і в числа 99, тобто 89, а число 92019 + 1 закінчується на 90, тобто одним нулем.

2.32. Довести, що число 201919 + 19 не є квадратом іншого натурального числа.

Доведення

Оскільки 201919 закінчується тими самими цифрами, що й 99, то 201919=…89. Число 201919 + 19 закінчуватиметься цифрою 8. Але квадрат жодного натурального числа не може закінчуватися цифрою 8. Отже, число 201919 + 19 не є квадратом іншого натурального числа.

2.33. Довести, що число 20192019+1 – складене.

Розв’язання

Число 20192019 закінчується цифрою 9, тому число 20192019 + 1 закінчується цифрою 0, тобто воно складене.

2.34. Довести, що число (22019–1)(22019+1) кратне 3.

Доведення

Із трьох послідовних натуральних чисел 22019 – 1, 22019 , 22019 + 1 одне обов’язково кратне 3. 22019 не ділиться на 3. Отже, одне із двох чисел 22019 – 1 або 22019 + 1 ділиться на 3, а значить, і їх добуток ділиться на 3.

2.35. Знайти остачу від ділення 92019 на 8.

Розв’язання

При діленні числа 9 на 8 маємо в остачі 1. Але 12019 = 1. Тому остача від ділення 92019 на 8 дорівнює 1.

Відповідь. 1.

2.36. Чи може число виду 2019п містити порівну цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Розв’язання

Якщо запис числа містить порівну всіх цифр від 1 до 9, то воно ділиться на суму цих цифр, тобто на 45. Але число 2019, а отже, й число 2019п не ділиться на 5, і тому відповідь на питання – негативна.

Відповідь. Не може.

2.37. Знайдіть найбільший дільник числа 32019+6, який менший від цього числа.

Розв’язання

Помічаємо, що число дорівнює добутку свого найменшого дільника (відмінного від одиниці) на найбільший. Найменшим дільником числа 2019 є число 3, тому 32019+6=3·(32018+2). Отже, найбільший дільник 32018+2.

Відповідь. 32018+2.

2.38. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел a=22018-1 та b=22019+1.

Розв’язання

Спільний дільник даних чисел буде також дільником числа b-2 a=3. Аналізуючи остачі від ділення степенів двійки на 3 (2 в парному степені дає остачу 1, а в непарному – остачу 2), переконуємося, що кожне із заданих чисел на 3 ділиться. Тому НСД(a, b)=3.

Відповідь. 3.

2.39. Яка найбільша кількість натуральних чисел, що не перевищують 2019, можна позначити так, щоб добуток будь-яких двох позначених чисел була б точним квадратом?

Розв’язання

Знайдемо кількість натуральних чисел, квадрати яких не більші, ніж 2019. Таких чисел є 44, бо 442=1936<2019, а 452=2025>2019. Оскільки добуток двох точних квадратів є точним квадратом, то числа 1=12, 4=22, … , 1936=442 можуть бути позначеними.

Відповідь. 44.

2.40. Таня перемножила 20 двійок, а Ваня перемножив 19 пʼятірок. Тепер вони намагаються перемножити свої величезні числа. Якою буде сума цифр добутку?

Розв’язання

Всього перемножується 20 двійок і 19 пʼятірок. Переставимо множники, чергуючи двійки і пʼятірки. Вийде 19 пар 2·5 і ще одна двійка. Отже, число 2 треба 19 разів перемножити на 10. Вийде число, яке складається із цифри 2 і 19 нулів: 220·519=2·219·519=2·(2·5)19=2000…0 (19 нулів). Сума цифр дорівнює 2.

Відповідь. 2.

2.41. Число 5 піднесли до степеня 2019. Як ви думаєте, в отриманому числі більше, ніж 2019 цифр чи менше?

Розв’язання

Оцінимо кількість цифр числа 52019 так:

52019=5504·4+3=(54)504 ·53=625504 ·125<1000504 ·125=125 ·(103)504=125 ·101512.

Отримане число містить 1515 цифр. Отже, в десятковому записі числа 52019 менше, ніж 2019 цифр.

Відповідь. Менше.

2.42. Знайдіть суму цифр десяткового запису числа .

Розв’язання

Зробимо такі перетворення:

Отже, шукана сума цифр дорівнює 1+2+5+9·2017+8+7+4=27+9·2017=

=9·(3+2017)=9·2020=18180.

Відповідь. 18180.

2.43. В рівності 2019 + 210 = 210 + 1205 пересунути дві цифри так, щоб вийшла правильна рівність.

Розв’язання

Легко перевірити справедливість рівності 2019 + 210 = 210 + 1205.

2229 = 1024 + 1205.

Відповідь. 2019 + 210 = 210 + 1205.

2.44. Знайдіть таке натуральне число k, що 2020! ділиться на 2019k, але не ділиться на 2020k.

Розв’язання

Розкладемо число 2019 на прості множники: 2019=3·673. В розкладі на прості множники числа 2019! Показник степеня у числа 3 буде досить великим, бо множник 3 входить у розклад кожного третього числа. Множник 673 входить тільки в розклад чисел виду 673p, де p – натуральне число, яке не перевищує 3. Отже, в розклад числа 2019! на прості множники число 673 ввійде із показником 3. Тому число 2020! буде ділитися на 2019k, де k=3.

2.45. Знайдіть всі такі числа х, при яких числа х2018 і х2019 – різні, і найбільше з них менше за 1.

Розв’язання

Числа х2018 і х2019 однакові при х=0 або х=1. При х>1 маємо 1<х20182019. При 0<х<1 маємо х20192018<1. При х<0 маємо х2019<0 і х2018>0, тому х20182019.

Щоб виконувалась умова, що більше з цих чисел менше за одиницю, потрібно щоб -1<х<0. Отже, умова виконується, коли хє(-1;0)(0;1).

Відповідь. хє(-1;0)(0;1).

2.46. Знайдіть усі пари натуральних чисел m і n, для яких виконується рівність:

2019n-2018n=m2019.

Відповідь. m=n=1.

2.47. Знайдіть остачу від ділення числа 2019 на деяке одноцифрове число, якщо остача від ділення числа 1001 на це число дорівнює 5.

Розв’язання

Нехай дільником числа 1001 є число р (5<р≤9), при діленні на яке 1001 дає в остачі 5. Тоді 1001-5=996р, 996=22·3·83р=6, а 2019:6=336(остача 3).

Відповідь. 3.

Тема 3. Многочлени

3.1. Знайдіть суму коефіцієнтів многочлена, який одержимо, якщо у виразі

(1+х-3х2)2019 розкриємо дужки і зведемо подібні доданки.

Розв’язання

Маємо . Сума коефіцієнтів такого многочлена дорівнює значенню цього многочлена при х=1.

Підставимо х=1 у вираз (1+х-3х2)2019. Маємо Р(1)= (1+1-3·12)2019=-1.

Відповідь. -1.

3.2. Обчисліть суму коефіцієнтів того многочлена, який утвориться після піднесення до степеня: (8х2-5х-2)2019.

Розв’язання

Підставимо х=1 у вираз (8х2-5х-2)2019. Маємо Р(1)= (8-5-2)2019=12019=1.

Відповідь. 1.

3.3. Чи існує таке х, що х3-3х2+2х+2019=0?

Розв’язання

х3-3х2+2х=-2019, х(х2-3х+2)=-2019, х(х2-х-2х+2)=-2019, х(х-1)(х-2)=-2019. Ліва частина рівності ділиться на 2, а права – ні. Тому не існує такого х, щоб виконувалася задана рівність.

Відповідь. Не існує.

3.4. Числа 201 і 2019 при діленні на натуральне число а дають однакові остачі. Знайдіть всі значення а.

Розв’язання

201=аm+р і 2019=аn+р, де m, n, р є N.

(ап.+р)-(аm+р)=2019-201; а(п- m)=1818; звідси а=2;3;6;9;18;101;202;303;606;909;1818. Оскільки числа 202, 303, 606, 909, 1818 більші за 201,бо остача не може бути більшою за ділене, то маємо відповідь: 2, 3, 6, 9, 18, 101.

Відповідь. 2, 3, 6, 9, 18, 101.

Тема 4. Формули скороченого множення

4.1. Доведіть, що значення числового виразу: 2019·2020·2021·2022+1 є квадратом натурального числа.

Розв’язання

Скористаємося рівністю п(п+1)(п+2)(п+3)+1=(п2+3п)(п2+3п+2)+1=

=(п2+3п)2+2(п2+3п)+1=(п2+3п+1)2 при п=2019.

2019·2020·2021·2022+1=(20192+3·2019+1)2, що й треба було довести.

4.2. Доведіть, що значення числового виразу: 2018·2019·2020·2022·2023·2024 є квадратом натурального числа.

Вказівка. Справедливість твердження задачі випливає із такої тотожності:

.

4.3. Чи існують цілі числа m і n такі, що

(m+2018)(m+2019)+(m+2019)(m+2020)+(m+3018)(m+2020)=n2.

Розв’язання

Позначимо m+2018=k. Тоді рівність набуває вигляду або . Остання рівність означає, що при діленні на 3 квадрата цілого числа одержимо остачу 2, а це неможливо. Дійсно, якщо , то і остача дорівнює 0. Якщо , то і остача дорівнює 1. Якщо , то і остача дорівнює 1.

відповідь: не існує.

4.4. Доведіть, що число 20182+20182 20192+20192 є квадратом цілого числа.

Розв’язання

Розвʼяжемо цю задачу у загальному вигляді:

n2+n2(n+1)2+(n+1)2=n4+2n3+2n2+(n+1)2=n4+2n2(n+1)+(n+1)2=(n2+n+1)2.

Дане число є значенням цього виразу при n=2018.

Значить, 20182+20182·20192+20092 =(20082+2009)2 – квадрат цілого числа.

4.5. Доведіть, що число 20192019+20192018·20192019·20192020 є кубом цілого числа.

Доведення

Позначимо а=20192019. Тоді значення заданого виразу дорівнюватиме

а+(а-1)а(а+1)=а(1+(а-1)(а+1))=а(1+а2-1)=а·а23.

4.6. Відомо, що а=32019+2. Чи правильно, що а2+2 – просте число?

Розв’язання

Помічаємо, що дане число при діленні на 3 дає остачу 2, тобто, воно має вигляд: а=3t+2, де t – деяке натуральне число (в даному випадку t=32018). Тоді а2+2=(3 t+2)2+2=9t2+12t+4+2=9t2+12t+6=3(3t2+4t+2),

тобто кратне трьом при будь-якому натуральному t. Отже, це число не є простим.

Відповідь. Ні.

4.7. Простим чи складеним є число 42019+1?

Розв’язання

Скористаємося тотожністю різниці кубів:

42019+1=(4673)3+13=(4673+1)((4673)2-4673·1+12). Отже, це число складене.

Відповідь. Складене.

4.8. Перевірте, чи є число 20194+4 простим.

Розв’язання

20194+4=(20192)2+2·20192·2+22-4·20192=(20192+2)2-(2·2019)2=

=(20192+2-2·2019)(20192+2+2·2019). Це число складене.

4.9. Чи є число 812019+4 простим?

Розв’язання

Розглянемо допоміжний вираз х4+4=х4+4-4х2=(х2+2)2-(2х)2=

=(х2-2х+2)(х2+2х+2). Тепер скористаємося цією формулою

812019+4=(32019)4+4=((32019)2-2·32019+2)((32019)2+2·32019+2).

Очевидно, що жоден з множників не дорівнює 1. Тому число 812019+4 – складене.

Відповідь. Ні.

4.10. Дослідити, просте чи складене число 22019-1.

Розв’язання

Оскільки 2019=3·673, то задане число можна записати так:

22019-1=(2673)3-1=(2673-1)(21346+2673+1), тобто його можна розкласти на два множники, кожен з яких є цілим числом і не дорівнює 1. Отже, 22019-1 – складене число.

4.11. Чи є число 1+(23)2019 простим?

Розв’язання

Число 32019 кратне трьом, тому його можна записати у такому вигляді:

32019=3п (де п – число натуральне). Тоді дане число запишеться так:

1+23п=13+(2п)3=(1+2п)(1-2п+22п). А це означає, що дане число є числом складеним.

4.12. Відомо, що x і y – різні числа, причому (x–2018)(x–2019)=(y–2018)(y–2019). Які значення може мати вираз x+y?

Розв’язання

В даній рівності розкриємо дужки, перенесемо все в ліву частину, і розкладемо її на множники:

x2–y2–4037x+4037y=0  (x–y)(x+y–4037)=0.

Оскільки xy, то x+y=4037.

Відповідь:.4037.

4.13. Два різних числа х і у (не обовʼязково цілих) такі, що х2-2019х=у2-2019у. Знайдіть суму чисел х і у.

Розв’язання

х22=2019(х-у); (х-у)(х+у)=2019(х-у).

оскільки числа х і у різні, то х-у≠0, то х+у=2019.

Відповідь. 2019.

4.14. Чому дорівнює х-у, якщо х=12+22+32+…+20192 і у=1·3+2·4+…+2018·2019?

Розв’язання

у=1·3+2·4+…+2018·2019=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(2019-1)(2019+1)=

=22+32+…+20192-(1+1+…+1). У дужках 2018 доданків, кожний з яких дорівнює одиниці. Тому х-у=12+(1+1+…+1)=1+2018=2019.

Відповідь. 2019.

4.15. Просте число p>2 і цілі числа х і у такі, що х332у+ху2+p2019. Доведіть, що х+у ділиться на p.

Розв’язання

x3+y3=x2y+xy2+p2019(x–y)2(x+y)=p2019. Таким чином, числа (x–y)2 і x+y — степені p. Але (x–y)2 — парний степінь p, тому, x+y — непарний степінь p, тобто ділиться на p.

4.16. Чи існує натуральне число, десятковий запис квадрата якого закінчується на 2019 ?

Розв’язання

Цифрою 9 закінчуються квадрати чисел, остання цифра яких 3 або 7, тобто чисел виду 10а±3 або 10а±7, де аN.

Оскільки (10а±3)2=100а2±60а+9 і (10а±7)2=100а2±140а+49, то передостання цифра цього числа є парна. А в числі 2019 в розряді десятків є цифра 1, тобто непарна.

Відповідь. Ні, не існує.

4.17. Порівняти значення виразів: 20194–20192+1 та (2018∙2020)2+2018∙2020–1.

Розв’язання

Позначимо через х=2018∙2020, тоді х+1=20192. Перше число дорівнює 20194–20192+1=(х+1)2–(х+1)+1=х2+х+1.

Друге число дорівнює (2018∙2020)2+2018∙2020–1=х2+х–1.

Відповідь. Більшим є число 20194–20192+1.

4.18. Розкладіть на множники: х4+2019х2+2018х+2019.

Розв’язання

х4+2019х2+2018х+2019=х432+2018(х2+х+1)-х3+1=

22+х+1)+2018(х2+х+1)-(х-1)(х2+х+1)=(х2+х+1)(х2+2018-х+1)=

=(х2+х+1)(х2-х+2019).

Відповідь. 2+х+1)(х2-х+2019).

4.19. Розкрийте дужки у виразі (1-х)2·(1+2х+3х2+…+2019х2018).

Розв’язання

(1-х)2·(1+2х+3х2+…+2019х2018)=(1-х)·(1-х)·(1+2х+3х2+…+2019х2018)=

=(1-х)·(1+2х+3х2+…+2019х2018-х-2х2-3х3-…-2019х2019)=

=(1-х)·(1+х+х2+…+х2018-2019х2019)=

=1+х+х2+…+х2018-2019х2019-х-х2-…-х20182019+2019х2020=

=1-2018х2019+2019х2020.

Відповідь. 1-2018х2019+2019х2020.

4.20. Обчисліть: .

Розв’язання

Помічаємо, що 2009·2029+100=(2019-10)(2019+10)+100=

=20192-102+100=20192.

Аналогічно, 1999·2039+400=(2019-20)(2019+20)+400=

=20192-202+400=20192.

Тоді

Відповідь. 1.

4.21. Обчисліть:

Розв’язання

Нехай х=201920192019.

Тоді початковий вираз дорівнює

Відповідь. 2019.

4.22. Знайдіть значення виразу при а=2020, b=2019, с=2018.

Розв’язання

Чисельник дорівнює а4+2а2b2+b4-4а2 b22=(а2- b2)22=(а2- b2+с)(а2- b2-с), і після ділення на знаменник отримаємо:

а2- b2-с=(а- b)(а+ b)-с=2020+2019-2018=2021.

Відповідь. 2021.

4.23. Скоротіть дріб:

Розв’язання

Відповідь. .

4.24. Доведіть, що 202019+192019 ділиться на 13.

Доведення

Оскільки ап+bп ділиться на а+b при непарному п, а число 2019 непарне, то 202019+192019 ділиться на 20+19=39=3·13.

4.25. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел А=22019-1 і В=22016-1.

Розв’язання

Оскільки А-В=22019-22016=22016(23-1)=22016·7 і числа А і В непарні, то їх НСД дорівнює 7 або 1. Але А=22019-1=(23-1)(22016+22013+…+23+1) ділиться на 7, а тому В=А-(А-В) ділиться на 7.

Відповідь. НСД(А,В)=7.

4.26. Чи існують цілі числа m та n такі, що 7m2-5n2=2019?

Розв’язання

Запишемо задане рівняння у вигляді 2(n2+1)=7n2-7m2+2021. Оскільки тут права частина ділиться на 7 при m, n є Z, а n2+1 при діленні на 7 дає лише остачі 1, 2, 3, 5, то рівняння не має розвʼязків у цілих числах.

Відповідь. Існують.

4.27. Чи можна подати число (1+22018)·22019 подати у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел?

Розв’язання

(1+22018)·22019=22019+24037=2·(22018+24036)=(22018+24036)+(22018+24036)=

=(22018+24036)+(22018+24036)+2·21009·22018-2·21009·22018=

=(22018+2·21009·22018+24036)+(22018-2·21009·22018+24036)=

=(22018+24036)2+(22018-24036)2.

Відповідь. Можна.

4.28. Подайте числовий вираз 2·20192+2·20202 у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел.

Розв’язання

Нехай 2019=а тоді 2020=а+1. Дістанемо: 2·20192+2·20202=2а2+2(а+1)2=

=4а2+4а+2=(2а+1)2+12=40392+12.

Відповідь. 40392+12.

4.29. Чи може число 101010…10, запис якого містить 2019 одиниць і стільки ж нулів, бути записане у вигляді суми двох квадратів натуральних чисел?

Розв’язання

Оскільки 2+0+1+9=12, то дане число ділиться на 3, але не ділиться на 9. Припустимо, що існують такі натуральні числа М і N, що М2+N2=101010…10.

1) Якщо М=3m і N=3п, то М2+N2=9(m2+п2), тобто дане число ділиться на 9, що неможливо.

2) Якщо М=3m±1 (число М не ділиться на 3), а N=3п, то М2+N2=9m2+9п2±6m+1, тобто дане число не ділиться на 3, що суперечить попередньому.

3) Якщо М=3m±1, то N=3п±1, то М2+N2=9m2+9п2±6m±6п+2. Це число теж не ділиться на 3.

Отже, згаданий в задачі запис неможливий.

4.30. Чи можна число 2019 подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел?

Розв’язання

Нехай а2-b2=2019. Тоді (а-b)(а+b)=2019. Оскільки 2019=3·673=1·2019, то або

звідки а=338, b=335 або а=1010, b=1009.

Відповідь. Можна.

4.31. Розвʼяжіть рівняння:

Розв’язання

Розкриємо задану пропорцію:

(х-2019)2=(х-2020)2 або (х-2019)2-(х-2020)2=0.

Скористаємося формулою різниці квадратів:

(х-2019-х+2020)(х-2019+х-2020)=0, звідки х=2019,5.

Відповідь. 2019,5.

4.32. Розвʼяжіть рівняння: (х-21009)2+(х+21009)2=22019.

Розв’язання

х2-2х·21009+220182+2х·21009+22018=22019;

2+2·22018=22019;

х2+22018=22018; х=0.

Відповідь. 0.

4.33. Для будь-яких чисел а і b операція а b визначається так: аа2-b2. Обчисліть: (20202019)(20192018).

Розв’язання

1) 20202019=20202-20192=(2020-2019)(2020+2019)=1·4039=4039;

2) 20192018=20192-20182=(2019-2018)(2019+2018)=1·4037=4037;

3) 40394037=40392-40372=(4039-4037)(4039+4037)=2·8076=16152.

Відповідь. 16152.

4.34. Яке найменше невідʼємне число можна отримати шляхом розстановки перед числами 12, 22, 32, … ,20192 знаків «+» і «-», і наступного виконання вказаних операцій?

Розв’язання

Розглянемо квадрати чотирьох послідовних натуральних чисел k2, (k+1)2, (k+2)2, (k+3)2. З них при відповідній розстановці знаків можна отримати число 4: k2-(k+1)2-(k+2)2+(k+3)2=4.

Тоді з квадратів восьми послідовних натуральних чисел можна отримати при відповідній розстановці знаків «+» і «-» число 0.

Оскільки 2019:8=252(остача 3), то розібʼємо числа 42, 52, … , 20192 на вісімки послідовних чисел і розставимо знаки «+» і «-» так, щоб в кожній такій вісімці отримався 0.

Потім із трьох чисел 12, 22, 32 дістаємо -12-22+32=-1-4+9=4. Отже, число 4 є шуканим найменшим невідʼємним числом, яке задовольняє заданим умовам.

Перевірка. -12-22+32+(42-52-62+72)+(-82+92+102-112)+…+

+(20122-20132-20142+20152-20162+20172+20182-20192)=-1-4+9+0+…+0=4.

Відповідь. 4.

4.35. Відомо, що додатні числа а1, а2, а3, а4, а5, b1, b2, b3, b4, b5 задовольняють умови: а1222324252=20192,

b12+b22+b32+b42+b52=20182,

а1 b12 b23 b34 b45 b5=2019·2018.

Знайдіть відношення а1: b1.

Розв’язання

Зробимо такі перетворення: 201821222324252)=20182·20192,

20192(b12+b22+b32+b42+b52)=20192·20182,

-2·2018·2019(а1 b12 b23 b34 b45 b5)=-2·20182·20192.

Додамо ці рівності:

201821222324252)+20192(b12+b22+b32+b42+b52)-

-2·2018·2019(а1 b12 b23 b34 b45 b5)=0.

Звідси (2018а1-2019b1)2+(2018а2-2019b2)2+(2018а3-2019b3)2+

+(2018а4-2019b4)2+(2018а5-2019b5)2=0.

Оскільки сума пʼяти квадратів може дорівнювати нулю тоді і тільки тоді, коли кожний доданок нульовий, то 2018а1-2019b1=0. Звідси а1: b1=2019:2018.

Відповідь. 2019:2018.

4.36. Чи існують такі цілі числа k,m, що k3+ m3=2019?

Розв’язання

Якщо число п при діленні на 3 дає остачі 0, 1, 2, то число п3 при діленні на 9 матиме відповідно остачі 0, 1, 2, 7, 8. Тому вона не може дорівнювати числу 2019 з остачею 3 від ділення на 9.

Відповідь. Не існують.

4.37. Яке з чисел більше: 20202018·20182020 чи 20192019?

Розв’язання

Покажемо, що друге число більше за перше. Для цього розглянемо відношення першого числа до другого. Це відношення можна перетворити таким чином:

=

Бачимо, що відношення дорівнює добутку двох чисел, кожне з яких менше за одиницю. Отже, й саме відношення менше за одиницю.

4.38. Доведіть, що 20192020-1 кратне 2018.

Розв’язання

Використаємо формулу хnn=(х-а)(хn-1+ хn-2а+ хn-3а2+…+ аn).

При а=1 маємо хn-1=(х-1)(хn-1+ хn-2+ хn-3+…+ 1).

Тоді 20192020-1=(2019-1)(20192019+20192018+…+2019+1), що ділиться на 2018. Твердження доведено.

4.39. Доведіть, що сума 13+23+…+20183 ділиться на 2019.

Доведення

Перетворимо даний вираз:

13+23+…+20183=(13+20183)+(23+20173)+(33+20163)+…+(10093+10103).

Враховуючи, що а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2), дістанемо:

(1+2018)(1-2018+20182)+(2+2017)(22-2·2017+20172)+(3+2016-2·2016+20162)+

+…+(1009+1010)(10092-1009·1010+10102).

Помічаємо, що перший множник у кожному з доданків дорівнює 2019, тому сума ділиться на 2019.

4.40. Доведіть, що при кожному натуральному n число 12019+22019+…+n2019 не ділиться на n+2.

Доведення

Нехай ап=12019+22019+32019+…+(п-1)2019+n2019. Додамо почленно дві рівності: ап=12019+22019 + 32019+…+(п-1)2019+n2019,

ап=n2019+(п-1)2019+…+32019+22019+12019. Маємо 2ап=1+(22019+п2019)+(32019+(п-1)2019)+…+((п-1)2019+32019)+(п2019+22019)+1.

Згідно формули ап+bп=(а+b)(ап-1п-2b+ап-3b2п-4b3+…+bп-1), де п – непарне число, маємо: 22019+п2019=(2+п)(22018-22017п+22016п2-22015п3+…+пп-1),

32019+(п-1)2019=(3+п-1)(32018-32017(п-1)+32016(п-1)2-…+(п-1)п-1) і т.д.

Розклавши на множники кожну із сум 22019+п2019, 32019+(п-1)2019,…, п2019+22019, помічаємо, що всі вони містять множник п+2. Тоді маємо рівність 2ап=(п+2)·S+2, де S – ціле число.

Сума (п+2)·S+2 не ділиться на п+2, звідки отримуємо, що й ап також не ділиться на п+2, що й треба було довести.

4.41. Квадрати натуральних чисел від 1 до 2019 записані послідовно в деякому порядку. Чи є отримане багатозначне число точним квадратом?

Розв’язання

Зауважимо, що квадрат числа, яке не ділиться на 3, дає при діленні на 3 остачу 1, а звідси сума його цифр при діленні на 3 також дає остачу 1. З чисел від 1 до 2019 на 3 не діляться 1346 чисел, і тому сума цифр отриманого багатозначного числа при діленні на 3 дає остачу таку ж, як і 1346, тобто 2. Отже, й саме це число при діленні на 3 дає остачу 2, і тому воно не може бути точним квадратом.

Тема 5. Рівняння з двома змінними

5.1. На дошці записано 10 послідовних натуральних чисел. Одне з них витерли. Після цього сума решти 9 чисел стала дорівнювати 2019. Знайти число, яке витерли.

Розв’язання

Позначимо перше із 10 чисел через х. Тоді друге дорівнює х+1, третє – х+2 і т.д., десяте – х+9. Нехай витерли число х+у, де 0≤у≤9. Оскільки сума решти чисел дорівнює 2019, то

х+(х+1)+(х+2)+(х+3)+(х+4)+(х+5)+(х+6)+(х+7)+(х+8)+(х+9)-(х+у)=2019;

10х+45-х-у=2019; 9х=1974+у.

Оскільки ліва частина отриманої рівності кратна 9, то й права частина також ділиться на 9. Враховуючи, що у це цифра, то розглянувши суму цифр числа, записаного в правій частині рівності, отримуємо єдино можливий варіант у=6.

Тоді дістаємо: 9х=1980; звідки х=220. Витерли число х+у=220+6=226.

Відповідь. 226.

5.2. Доведіть, що рівняння ху=2019(х+у) має розвʼязки в цілих числах.

Розв’язання

Перетворимо рівняння до такого вигляду: ху-2019х-2019у=0;

ху-2019х-2019у+20192=20192;

х(у-2019)-2019(у-2019)=20192;

(х-2019)(у-2019)=20192.

Останнє рівняння має розвʼязки. Наприклад, х=у=4038.

Перевірка: (4038-2019)(4038-2019)=20192.

Отже, дане рівняння має розвʼязки в цілих числах. Що й треба було довести.

5.3. Є два прямокутники, які не є квадратами, із сторонами, що вимірюються цілими числами сантиметрів. У першого прямокутника ширина дорівнює 2019см, а довжина дорівнює півпериметру другого прямокутника. Знайдіть ширину (меншу сторону) другого прямокутника.

Розв’язання

Нехай х – ширина, у – довжина другого прямокутника. Тоді 2019(х+у)=ху або (х-2019)(у-2019)=20192. Оскільки х<у, то отримуємо х-2019=1, а у=2019+20192. Отже, ширина другого прямокутника дорівнює 2020см.

Відповідь. 2020см.

5.4. Розвʼяжіть в натуральних числах рівняння 20х+19у=2019.

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді: 19(у-1)=2000-20х; 19(у-1)=20(100-х). Ліва частина рівняння невідʼємна при натуральному у і ділиться на 19, тому права частина теж повинна бути невідʼємною і ділитися на 19. Із взаємної простоти чисел 20 і 19 слідує, що 100-х≥0 і кратне 19. Це виконується тільки у двох випадках: х1=81 і х2=100. Звідси знаходимо у1=21 і у2=1.

Відповідь. х1=81, у1=21 і х2=100, у2=1.

5.5. Скільки додатних цілих розвʼязків (х;у) , х<у, має рівняння х+у+ху=2019?

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді: х+у+ху+1=2020; х(1+у)+(у+1)=2020;

(х+1)(у+1)=2020.

Дільниками числа 2020, відмінними від 1 і 2020, є числа 2; 4; 5; 10; 20; 101; 202; 404; 505; 1010. Всього 10 дільників. Стільки ж пар (х;у)єN очевидно задовольняють співвідношення в умові задачі. Кількість таких пар, що задовольняють додаткову умову х<у, є 10:2=5.

Відповідь. 5.

5.6. Знайдіть всі пари цілих чисел а і b такі, що аb=2019а+b.

Розв’язання

Записавши рівність у вигляді (а-1)(b-2019)=2019, встановлюємо, що числа а-1 і b-2019 є дільниками числа 2019, тобто дорівнюють ±1; ±3; ±673; ±2019. Всього існує 8 різних розвʼязків.

5.7. Розвʼяжіть в цілих числах рівняння (х+у)(х-у)=2019.

Розв’язання

2019=3·673.

Якщо х-у ділиться на 3, то х-у=3 або х-у=-3, а х+у=673, звідки отримуємо першу пару відповідей: (338;335), (-338;-335).

Якщо ж х-у не ділиться на 3, то х-у=1 або х-у=-1, а х+у=2019, звідки отримуємо другу пару розвʼязків: (1010;1009), (-1010;-1009).

Відповідь. (338;335), (-338;-335), (1010;1009), (-1010;-1009).

5.8. Знайдіть натуральні розв’язки рівняння а2b–1=2019?

Розв’язання

Запишемо дане рівняння у вигляді а2b=2020=22·505. Існує тільки один повний квадрат, що є дільником добутку 22·503. Отже, 22·505–1=2019.

Відповідь. а=2, b=505.

5.9. Розв’яжіть в цілих числах рівняння х2 + 3ху + 2у2 = 2019.

Розв’язання

Виконаємо тотожне перетворення лівої частини:

х2+3ху+2у2=(х2+2ху+2у2)+ху+у2=(х+у)2+(х+у)∙у.

Нехай х+у=t. Тоді t2+уt=2019 або t(t+у)=2019.

Враховуючи, що 2019=3∙673, розглянемо випадок t=3. Тоді t+у=673, звідки у=673-3=670, х+у=3, х=3–670=-667. Отже, х=-667, у=670 є розв’язком рівняння.

Всі інші значення t =-3; 673; -673; 1; -1 дають цілі розв’язки

(667;-670), (-2017;2018), (2017; -2018).

Відповідь. (-667;670), (667;-670), (-2017;2018), (2017; -2018).

5.10. Сім натуральних чисел виписані в ряд. Кожне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх чисел. Яке максимально можливе значення може приймати перше число, якщо останнє дорівнює 2019?

Розв’язання

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у. Тоді третє число дорівнює х+у, четверте х+2у, п’яте 2х+3у, шосте 3х+5у, сьоме 5х+8у. Отже, 5х+8у=2019.

Якщо х максимальне, то у мінімальне. Тобто нам треба знайти таке найменше у, щоб число 2019 – 8у ділилося на 5 ( бо х – натуральне число). Числа у = 1; 2 не підходять. А при у = 3 отримуємо відповідь х = 399.

Відповідь. 399.

5.11. На складі склотари є банки місткістю 0,5л, 0,7л і 1л. зараз на складі є 2600 банок загальною місткістю 2019л. Доведіть, що на складі є хоча б одна півлітрова банка?

Доведення

Нехай х – кількість півлітрових банок, а у – кількість банок місткістю 0,7л. тоді літрових банок на складі було 2600-х-у.

Маємо рівняння: 0,5х+0,7у+2600-х-у=2019; 5х+3у=5810.

Оскільки 5810 не ділиться на 3, то х≠0. Отже, на складі є хоча б одна півлітрова банка.

5.12. Три відʼємні числа х, у, z підібрано так, що виконуються рівності

й . Що більше: z або х?

Розв’язання

З наведених рівностей випливає: 2018(х+у)=z і z=2019(у-х). звідси 2018(х+у)=2019(у-х); 2018х+2018у=2019у-2019х; у=4037х. оскільки х<0, то при множенні на 2018·4038 воно зменшується. Тому z<х.

Відповідь. z<х.

5.13. Дано графік лінійної функції (див. малюнок). Знайдіть значення виразу 2020а-2019b. Відповідь обґрунтуйте.

Розв’язання

Очевидно, що кутовий коефіцієнт а=2 і вільний член b=2.

Тоді 2020а-2019b=2020·2+2019·2=(2020+2019)·2=4039·2=8078.

Відповідь. 8078.

Тема 6. Системи рівнянь

6.1. Знайдіть таке ціле число у, для якого у2+2019 є квадратом цілого числа.

Розв’язання

Нехай у2+2019=х2, тоді х22=2019, (х+у)(х-у)=2019;

Оскільки 2019=1·2019=3·673=-3·(-673)=-1·(-2019), то:

або або або

або або або або

Розвʼязавши отримані системи рівнянь маємо такі пари чисел: (1010;1009), (1010; -1009), (-1010; -1009), (-1010; 1009), (338; -335), (338; 335), (-338; 335), (-338; -335).

Отже, умову задачі задовольняють такі значення у: -1009; -335; 335; 1009.

Відповідь. -1009; -335; 335; 1009.

6.2. Чи існують такі трійки натуральних чисел, які задовольняють умові:

Розв’язання

Додавши рівняння і перетворивши його ліву частину, отримаємо: ху+х+z+у z=39, х(у+1)+z(у+1)=39, (х+z)()=39.

Враховуючи, що 39=1·39=3·13, маємо чотири системи рівнянь:

або або або

Розвʼязками цих систем є такі трійки (х;у; z): (1;2;12),(12;2;1), (2;2;11), (11;2;2), (3;2;10), (10;2;3), (4;2;9), (9;2;4), (5;2;8), (8;2;5), (6;2;7), (7;2;6).

Відповідь. Існують.

6.3. Знайдіть суму чотирьох натуральних чисел а, b, с, d, якщо множина можливих сум трьох з цих чисел дорівнює множині {2018, 2019, 2020}.

Розв’язання

За умовою

Звідки 2а+2с+2d+3b=6057 або 2(а+с+d)+3b=6057.

За умовою задачі а+с+d може дорівнювати 2018, 2019 або ж 2020. Оскільки 6057 ділиться на 3 і 3b теж ділиться на 3, то а+с+d має ділитися на 3. Отже, це може бути лише 2019.

Далі знаходимо: 2·2019+3b=6057, 3b=6057-4038, 3b=2019, b=673. Тоді а+b+с+d=(а+с+d)+b=2019+673=2692.

Відповідь. 2692.

6.4. Розвʼяжіть систему рівнянь:

Розв’язання

Додамо почленно всі рівняння системи, потім із отриманого рівняння почленно віднімемо кожне рівняння даної системи:

2019+=3030, =1011, z=,

+2020=3030, =1010, х=,

+2021=3030, =1009, у=.

Відповідь. х=, у=z=

Тема 7. Трикутники

7.1. Довжини сторін ΔАВС дорівнюють 2018, 2019 і 2. Точки А1, В1, С1 – середини сторін, а точки А2, В2, С2 – основи висот, опущених на ці сторони, які протилежні вершинам А, В і С відповідно. Знайдіть довжину ламаної А1В2С1А2В1С2А1.

Розв’язання

А1В2 медіана прямокутного трикутникаВВ2С і тому А1В2=0,5ВС. Аналогічно В2С1=0,5АВ, С1А2=0,5АВ, А2В1=0,5АС, В1С2=0,5АС, С2А1=0,5ВС. В результаті, довжина ламаної дорівнює периметру ΔАВС, тобто

РАВС=АВ+ВС+АС=2018+2019+2=4039.

Відповідь. 4039.

7.2. Дано довільний трикутник Т1. Його середні лінії утворюють трикутник Т2, середні лінії трикутника Т2 утворюють трикутник Т3 і т.д. Знайдіть відношення периметрів трикутників Т1 і Т2019.

Розв’язання

Відповідь. 22018.

Тема 8. Принцип Діріхле

8.1. Доведіть, що серед довільних 2019 натуральних чисел знайдуться два такі, що їх різниця ділиться на 2018.

Доведення

При діленні числа на 2018 остача може дорівнювати 0, 1, 2, …, 2017 всього 2018 різних варіантів. Тому за принципом Діріхле, серед 2019 натуральних чисел знайдуться принаймні два, які дають однакову остачу при діленні на 2018, а їх різниця буде ділитися на 2018 без остачі.

8.2. Вася і Маша одружилися в 1996 році. З тих пір у них народилося четверо дітей, і новий 2018 рік зустрічали вже всі шестеро. За дивними обставинами всі діти народилися 1 вересня. Виявилося, що 1 вересня 2019 року вік найстаршої дитини дорівнюватиме добутку років трьох молодших. Доведіть, що в цій сімʼї є близнята.

Розв’язання

Оскільки 2·3·4=24, то вік найстаршої дитини становить 24 роки, але це неможливо, бо 2019-1996=23. Отже, менші діти мали вік 2, 2, 3 або 2, 2, 4, або 2, 3, 3, або 2, 2, 2, роки.

8.3. Білосніжка і 2019 гномів. В один прекрасний день кожний із 2019 гномів образився на якогось іншого гнома (тільки одного), і на кожного гнома образився якийсь інший гном (тільки один). Білосніжці потрібно розподілити гномів на три групи так, щоб в кожній із груп не було гномів, які ображені на якого-небудь із даної групи. Чи завжди це можливо?

Розв’язання

Перших трьох гномів розподілимо у трьох групах довільно. Наступного (будь-якого) помістимо в групу, де немає гнома, повʼязаного з ним відношенням образи. Така група є (Принцип Діріхле). Із наступним гномом поступаємо аналогічно. І так далі. Всі гноми будуть розподілені у трьох групах.

Відповідь. Завжди.

Тема 9. Задачі на круг лицарів і брехунів

9.1. У крузі стоять 2019 осіб, серед яких є лицарі, які завжди говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть. Кожний із 2019 осіб сказав: «Всі, крім, можливо, мене і моїх сусідів - брехуни». Скільки може бути брехунів серед 2019 осіб?

Розв’язання

Всі брехуни бути не можуть, бо тоді всі говорили б правду. Візьмемо лицаря А. всі, крім, можливо, А і його сусідів – брехуни. Обидва сусіди А брехунами бути не можуть, бо тоді вони говорили б правду. Лицарями обидва вони теж бути не можуть, бо тоді обидва брехали б. а ось випадок, коли один з них лицар, а другий – ні, можливий, що й дає відповідь.

Відповідь. 2017.

9.2. За круглим столом сидять 2019 осіб, кожний з яких – або лицар, або брехун. Лицарі завжди говорять правду, а брехуни завжди брешуть. Їм роздали по одній картці, на кожній з яких записано по числу, причому всі числа на картках різні. Глянувши на картки сусідів, кожний із сидячих за столом сказав: «Моє число більше, ніж у кожного із двох моїх сусідів». Після цього k із сидячих сказали: «Моє число менше, ніж у кожного із двох моїх сусідів». При якому найбільшому k це могло статися?

Розв’язання

Нехай А і В – люди, яким дісталися картки із найбільшим і найменшим числами, відповідно. Оскільки вони обоє сказали першу фразу, А – лицар, а В – брехун. Але, якби вони сказали другу фразу, то А збрехав би, а В сказав би правду. Це неможливо. Тому А В сказати другу фразу теж не могли. Отже, k≤2017.

Покажемо, що ситуація, коли решта 2017 осіб зможуть сказати другу фразу, можлива. Нехай сидячим за столом дісталися (за годинниковою стрілкою) картки з числами 1, 2, 3, …, 2017. При цьому картка з числом 2017 дісталася лицарю, а решта – брехунам. Тоді першу фразу можуть сказати всі, а другу – всі, крім людей із картками 1 і 2017.

Відповідь. 2017.

Тема 10. Задачі із сірниками

10.1. Дано одну купу із 2019-ма сірниками. Двоє грають у гру. Вони по черзі роблять такі ходи – вибирається довільна купа, що містить більше одного сірника, і ділиться на дві менші. Гра продовжується до тих пір, поки кожна купа не буде складатися з одного сірника. При кожному поділі купи на дві записується добуток чисел в отриманих двох менших купках. Мета гравця, що ходить першим, зіграти так, щоб сума всіх записаних чисел ділилася на 1009. Чи може другий гравець йому завадити?

Розв’язання

Купі із п сірників поставимо у відповідність квадрат зі стороною п. Розбиття купи на m та k сірників інтерпретуємо як поділ цього квадрата на два квадрати зі сторонами m та k відповідно, і два прямокутники зі сторонами m та k. Один із цих прямокутників заштрихуємо. Його площа дорівнює числу m k, яке записують після здійснення ходу. При цьому кожен раз будемо заштриховувати саме той прямокутник, який лежить нижче діагоналі початкового квадрата. Після завершення гри заштрихованою виявиться площа 0,5·20192-0,5·2019=2019·0,5·(2019-1)=2019·2019.

Відповідь. Не зможе.

Тема 11. Задачі із числовою прямою

11.1. Коля позначив на числовій прямій декілька точок червоним кольором. Виявилось, що сума координат всіх цих точок дорівнює 2019, причому сума координат двох крайніх точок дорівнює 400. Потім Саша позначив синім кольором середину кожного відрізка, що зʼєднує дві сусідні червоні точки. Знайдіть суму координат всіх синіх точок.

Розв’язання

Нехай червоних точок чотири і їх координати дорівнюють а, b, с, d. Тоді між ними три сині точки і сума координат синіх точок дорівнює

0,5(а+b)+0,5(b+с)+0,5(с+d)=0,5а+b+с+0,5d.

Тоді сума координат синіх для будь-якого числа точок із цього випадку знаходиться так: (сума координат червоних точок) – (половина суми координат крайніх точок).

Підставимо значення з умови: 2019-200=1819.

Відповідь. 1819.

Тема 12. Задачі на парність чисел

12.1. По колу вписали 2019 натуральних чисел. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.

Розв’язання

Із 2019 натуральних чисел принаймні 1010 числа є числами однакової парності (парні або ж непарні). Іншими словами: оскільки 2019 є непарним числом, то чисел однієї парності більше, ніж чисел іншої парності щонайменше як на 1.

Припустимо, що серед 2019 наведених чисел, наприклад, парних більше ніж непарних. Тоді парних чисел принаймні 1010.

Зафіксуємо на колі які-небудь 1010 парних чисел з усіх парних чисел. Якщо припустити, що на колі не знайдеться два сусідніх числа, сума яких є парною, то це означатиме що числа, розташовані по колу, чергуються наступним чином – парне, непарне, парне, непарне і т.д. Але ж тоді на колі повинно бути щонайменше 2020 чисел. Отже, прийшли до протиріччя з умовою, бо на колі розташовано точно 2019 натуральних чисел.

12.2. На дошці написані 2019 знаків «плюс» і «мінус». Дозволяється стерти одночасно будь-які два знаки, написавши замість однакових знаків «плюс», а замість різних «мінус». Доведіть, що останній знак, який залишиться на дошці, не залежить від того, в якому порядку витирати знаки.

Доведення

При заміні двох знаків одним число мінусів на дошці або не змінюється, або зменшується на 2. Таким чином, парність або непарність числа мінусів зберігається протягом всієї процедури. Отже, якщо спочатку число мінусів було парним, то заключним знаком буде «плюс», а якщо непарним, то «мінус».

Тема 13. Задачі на переливання

13.1. В одній посудині 2а літрів води, а друга порожня. Із першої посудини переливають половину води у другу посудину, потім із другої переливають третину води у перший, після цього із першої посудини переливають четвертину води у другу посудину і т.д. Скільки літрів води буде у першій посудині після 2019 переливань?

Розв’язання

Посудини

Кількість води

Кроки

0

1

2

3

4

5

6

7

Перша

а

2а/3

а

4а/5

а

6а/7

а

Друга

0

а

4а/3

а

6а/5

а

8а/7

а

Що зроблено

½ у 1

1/3 у 2

¼ у 1

1/5 у 2

1/6 у 1

1/7 у 2

1/8 у 1

і т.д.

Після першого кроку води у посудинах порівну і також порівну після кожного непарного кроку. Доведемо, що якщо після якогось непарного кроку у посудинах однакова кількість води, то на наступному непарному кроці у посудинах буде також непарна кількість води. Справді, розділивши воду в одній із посудин на п частин і добавивши одну частину води у другу посудину, отримаємо п+1 частин (бо перед цим у посудинах води було порівну). Тому, коли наступним кроком із другої посудини одну із частин повертаємо назад у першу посудину, то просто відновлюється попередня кількість.

Отже, після 2019 переливань у першій посудині буде а літрів води.

Відповідь. а літрів.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
1
дн.
1
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!