Пятикласники в гостях у числа 2019

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки до олімпіад та конкурсів

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Василь Серветник

Пʼятикласники

в гостях

у числа

Передмова

Одним із прийомів підсилення інтересу до уроку математики є розвʼязування цікавих завдань. Традиційно в задачах учнівських олімпіад, конкурсів різного рівня деяким чином фігурує рік їх проведення. Школярів приваблює своєрідний колорит таких задач, їх «актуальність». Щороку такі тестові вправи пропонує, наприклад, конкурс «Кенгуру», а вчитель може складати власні, аналогічні до них.

Методичний посібник є результатом роботи автора з творчого освоєння та впровадження в практику Базового компонента шкільної освіти. Його розроблено для підготовки учнів до математичних конкурсів, олімпіад, турнірів. Ця розробка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати задачі олімпіадної математики та навчити цього своїх учнів.

Мета цієї розробки – надати вчителям, учням конкретну допомогу в розвитку вміння розв’язувати задачі даного напрямку. До більшості задач дано відповіді та повні їх розв’язання. Однак хочу попередити Вас, що читання розв’язань принесе малу користь, якщо перед цим Ви не витратите достатньо свого часу, спробувавши розв’язати задачу самостійно.

В посібнику пропонуються нестандартні завдання з новорічного балу, які, на думку автора, поліпшують якість знань, розвивають пізнавальну діяльність та творчу ініціативу дітей. Це свого роду бенефіс числа 2019, де в кожній задачі воно виступає головною дійовою особою. Використання таких вправ сприятиме вихованню в учнів інтересу до вивчення математики, розвитку інтелектуальних здібностей та відкриттю творчого потенціалу школярів.

Сподіваюся, що автори олімпіадних задач 2019 року також дотримуватимуться цієї тенденції. Своєрідна «новорічна порція» наведених задач дасть можливість погратись із числом 2019, що може стати корисним при підготовці до олімпіад та конкурсів з математики.

Формування математичної компетентності школярів ефективно здійснюється за умов, які ґрунтовно розкриті в посібнику. Крім даних, можна створити набори задач, використовуючи задачні матеріали, що висвітлюються в інтернеті, із Всеукраїнських та зарубіжних олімпіад, різних турнірів, чемпіонатів та конкурсів. Творче використання вчителем даних рекомендацій сприятиме розвитку олімпіадного руху серед учнів, розповсюдженню та популяризації математичних знань.

Ця добірка адресована тим, хто хоче навчитися розв’язувати нестандартні математичні задачі. Вона написана на основі багаторічного досвіду підготовки школярів до участі в математичних олімпіадах різних рангів і здобуття ними перемог.

Кожен блок складається із задач та розв’язків, вказівок та відповідей до них. Це дає можливість використовувати добірку й тим, хто навчатиметься цьому самостійно.

Сподіваюся, що матеріали збірки Ви, шановні колеги, будете використовувати не тільки на шкільних олімпіадах, але й на щоденних уроках математики. Адже, як казав великий А. Ейнштейн, «вміє вчити той, хто вчить цікаво». Буду вдячний всім, хто запропонує свої зауваження щодо створення даної розробки.

Бажаю в новому 2019-му році щастя, здоровʼя і щоб всі життєві задачі розвʼязувалися красиво і легко!

З повагою Василь Серветник.

Але, перш ніж навести приклади задач, розглянемо деякі цікаві властивості числа 2019.

Властивості числа 2019

* Число 2019 є складеним, тобто його можна розкласти єдиним способом на прості множники: 2019=3 · 673.

* Число 2019 можна подати єдиним способом у вигляді суми двох простих чисел: 2019 = 2+2017.

* Число 2019 не можна подати у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел.

* Число 2019 можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел: 2019 = 3382 – 3352 = 10102 – 10092.

* Число 2019 можна подати у вигляді суми квадратів трьох різних натуральних чисел чотирма способами:

2019 = 12+132+432 = 72+172+412 = 112 + 232 + 372 = 132 + 252 + 352.

* Представлення числа 2019 у вигляді суми двох послідовних натуральних чисел: 2019 = 2009 + 2010.

* Число 2019 можна подати у вигляді суми трьох послідовних натуральних чисел так: 2019 = 672 + 673 + 674.

* Число 2019 можна подати у вигляді суми шести послідовних натуральних чисел так: 2019 = 334 + 335 + 336 + 337 + 338 + 339.

* Не можна отримати число 2019 у вигляді суми або різниці двох кубів.

* – найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 2019.

Тема 1. Натуральні числа

1.1. Скільки різних чисел, більших ніж 10 і менших ніж 25, можна записати, використовуючи цифри 2, 0, 1 і 9 ?

А: 4 Б: 5 В: 6 Г: 7 Д: 8.

Відповідь. 4 числа (12, 19, 20 і 21).

1.2. Як записати число 19 пʼятьма однаковими цифрами?

Відповідь. 22-2-2:2=19, 4·4+4-4:4=19, 6+6+6+6:6=19.

1.3. Як записати числа 2, 0, 1 і 9, використовуючи дані цифри, не змінюючи їх порядку?

Відповідь. 2=2+0·19, 0=2·0·19, 1=20-19, 9=2·0·1+9.

1.4. Скільки існує двоцифрових чисел, у запису яких використано тільки цифри 2, 0, 1, 9 (цифри не можуть повторюватися)?

Розв’язання

Умові задачі задовольняють числа: 10, 12, 19, 20, 21, 29, 90, 91, 92.

Відповідь. 9 чисел.

1.5. Записати всі трицифрові числа, для запису яких використовуються тільки цифри 2, 0, 1, 9 (цифри не можуть повторюватися).

Відповідь. 18 чисел: 102, 109, 120, 129, 190, 192, 201, 209, 210, 219, 290, 291, 901, 902, 910, 912, 920, 921.

1.6. Записати всі можливі натуральні числа за допомогою цифр 2, 0, 1 і 9 в заданому порядку та знаків арифметичних дій і дужок.

Відповідь.

20 – 19 = 1, 2 + 0 · 19 = 2, 20 :·(1 + 9) = 2, 2 · 0 · 1 + 9 = 9,

2 · 0 + 1 + 9 = 10, 2 + 0 - 1 + 9 = 10, 20 – 1 – 9 = 10,

2 + 0 · 1 + 9 = 11, 2 + 0 + 1 + 9 = 12, 2 - 0 + 1 + 9 = 12,

20 + 1 – 9 = 12, 2 · 0 + 19 = 19, 2 + 0 + 19 = 21,

20 – 1 + 9 = 28, 20 + 1 + 9 = 30, (2 + 0) · 19 = 38,

20 + 19 = 39, (20 – 1) · 9 = 171, 20 · 1 · 9 = 180,

(20 + 1) · 9 = 189, 201 – 9 = 192, 201 + 9 = 210,

20 · 19 = 380, 201 · 9 = 1809.

1.7. Яке з наведених чисел непарне?

А: 2019 Б: 2 + 0 + 1 + 9 В: 201 – 9 Г: 20 х 19 Д: 201 + 9

Відповідь. 2019.

1.8. Яким буде перше після 2019 ціле число з тією самою сумою цифр?

А: 2022 Б: 2028 В: 2109 Г: 2190 Д: 2200

Розв’язання

Сума цифр числа 2019 дорівнює 12. Серед відповідей з такою сумою цифр є числа 2028, 2109, 2190. Найменше з них є 2028.

Відповідь. 2028.

1.9. Де треба розмістити цифру 3 в числі 2019, щоб отримати найменше пʼятицифрове число?

А: перед 2 Б: між 2 і 0 В: між 0 і 1 Г: між 1 і 9 Д: після 9.

Відповідь. між 1 і 9.

1.10. Компʼютер написав усі числа від 1 до 2019. Скільки цифр написав компʼютер?

Розв’язання

Одноцифрові числа займають 9 цифр, двоцифрові числа - 90·2=180 цифр, трицифрові числа - 900·3=2700 цифр, чотирицифрові числа від 1000 до 2019 займають (2019-999)·4=1020·4=4080 цифр.

Отже, компʼютер написав 9+180+2700+4080=6969 цифр.

Відповідь. 6969 цифр.

1.11. Записати всі можливі чотирицифрові числа, використовуючи тільки цифри 2, 0, 1, 9.

Відповідь. 9 чисел (1029, 1209, 1290, 2019, 2091, 2109, 2190, 2901, 2910)

1.12 . Запиши найменше шестизначне число, в запису якого беруть участь тільки цифри 2, 0, 1 і 9 (Кожна цифра записується не менше одного разу).

Відповідь. 100029.

1.13. В числі 20192019 закреслити три цифри так, щоб число, яке утворене рештою цифр в тому самому порядку, було: а) найбільшим; б) найменшим.

Відповідь. 92019 – найбільше число, 12019 – найменше число.

1.14. До числа 2019 дописати справа дві різні цифри, які не входять в дане число, і закреслити дві цифри так, щоб отримати найбільше число. Яке отримали число?

Розв’язання. 2 0 1 9 8 7.

Відповідь. 2987.

1.15. Переставляючи цифри числа 2019, отримали всі можливі чотирицифрові числа, які розмістили у порядку зростання. Чому дорівнює найбільша різниця між двома сусідніми числами у цьому розміщенні?

Розв’язання

Маємо послідовність таких чисел: 1029, 1092, 2019, 2091, 2109, 2190, 2901, 2910, 9012, 9021, 9102, 9120, 9201, 9210. Найбільшу різницю дають числа 9012 і 2910, що дорівнює 6102 (9012 – 2910 = 6102).

Відповідь. 6102.

1.16. Розглянемо число 20192019…, що складається з 2019 цифр. Трьома останніми цифрами цього числа є …

Розв’язання

У числі 20192019… можна виділити групи по 4 цифри 2019, що повторюються одна за одною. Оскільки число 2016 ділиться на 4, то на 2016-му місці буде стояти остання цифра з вказаної четвірки, тобто цифра 9, на 2017-му місці – перша цифра з цієї четвірки, тобто 2, на 2018-му місці – цифра 0, а на 2019-му місці – цифра 1.

Відповідь. 201.

1.17. Числа 1; 2; 3; … записані підряд. Яка цифра стоїть на 2019-му місці?

Розв’язання

Одноцифрові числа займають 9 місць, двоцифрові – 90 · 2 = 180 місць, а всього разом вони займають 189 місць. Решту 2019 – 189 = 1830 місць займають цифри трицифрових чисел. Оскільки 1830 = 610 · 3, то 1830-ге місце займають цифри перших 610-и трицифрових чисел. Але 610-е трицифрове число є 709

(610 + 99 = 709).

Отже, шукана цифра дорівнює 9.

Відповідь. 9.

1.18. Виписані підряд всі парні числа: 2; 4; 6; 8; 10; 12; … Яка цифра стоїть на 2019-му місці?

Розв’язання

Одноцифрові числа (2; 4; 6; 8) займають 4 місця. Двоцифрові числа (10; 12; 14;…; 98) займають 45·2=90 місць. Всього вони займуть 4+90=94 місця. Трицифрові числа (100; 102; …; 998) займуть 450·3=1350 місць. Всього вони займуть 4+90+1350=1444 місць. Решту 2019-1444=575 місць займуть цифри чотирицифрових чисел.

Оскільки 575=143·4+3, то 575 місць займають цифри перших 143 чотирицифрових чисел і третя цифра 144-го чотирицифрового числа. Але 143-є чотирицифрове число є 1286. Третя цифра числа 1288 є цифра 8.

Відповідь. На 2019-му місці стоїть цифра 8.

1.19. В ряд одне за одним записані всі натуральні числа від 1 до n. Для якого n записане число буде мати рівно 2019 цифр?

Розв’язання

Число 123…979899 має 9+2·90=189 цифр. Тому 2019=189+3(п-99);

3(п-99)=1830; п-99=610; п=709.

Відповідь. 705.

1.20. В числі 20182019 закреслити п’ять цифр так, щоб число, яке утворене рештою цифр в тому самому порядку, було найбільшим; б) найменшим.

Відповідь. а) 829; б) 101.

1.21. Є число 20192019…, яке складається з 2019 цифр. Знайти останню цифру цього числа.

Розв’язання

У числі 20192019… можна виділити групи по 4 цифри 2, 0, 1, 9, які повторюються одна за одною.

Оскільки 2019 : 4 = 504 (3 ост.), то на 2019-му місці стоїть третя цифра з вказаної четвірки, тобто цифра 1. Тому на 2019-му місці стоїть цифра 1 (третя цифра цієї четвірки).

Відповідь. 1.

1.22. Яка перша цифра у найменшому натуральному числі, в якому сума цифр дорівнює 2019?

Розв’язання

У найменшому натуральному числі із сумою цифр 2019 повинно бути використано найменшу можливу кількість цифр. Ця кількість дорівнює

224 + 1 = 225 цифр, бо 2019 : 9 = 224 (3 остача).

Отже, шукане число складається із 224-х дев’яток і однієї трійки. Серед таких чисел найменшим є число, перша цифра якого дорівнює 3.

Відповідь. 3.

1.23. Всі натуральні числа із сумою цифр 2019 впорядкували в зростаючому порядку. Знайдіть третє число в цьому ряду.

Розв’язання

У найменшому натуральному числі із сумою цифр 2019 повинно бути використано найменшу можливу кількість цифр. Ця кількість дорівнює

224 + 1 = 225 цифр, бо 2019 : 9 = 224 (3 остача).

Отже, найменше число складається із 224-х дев’яток і однієї трійки . Наступне число із вказаною властивістю , а третє число .

Відповідь. .

1.24. На нескінченній стрічці паперу виписані в порядку зростання всі натуральні числа з сумою цифр 2019.яке число написано на 225-му місці?

Розв’язання

Оскільки 2019=224·9+3, то найменше число із сумою цифр 2019 дорівнює . В цьому числі 225 цифр. Розглянемо 225-цифрові числа, в яких старша цифра четвірка, а інші цифри – девʼятки, за виключенням однієї вісімки. Найбільшим серед цих чисел є число .

Відповідь. .

1.25. Знайти найбільше п’ятизначне число, яке націло ділиться на 2019, всі цифри якого різні.

Розв’язання

Оскільки 2019 · 50 = 100950, то другий множник менший від 50. Далі методом перебору визначаємо:

2019 · 49 = 98931, 2019 · 48 = 96912, 2019 · 47 = 94893, 2019 · 46 = 92874. Останній результат задовольняє умову задачі.

Відповідь. 92874.

1.26. Андрійко виписав всі натуральні числа від 1 до 2019. На скільки більше він написав одиниць, ніж двійок?

Розв’язання

Спочатку полічимо загальне число одиниць.

Цифра 1 у першій сотні (від 1 до 99) зустрічається: в розряді одиниць 10 разів (у числах 1, 11, 21, 31 і т.д. до 99), в розряді десятків – 10 разів (у числах від 10 до 19). Всього 10+10=20 разів.

Далі йдуть тризначні числа. Всього серед тризначних чисел є 10 десятків. Маємо в розряді сотень 100 разів (у числах від 100 до 1000), а в розряді десятків і одиниць 10·20=200 разів. Всього 100+200=300 разів.

Серед чотиризначних чисел від 1000 до 1999 одиниця зустрічається: в розряді тисяч – 1000 разів у кожному числі, в решті розрядах – 300 разів. Всього 1000+300=1300 разів.

Серед чисел від 2000 до 2019 одиниця зустрічається 2 рази в розряді одиниць (2001 і 2011) і 10 разів у розряді десятків (від 2010 до 2019). Всього 2+10=12 разів.

Таким чином, всього в числах від 1 до 2019 одиниці зустрічаються 300+1300+12=1612 разів.

Полічимо тепер загальне число двійок. В числах від 1 до 1999 двійки зустрічаються так само як одиниці в усіх розрядах, крім розряду тисяч. Двійка зустрічається 300+300=600 разів.

Серед чисел від 2000 до 2019 двійка зустрічається: в розряді тисяч 20 разів, а в розряді одиниць 2 рази. Всього 20+2=22 рази.

Всього в числах від 1 до 2019 двійки зустрічаються 600+22=622 рази.

Отже, одиниць всього 1612, а двійок – 622. Тому одиниць більше, ніж двійок на 1612-622=990.

Відповідь. на 990.

1.27. Назвемо натуральне число симетричним, якщо число, яке записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку, співпадає з даним. Знайти всі симетричні числа, які при додаванні до них числа 2019 залишаються симетричними.

Розв’язання

Перебором переконуємося, що серед одноцифрових і двоцифрових чисел не підходить жодне.

Якщо число трицифрове, то остання цифра суми цього числа і числа 2019 дорівнює 2, то симетричне число виконується при х = 3.

Число + 2019 = 2 … 2. Маємо 313 + 2019 = 2332.

Для чотирицифрових чисел теж не підходить жодне.

Відповідь. 313.

1.28. В кожен рядок та в кожен стовпчик таблиці потрібно записати числа 2, 0, 1 9. Частина клітинок таблиці вже заповнена. Заповніть решту клітинок.

2

0

1

9

0

1

2

9

2

Відповідь.

2

0

1

9

0

2

9

1

1

9

2

0

9

1

0

2

Тема 2. Додавання і віднімання натуральних чисел

2.1. 2+0+1+9+20-1-9=?

А: 4 Б: 9 В: 11 Г: 22 Д: 38.

Відповідь. 22.

2.2. 20+1+9=10+*. Тоді * це …

А: 6 Б: 8 В: 10 Г: 18 Д: 20.

Відповідь. 10.

2.3. Сума цифр числа 201+19-9 дорівнює:

А: 4 Б: 9 В: 11 Г: 20 Д: 201.

Відповідь. 4.

2.4. Якщо до числа праворуч дописати @, то воно збільшиться на 1, а якщо ліворуч, то зменшиться на 1. Наприклад 3@=4, @3=2. Обчисліть: @2+0@+@1+9@.

А: 9 Б: 10 В: 11 Г: 12 Д: 13.

Відповідь. 12

2.5. Всі зірочки в рівності 2*0*1*9*2*0*1*9*2*0*1*9=0 замінили або на «+», або на «-» так, що рівність стала правильною. Яку найменшу кількість зірочок можна замінити на «+»?

А: 7 Б: 8 В: 9 Г: 10 Д: 11.

Відповідь. 9.

2.6. Сума трьох непарних чисел дорівнює 19. Записати ці числа в порядку зростання, якщо відомо, що доданки не рівні між собою.

Відповідь. 1 + 3 + 15 = 19; 1 + 5 + 13 = 19; 3 + 5 + 11 = 19.

2.7. Обчислити: 2019 – 201 - 20 + 2.

А: 1788 Б: 1800 В: 1828 Г: 1832 Д: 2232

Відповідь. 1800.

2.8. В якому із прикладів результат буде найбільшим?

А: 201+920+19 Б: 20+19+20+19 В: 2019+2019

Г: 2+0+1+9+2+0+1+9 Д: 20+1920+19.

Відповідь. У прикладі В (4038)

2.9. Петрик додав сім чисел і отримав у сумі 2019. Одним із доданків є число 201. Марійка змінила його на 102 і обчислила суму семи отриманих чисел. Яку відповідь отримала Марійка?

А: 1819 Б: 1919 В: 1920 Г: 2019 Д: 2120.

Відповідь. 1920.

2.10. Із скількох доданків з різною кількістю цифр можна утворити число 2019?

Відповідь. Чотири доданки, наприклад, 1800+199+10+9=2019.

2.11. Розвʼяжіть арифметичний ребус:

Відповідь. 1819+181+18+1=2019.

2.12. Розвʼяжіть ребус, у якому різними літерами позначено різні цифри, а однаковими – однакові, причому В, Г і Д – послідовні числа і В<Г<Д:

Відповідь. 672+673+674=2019.

2.13. В прикладі на додавання двох чисел перший доданок менший за суму на 2000, а сума більша за другий доданок на 19. Відновити приклад.

Розв’язання

Нехай а і b – невідомі доданки і с – їх сума. Тоді с – а = 2000 і с – b = 19. Звідси с = а + 2000 і с = b + 19. Далі маємо 2с = а + b + 2019.

Відповідь. 19 + 2000 = 2019.

2.14. У вершинах трикутника записані три числа. Відомо, що суми сусідніх чисел дорівнюють 2019, 2020, 2021. Знайти ці числа.

Відповідь. 1009, 1010, 1011.

2.15. Усі чотирицифрові числа, що записуються за допомогою цифр 2, 0, 1, 9, виписали в ряд у порядку зростання. Чому дорівнює різниця між двома числами, що стоять після і до числа 2019 у виписаному ряді?

Розв’язання

2091-1920=171.

Відповідь. 171.

2.16. До деякого числа додали суму його цифр і отримали 2019. Наведіть приклад такого числа.

Розв’язання

Нехай S(N) – сума цифр натурального числа N. За умовою N+ S(N)=2019. Очевидно, шукане N – чотиризначне число. N=1000а+100b+10с+d.

Тоді N+ S(N)=2019,

1000а+100b+10с+d+а+b+с+d=2019,

1001а+101b+11с+2d=2019.

Можливі два випадки:

1) а=1, тоді 1001+101b+11с+2d=2019, 101b+11с+2d=1018, звідси b=9. Маємо 909+11с+2d=1018, 11с+2d=109, тоді с=9. Отримали 99+2d=109, звідси d=5. Отже, N=1995.

2) а=2. Тоді 2002+101b+11с+2d=2019, 101b+11с+2d=17, звідси b=0, тоді 11с+2d=17, звідси с=1, тоді 11+2d=17, звідси d=3. Отже, N=2013.

Перевіримо: 1995+24=2019, 2013+6=2019.

Відповідь. 1995; 2013.

2.17. Як зміниться 2019-цифрове число, чотири останні цифри якого 2019, якщо дві останні цифри числа поміняти місцями?

Розв’язання

2091-2019=72.

Відповідь. Збільшиться на 72.

2.18. Обчисліть 20192019 · 202020202020 – 20202020 · 201920192019.

Розв’язання.

Розклавши числа на множники, одержимо

2019·10001·2020·100010001-2020·10001·2019·100010001=0.

Відповідь. 0.

2.19. Вставте замість зірочки число, щоб рівність була правильною:

1) 2019=20+19+*; 2) 2019=20+201+19+*.

Відповідь. 1) 1980; 2) 1779.

2.20. Чи можна число 2019 поділити на два доданки так, щоб один з них ділився на 20, а другий – на 19?

Відповідь. Так, наприклад, 2019=1620+399.

2.21. Сума натуральних чисел дорівнює 2019. Якщо один з доданків, що дорівнює 201, змінити на 102, то нова сума дорівнюватиме …

Розв’язання

Сума зменшиться на 201-102=99. Тоді 2019-99=1920.

Відповідь. 1920.

Тема 3. Кут

3.1. Як, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого 19°, побудувати кут, градусна міра якого дорівнює 20°?

Розв’язання

Від променя відкладаємо 20 разів кути по 19°. Маємо 380°, тобто повний кут плюс кут 20°.

Тема 4. Рівняння. Многокутники

4.1. Число закінчується цифрою 3. Якщо цю цифру відкинути і від першого числа відняти отримане число, то дістанемо 2019. Знайти початкове число.

Розв’язання

Нехай отримане число (від’ємник) дорівнює х, тоді початкове число 10х + 3. Маємо рівняння: 10х + 3 – х = 2019; 9х = 2016; х = 224.

Відповідь. 2243.

4.2. Сума двох послідовних натуральних чисел дорівнює 2019. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

Нехай х –менше з цих чисел. Маємо рівняння: х+(х+1)=2019.

Звідси х=1009, тоді х+1=1010.

Відповідь. 1009 і 1010.

4.3. Сума трьох послідовних натуральних чисел дорівнює 2019. Знайдіть найбільше з цих чисел.

Розв’язання

Нехай х – найменше з цих чисел. Маємо рівняння: х+(х+1)+(х+2)=2019.

Звідси х=672, тоді х+2=672+2=674.

Відповідь. 674.

4.4. Сума шести послідовних натуральних чисел дорівнює 2019. Знайдіть найменше з цих чисел.

Розв’язання

Нехай х – найменше з цих чисел. Маємо рівняння:

х+(х+1)+(х+2)+(х+3)+(х+4)+(х+5)=2019.

Звідси х=334.

Відповідь. 334.

4.5. Одна сторона трикутника дорівнює 20см, а друга – 19см. Яких значень може набувати третя сторона трикутника?

Розв’язання

Згідно нерівності трикутника маємо: х+19>20 і х<20+19, звідки х>1 і х<39.

Відповідь. 1<х<39.

4.6. Трикутник розрізали на дві частини прямолінійним розрізом, одну з отриманих частин знову розрізали на дві частини і т.д. Яке найменше число розрізів треба виконати, щоб загальна кількість вершин в отриманих многокутниках дорівнювала 2019?

Розв’язання

Трикутник можна розрізати прямою так, щоб пряма проходила через одну вершину трикутника або так, щоб пряма не проходила ні через жодну з вершин. В першому випадку загальна кількість вершин збільшується на 3, а в другому на 4. Тому доцільно розрізати трикутник так, щоб пряма не проходила через вершину.

Для чотирикутника (чи довільного многокутника), крім названих випадків, можливий ще випадок, якщо пряма проходить через дві його вершини. В цьому випадку загальна кількість вершин збільшується на 2.

Отже, одним розрізом можна дістати найбільше 4 нові вершини. Оскільки 2019=3+504·4, то зрозумілий оптимальний варіант: треба 504 рази виконати розрізи, які не проходять через вершини.

Відповідь. 504 розрізи.

4.7. Олег має 2019 однакових квадратиків. Складаючи їх сторона до сторони, він утворює суцільний прямокутник. Скільки різних прямокутників можна утворити таким чином?

Розв’язання

2019 = 1 · 2019 = 3 · 673, тому з 2019 кубиків ми можемо утворити два прямокутники розмірами 1х2019 або 3х673.

Відповідь. Два.

4.8. Чи можна із 2019 квадратних плиток скласти замкнену ламану?

Розв’язання

Припустимо, що із 2019 квадратних плиток можна скласти замкнену ламану. При прикладанні однієї плитки до другої їх сторони залишаються паралельними фіксованим перпендикулярним прямим. Виберемо на цих прямих по одному напрямку і назвемо їх напрямками «вгору» і «вправо», а відповідні протилежні напрямки – «вниз» і «вліво».

Виберемо довільну плитку і почнемо рухатися від неї а кроків «вгору», b кроків «вниз», с кроків «вправо», d кроків «вліво» і повернемося після цього в дану плитку. Оскільки із 2019 плиток складена замкнена ламана, то при цьому буде зроблено а+b+с+d=2019 кроків.

Крім того, кількість кроків у протилежних напрямках повинні співпадати, бо ми повернулися в дану плитку. Тому а=b і с=d. Ця рівність неможлива, бо 2019 – число непарне. Отже, 2019 кліток не можуть утворити замкнену ламану.

4.9. Клітчастий прямокутник 201 х 9 розрізано по межах кліток на дві частини. Яка найбільша сума периметрів може вийти у цих частин ?

Розв’язання.

Р = 2·9 +2·201+2·(201+200·7) =2·(9+201+201+1400)=2·1811=3622.

Відповідь. 3622.

Тема 5. Множення і ділення натуральних чисел

5.1. Чому дорівнює значення виразу: (20+19) (20-19) ?

А: 19 Б: 20 В: 39 Г: 1 Д: 38.

Відповідь. 39.

5.2. Значення якого з поданих виразів є найбільшим?

А: 2+0+1·9 Б: 2·0·1·9 В: 2·0+1·9 Г: 2·(0+1)·9 Д: (2+0)·(1+9).

Відповідь. 20.

5.3. Кожну зірочку в рівності 2*0*1*9*2*0*1*9*2*0*1*9=0 треба замінити або на «+», або на «·» так, щоб рівність була правильною. Яку найменшу кількість зірочок можна замінити на «·»?

А: 7 Б: 8 В: 9 Г: 10 Д: 11.

Відповідь. 11

5.4. Петя задумав число. Спочатку він додав до нього 1, потім отриману суму помножив на 2, а потім відняв 5. Вийшло 19. Яке число він задумав?

Розв’язання

Після віднімання 5 вийшло 19, тому до віднімання було 24. Число 24 вийшло шляхом множення деякого числа на 2, тому до цього було 12. А воно в свою чергу було отримано додаванням до вихідного числа 1, тобто спочатку було число 11.

Відповідь. 11.

5.5. 201 · 9 + 201+9 = ?

А: 418 Б: 1909 В: 2019 Г: 4018 Д: 20019.

Відповідь. 2019

5.6. Частка від ділення 20192019 на 2019 дорівнює :

А: 11 Б: 101 В: 1001 Г: 10001

Д: числу, відмінному від запропонованих.

Розв’язання

20192019 : 2019 = 10001.

Відповідь. 10001.

5.7. Обчислити: 201920192019 · 2018 – 201820182018 · 2019.

А: 0 Б: 1 В: 2 Г: 3 Д: 4

Розв’язання

201920192019 · 2018 – 201820182018 · 2019 = 2019 · 2018 (100010001 - 100010001) = 0.

Відповідь. 0.

5.8. Порівняйте числа:

А=2018·20192019·202020202020 і В=2020·20182018·201920192019.

Розв’язання

А=2018·20192019·202020202020=2018·2019·10001·2020·100010001;

В=2020·20182018·201920192019=2020·2019·10001·2018·100010001.

Отже, А=В.

Відповідь. А=В.

5.9. Якщо сума 2018-ти натуральних чисел дорівнює 2019, то їх добуток дорівнює ….

А: 1 Б: 2 В: 2018 Г: 2019 Д: неможливо визначити

Розв’язання

- сума; 1·1·…·1·2=2 - добуток.

Відповідь. 2.

5.10. Добуток 2019 натуральних чисел дорівнює 105, а їх сума – 2031. Чому дорівнює найбільше з цих чисел?

А: 7 Б: 15 В: 21 Г: 35 Д: 105

Розв’язання

- добуток;

1+1+…+1+3+5+7=2031 - сума.

Найбільше число 7.

Відповідь. 7.

5.11. На дошці було записано арифметичний вираз, значення якого дорівнювало 2018. Вовочка поміняв у цьому виразі два знаки дій місцями, і значення виразу стало дорівнювати 2019. Покажіть, як це могло статися.

Відповідь. 2013+1·2+3=2018,

2013+1+2·3=2019.

5.12. У виразі 2019 – 201 · 9 + 20 · 19 розставити дужки так, щоб значення виразу виявилось найбільшим.

Відповідь. ((2019 – 201) · 9 + 20) · 19 = 311258.

5.13. Розставити в записі 16733 знаки арифметичних дій так, щоб отриманий вираз дорівнював 2019.

Відповідь. 1 · 673 · 3 = 2019.

5.14. Чи буде сума чисел 1+2+3+…+2019 ділитися на 2019?

Розв’язання

Подамо дану суму у вигляді таких доданків:

(1+2018)+(2+2017)+…+(1009+1010)+2019.

Оскільки кожний доданок ділиться на 2019, то й вся сума буде ділитися на 2019.

Відповідь. Буде.

5.15. Добуток трьох різних натуральних чисел дорівнює 2019. Чому дорівнює сума цих чисел ?

Розв’язання

1 · 3 · 673 = 2019, 1 + 3 + 673 = 677.

Відповідь. 677.

5.16. Числа а і b – натуральні, причому а + b = 200. Чи правильна рівність

7 а + 15 b = 2019 ?

Розв’язання

7 а + 15 b = 7 (а + b) + 8b = 7 · 200 + 8 b = 1400 + 8 b. Одержали парне число. А число 2019 непарне. Отже, рівність 7 а + 15 b = 2019 при натуральних значеннях а і b неправильна.

Відповідь. Неправильна.

5.17. Скільки є чотиризначних чисел, що діляться на 19, а дві середні цифри в них 20?

Відповідь. Чотири числа: 2204, 5206, 7201, 8208.

5.18. Знайти найменше шестицифрове число, яке ділиться на 2019 без остачі.

Розв’язання

Число 100000 (найменше шестицифрове число) при діленні на 2019 дає остачу 1069. Тоді число, яке на 950 більше за 100000, дає шукану відповідь. Перевіримо: 100950 : 2019 = 50.

Відповідь. 100950.

5.19. Знайти найменше натуральне число, яке починається на 19, ділиться на 19 і має суму цифр, що дорівнює 19.

Відповідь. 19171.

5.20. Натуральні числа х, у та z задовольняють умови х у = 20 і у z = 19. Чому дорівнює х z?

Розв’язання

Число 19 = 1 ∙ 19, число 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5. Звідки х = 20, у = 1, z = 19. Тоді х z = 20 ∙ 19 = 380.

Відповідь. 380.

5.21. На довгій стрічці записані цифри 201920192019… Петрик вирізав ножицями два шматки стрічки різної довжини і утворив з них додатне число, яке ділиться на 11. Наведіть приклад таких шматків і запишіть число, яке утворилося з них.

Розв’язання

Можливі випадки: вирізати шматки 2 і 20 та утворити з них число 220, яке ділиться на 11.

Відповідь. 2 і 20, число 220.

5.22. Четверо друзів помітили, що якщо вони складуть свої заощадження без першого, то зберуть 2019грн, без другого – 2020грн, без третього – 2021грн, без четвертого – 2022грн. Скільки в кого грошей?

Розв’язання

Всього грошей у друзів (2019+2020+2021+2022):3=8082:3=2694 гривень. Тому в першого було 2694-2019=675грн, у другого 2694-2020=674грн, у третього 2694-2021=673грн, а в четвертого 2694-2022=672грн.

Відповідь. У першого 675грн, в другого 674грн, в третього 673грн, у четвертого 672грн.

5.23. Доведіть, що серед будь-яких 2019 натуральних чисел можна вибрати два, різниця яких ділиться на 2018.

Доведення

При діленні на 2018 можливі 2018 різних остач: 0; 1; 2; … ; 2017. А ми маємо 2019 чисел, серед яких хоча б у двох остачі будуть рівними, тому їх різниця ділиться на 2018.

5.24. У Андрійка є калькулятор, який дозволяє помножити число на 3, додати до числа 3 або (якщо число ділиться на 3) ділити одержане число на 3. Як на такому калькуляторі, скориставшись усіма його діями із числа 19 отримати число 2019?

Відповідь. .

5.25. Чи може натуральне число після закреслення його першої цифри зменшитися в 2019 разів?

Розв’язання

Нехай число після закреслення першої цифри зменшується в 2019 разів, тоді або тобто Звідки З останньої рівності випливає, що а1 повинно ділитися на 1009, що неможливо, оскільки а1 – відмінне від 0 одноцифрове число.

Відповідь. Не може.

Тема 6. Квадрат і куб числа

6.1. Представити число 2019 у вигляді суми квадратів трьох натуральних чисел.

Відповідь. 2019=12+132+432; 2019=72+172+412;

2019=112+232+372; 2019=132+252+352.

6.2. Знайдіть найменше натуральне число, десятковий запис квадрата якого починається цифрами 20, а закінчується цифрами 19.

Розв’язання

Такого числа не існує, бо в розряді десятків повинна бути парна цифра.

6.3. Знайти суму кубів цифр числа 2019.

Розв’язання

23 +03 +13 + 93 = 8 + 0 + 1 + 729 = 738.

Відповідь. 738.

Тема 7. Ділення з остачею. Площа прямокутника і квадрата

7.1. Яке найменше натуральне число при діленні і на 19, і на 2019 дає остачу 1?

Розв’язання

19 ∙ 2019 + 1 = 38361 + 1 = 38362.

Відповідь. 38362.

7.2. Яка остача від ділення числа 100…0 (одиниця із 2019-ма нулями) на 15?

Відповідь. 10.

7.3. Андрійко рве газету на 8 частин, після чого одну із одержаних частин рве ще на 8 частин, і т.д. Чи зможе він у такий спосіб розірвати газету на 2019 частин?

Розв’язання

Після кожного кроку число частин збільшується на 7, тобто після п кроків буде 1 + 7п частин. Рівняння 1 + 7п = 2019 цілих коренів не має (7п = 2018; а число 2018 на 7 не ділиться). Тому не зможе.

Відповідь. Ні, не зможе.

7.4. Маємо 5 шматочків тканини для карнавального костюма. Деякі з них розрізали на 5 клаптиків кожний. Деякі з них знову поділили на 5 частин і так далі. Чи можна таким чином одержати 2019 клаптиків, щоб потім пошити з них карнавальний костюм?

Розв’язання

Оскільки кожного разу кількість клаптиків збільшується на 4п, то ми діставатимемо лише числа виду 4п + 1. А число 2019 є числом виду 4п + 3 (бо 2019 = 4 ∙ 504 + 3).

Отже, карнавальний костюм не буде пошитий, оскільки не можна одержати 2019 клаптиків.

Відповідь. Не можна.

7.5. 7 аркушів паперу розрізали на 5 частин, потім деякі аркуші із загальної купи знову розрізали на 5 частин і т.д. Коли підрахували, то вийшло 2019 шматків паперу. Чи правильно зроблено підрахунок?

Розв’язання

Кожне розрізання збільшує кількість клаптиків паперу на 4. Тому після п розрізань дістанемо 7+ 4п=2019, звідки п=503.

Отже, підрахунок зроблено правильно.

Відповідь. Правильно.

7.6. Смужку паперу розірвали на 19 частин, потім одну з частинок розірвали ще на 19 частин, потім продовжили таку ж операцію далі. Чи може на деякому етапі загальна сума шматочків паперу дорівнювати 2019?

Розв’язання

Кожне розривання збільшує кількість клаптиків паперу на 4. Тому після п розривань дістанемо 19+18п=2019, звідки 18п=2000, п=2000/18 – не є натуральним числом. Отже, в результаті таких операцій не можна отримати 2019 шматочків паперу.

Відповідь. Не може.

7.7. Маємо пристрій, що дозволяє будь-який шматок дроту розрізати на 4 шматки. Чи можна цим пристроєм зробити із даних 5 шматків дроту 2019 шматків?

Розв’язання

Маємо рівняння: 5+3п=2019, 3п=2014. Число 2014 не ділиться на 3, тому не можна цього зробити.

Відповідь. Не можна.

7.8. Прямокутник розрізується на два многокутники. Потім один з них знову розрізується на дві частини і т.д. Операція розрізання многокутників повторюється 672 рази. Після операції підрахунок показав, що одержані многокутники містять всього 2019 вершин (Вершина кожного многокутника рахується окремо). Чи правильно зроблено підрахунок?

Розв’язання

Розпочнемо із випадку, коли всі одержані многокутники є трикутниками.

Після першого розрізування число вершин дорівнюватиме 3 + 1 ∙ 3 = 6.

Після другого – 3 + 2 ∙ 3, після 672-го – 3 + 672 ∙ 3 =2019.

Якщо при розрізуванні появиться хоч один многокутник, відмінний від трикутника, то число вершин всіх одержаних многокутників буде більшим, ніж 2019 (переконайтесь в цьому, розрізавши даний прямокутник на два чотирикутники, або на п’ятикутники і трикутники і т.д.).

Отже, підрахунок проведено правильно.

Відповідь. Правильно.

7.9. Прямокутник 2019х9 розбито на одиничні квадратики. Зовнішній шар клітин товщиною у 1 клітину цього прямокутника пофарбовано у жовтий колір, шар клітин товщиною у 1 клітину, що межує із зовнішнім шаром, пофарбовано у блакитний колір. Наступний шар клітин, що межує з блакитним, пофарбовано у жовтий колір і так далі. Знайдіть кількість жовтих та блакитних клітин у цьому прямокутнику.

Розв’язання

Виділимо зовнішні шари кожного кольору послідовно:

2019х9 – жовтий, 2017х7 – блакитний,

2015х5 – жовтий, 2013х3 – блакитний,

2011х1 – жовтий.

Далі просто через різницю відповідних площ зовнішніх прямокутників та внутрішніх обчислимо відповідні значення. Почнемо знизу.

Жовтих: 2011·1=2011. Блакитних: 2013·3-2011·1=6039-2011=4028.

Жовтих: 2015·5-2013·3=4036. Блакитних: 2017·7-2015·5=4044.

Жовтих: 2019·9=4052.

Разом маємо: жовтих 2011+4036+4052=10099, блакитних 4028+4044=8072.

Відповідь. жовтих 10099, блакитних 8072.

7.10. Миколка лічить пальці на руці від великого до мізинця і назад. Який палець виявиться 2019-им?

Розв’язання.

Великий

Вказівний

Середній

Безіменний

Мізинець

1

2

3

4

5

9

8

7

6

10

11

12

13

17

16

15

14

18

19

20

21

25

24

23

22

26

27

28

29

...

8п+1

8п

8п-1

8п-2

8п+2

8п+3

8п+4

8п+5

Оскільки 2019 : 8 = 252 (ост. 3), то 2019-й палець є середнім.

Відповідь. Середній палець.

7.11. Прямокутник 2018х2019 розділено на клітинки розміром 1х1. Чи можна його розрізати на фігурки наведеного нижче вигляду?

Розв’язання

Оскільки 2018 – число парне і 2019 ділиться на 3, то даний прямокутник можна спочатку розрізати на прямокутники розміром 2х3, кожний з яких легко розрізати на дві дані фігури.

Відповідь. Можна.

Тема 8. Куб. Прямокутний паралелепіпед

8.1. У вершинах кубика розташовані числа, сума яких дорівнює 2019. Чи можна розташувати ці числа так, щоб сума чисел у вершинах при кожній грані кубика була менше 1000?

Розв’язання

Припустимо, що це можливо, тоді сума чисел в шести гранях разом менше 6000, але 2019·3 більше 6000. Протиріччя.

Відповідь. Не можна.

8.2. Прямокутний ящик горизонтальними і вертикальними дощечками розділили на 2019 гнізд і в деякі гнізда поклали кульки (можливо більше однієї). Чи можна це зробити так, щоб в кожному горизонтальному ряду виявилося по 300 кульок, а в кожному вертикальному – по 100 кульок?

Розв’язання

Нехай в ящику вертикальних рядів в 3 рази більше, ніж горизонтальних. Тоді якщо х – кількість горизонтальних рядів, то 3х2=2019, або х2=673. Але число 673 не є квадратом натурального числа. Отримали протиріччя.

Відповідь. Не можна.

Тема 9. Задачі з електронним годинником

9.1. Електронний годинник показує час 20:19. Скільки хвилин пройде перш, ніж годинник вперше покаже той самий набір цифр 0, 1, 2 і 9 в деякому іншому порядку?

А: 49 Б: 50 В: 59 Г: 60 Д: 120.

Відповідь. 50 хвилин.

9.2. Скільки разів за добу між 00.00 і 23.59 електронний годинник показує всі чотири цифри 2, 0, 1, 9 у будь-якій послідовності ?

А: 11 Б: 12 В: 13 Г: 14 Д: 15

Розв’язання

Можливі випадки: 01.29; 02.19; 10.29; 12.09; 19.02; 19.20; 20.19; 21.09.

Відповідь. 8 разів.

9.3. Електронний екран використовує 7 лампочок для того, щоб відобразити цифру від 0 до 9 (див. мал.).

На екрані послідовно відобразили 2, 0, 1, 9. Яка з лампочок горіла найбільшу кількість разів?

Відповідь. А.

Тема 10.Задачі з паличками

10.1. Як із восьми паличок однакової довжини зробити 19, не ламаючи їх?

Відповідь.

10.2. Як із 19 паличок однакової довжини зробити 2019, не ламаючи їх?

Відповідь.

Тема 11. Новорічні задачі

11.1. Через скільки років наступить рік, що записується тими самими цифрами, що й 2019-й рік?

Розв’язання. 2091 – 2019 = 72.

Відповідь. Через 72 роки.

11.2. Через скільки років після 2019 року вперше настане рік з тією самою сумою цифр, але з іншим їх добутком?

А: 9 Б: 89 В: 101 Г: 109 Д: ніколи

Відповідь. Ніколи.

11.3. Скільки років мине після 1 січня 2019 року, коли вперше добуток цифр у записі року стане більшим, ніж сума цих цифр?

Розв’язання

2115-й рік. Маємо 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 5 = 10 і 2 + 1 + 1 + 5 = 9, 10 > 9.

2115 – 2019 = 96.

Відповідь. 96 років.

11.4. Петя помітив, що дата 29.01.2019, яка записана цифрами, має цікаву властивість: переставивши перші чотири цифри, можна отримати номер року. А які ще дати в 2019 році мають таку ж властивість ?

Розв’язання

В записі 2019 року є нуль, одиниця, двійка і девʼятка. Тому для запису числа і місяця можна скористатися тільки цими цифрами. За допомогою цих цифр можна записати тільки такі номери місяців: 01, 02, 09, 10, 12.

Якщо витратити 0 і 1 на запис січня (01), то в нашому розпорядженні залишаться цифри 2 і 9. З них можна скласти лише число 29. В результаті вийде дата 29.01.2019, на яку звернув увагу Петя.

Якщо витратити 0 і 2 на запис лютого (02), то з решти цифр 1 і 9 можна утворити дату 19.

Аналогічно знаходимо дати 12 вересня і 21 вересня, а також дати 29 жовтня та 09 грудня.

Відповідь. 19.02.2019, 12.09.2019, 21.09.2019, 29.10.2019, 09.12.2019.

11.5. Назвати дату, коли до настання 2019 року залишилося 2019 годин ?

Розв’язання.

2019 : 24 = 84 (остача 3). Тому 2019 годин = 84 дні + 3 години.

Від 0 годин 1 січня 2019 року віднімаємо 84 дні (грудень має 31 день, листопад має 30 днів і в жовтні віднімаємо 23 дні). Виходить 0 годин 9 жовтня 2012 року. Враховуючи остачу 3 год., отримуємо відповідь.

Відповідь. 8 жовтня 2018 року о 21 годині.

11.6. Один хлопчик сказав, що 1 січня 2019 року різниця між числами прожитих ним місяців і прожитих ним повних років буде дорівнювати 119. Коли народився цей хлопчик?

Розв’язання

Нехай хлопчик прожив х років та у місяців. Тоді він прожив 12 х + у місяців, і тому 12 х + у – х = 119, тобто 11 х + у = 11 · 10 + 9.

Оскільки у < 12, то у = 9, х = 10.

Отже, хлопчик народився 1 квітня 2008 року.

Відповідь. 1 квітня 2008 року.

11.7. Скільки років Оленчиному брату, якщо у 2019-му році його вік буде рівним сумі цифр його року народження?

Розв’язання

Нехай Оленчин брат народився у 19mn році, тоді 2019-19mn=1+9+m+n,

2019-1900-m-n=10·m+n, 109=11·m+2n, m=9, n=5. Отже, брат народився у 1995 році і йому буде 24 роки.

Перевіримо, чи задовольняє вказаній умові випадок брат народився після 2000 року. Тоді 2019-200n=2+n, 2019-2000-n=2+n, 19-2=2n, 2n=17, рівняння не має натуральних розв’язків.

Відповідь. 24 роки.

11.8. Дата записана так: 29.01.2019 (29 січня 2019 року). В цьому записі сума перших чотирьох чисел дорівнює сумі останніх чотирьох. Коли в 2019 році таке спів падання буде в останній раз?

Відповідь. 09.12.2019 (9 грудня 2019 року).

Тема 12. Шоколадні та електричні задачі

12.1. Чи вистачить 40 плиточок шоколаду, щоб викласти число 2019 ?

Відповідь. Вистачить. Потрібно 40 плиточок (дивись малюнок).

12.2. Плитка шоколаду складається з 20х19 квадратних частин. Плитка розламується по прямих, які ділять частини, до тих пір, поки не отримають 380 окремих частин. Скільки разів треба ламати плитку?

А: 190 Б: 219 В: 220 Г: 229 Д: 379.

Розв’язання

При кожному розламуванні по прямих, які ділять частини отримають на 1 кусок більше. Тому доведеться розламувати 379 разів.

Відповідь. 379 разів.

12.3. На екрані маленькі квадратні лампочки висвітлили число 2019. Скільки лампочок ввімкнули?

А. 40; Б. 8; В. 20; Г. 18; Д. 41.

Відповідь. 40.

Тема 13. Ігрові задачі

13.1. Скількома способами можна отримати число 2019, рухаючись вздовж стрілок на рисунку? 2 → 0 → 1 → 9

↓ ↓ ↓

0 → 1 → 9

↓ ↓

1 → 9

9

А: 12 Б: 11 В: 10 Г: 8 Д: 6

Відповідь. 8.

13.2. Павло пронумерував картки підряд числами від 1 до 2019. Потім викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Після цього Павло перенумерував числами від 1 ті, що залишилися, і знову викинув ті з них, в яких номер закінчувався нулем. Скільки карток залишилось?

А: 102 Б: 201 В: 1629 Г: 1637 Д: 2019.

Розв’язання

Порахуємо, скільки чисел від 1 до 2019 закінчуються нулем. Серед одноцифрових таких чисел немає. Серед двоцифрових чисел – 9. Серед трицифрових чисел – 90. Серед чисел від 1000 до 2019 – 102 числа.

Разом 9 + 90 + 102 = 201 число. Відкинувши 201 картку і пронумерувавши їх ще раз від 1 до 1818 (2019 – 201 = 1818) Павло відкинув ще 181 картку, після чого у хлопця залишилось 1637 карток.

Відповідь. 1637 карток.

13.3. На дошці записане число 2019. За один хід це число замінюється на добуток своєї останньої цифри на число, яке отримане закреслюванням цієї цифри. Виконуючи цю дію декілька разів отримали число нуль. За скільки ходів можна це здійснити?

Розв’язання

2019 1809 (201·9=1809) 1620 (180·9=1620) 0 (162·0=0).

Відповідь. За три ходи.

13.4. На дошці записані числа 20 і 19. Дозволяється записувати нові числа, які дорівнюють сумі будь-яких двох наявних вже чисел. Довести, що цей спосіб побудови послідовності чисел може привести до написання числа 2019.

Розв’язання

20 · 5 + 19 · 101 = 100 + 1919 = 2019; 20 · 100 + 19 · 1 = 2000 + 19 = 2019.

Наведені приклади доводять дане твердження.

13.5. На дошці написані числа 1 і 2. Петя може збільшити будь-яке записане на дошці число в 2 рази або додати будь-які два наявні числа, після чого записати отримане число на дошку. Ганчірки в Петі немає, тому стирати з дошки він не може. Як йому отримати число 2019, виконавши не більше 20 дій?

Розв’язання

Першою дією Петя запише число 4=2·2. Потім Петя буде виконувати такі операції:

1) 2·2=4; 2) 4+1=5; 3) 5·2+10; 4) 10+1=11; 5) 11·2=22; 6) 22·2=44;

7) 44·2=88; 8) 88·2=176; 9) 176·2=252; 10) 252·2=504; 11) 504·2=1008;

12) 1008+1=1009; 13) 1009·2=2018; 14) 2018+1=2019.

13.6. На дошці записують числа за таким правилом: в першій стрічці число 1, в другій стрічці два числа 2 і 3, в третій стрічці три числа 3, 4 і 5 і т. д. (в стрічці з номером х стоять х послідовних натуральних чисел, починаючи з х). Скільки разів на дошці буде записано число 2019?

Розв’язання

Маємо: 1

2 3

3 4 5

4 5 6 7

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12 13

8 9 …

Помічаємо таку закономірність: одиниця і двійка записані 1 раз, трійка і четвірка записані 2 рази, п’ятірка і шістка записані 3 рази і т.д.

Отже, числа 2017 і 2018 будуть записані 2018 : 2 = 1009 разів, а число 2019 буде записане 1010 разів.

Відповідь. 1010 разів.

13.7. На столі в ряд лежать 2019 яблук. Петя бере кожне десяте яблуко (тобто десяте, двадцяте, тридцяте і т.д.). Після цього він бере кожне дев’яте із решти яблук, потім кожне восьме із решти і т.д. Нарешті він бере кожне п’яте із решти в цей момент яблук. Скільки яблук залишиться на столі?

Розв’язання

Розіб’ємо яблука на десятки (1-10, 11-20, … , 2001-2010, 2011-2019), останній десяток неповний.

Першим ходом Петя бере по останньому яблуку з кожного десятка, крім неповного. Маємо 201 яблуко. Після цього від кожного повного десятка залишиться по 9 яблук і ще 9 яблук із останнього неповного десятка. Другим ходом Петя знову візьме по останньому яблуку із кожного десятка. Маємо ще 202 яблука.

Таким чином, після п’яти ходів від кожного із 202 десятків, включаючи неповний, залишиться по 5 яблук, звідки й слідує відповідь (202 – 1) ∙ 5 = 1005.

Відповідь. 1005.

Тема 14. Логічні задачі

14.1. Наташа задумала число. Петя сказав, що воно не менше 2019, Вася сказав, що воно не більше 2019, а Толя сказав, що воно дорівнює 2019. Довести, що серед цих висловлювань непарне число істинних.

Розв’язання

Якщо це число 2019, то істинні всі три висловлювання, а якщо ні – рівно одне з них.

14.2. Про число 2019 пʼятеро хлопців сказали: Андрій: «Цифра десятків більша, ніж цифра тисяч»; Борис: «Цифра десятків більша, ніж цифра одиниць»; Роман: «Сума цифр числа дорівнює 10»; Михайло: «Цифра одиниць більша, ніж цифра десятків»; Олег: «Цифра сотень більша, ніж цифра тисяч». Хто з хлопців не помилився?

А: Андрій Б: Борис В: Роман Г: Михайло Д: Олег.

Відповідь. Михайло.

14.3. У шерензі стоять 2019 людей, кожен з яких або лицар (завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Кожен з них сказав: «Кількість брехунів ліворуч від мене більша за кількість лицарів праворуч від мене». Скільки брехунів у цій шерензі?

Відповідь. 1010.

Тема 15. Комбінаторні задачі

15.1. В ящику є 2019 червоних, зелених, жовтих і синіх кульок. В темноті хлопчик хоче вибрати з ящика 19 кульок одного кольору. Яку найменшу кількість кульок йому треба вийняти з ящика, щоб серед них було не менше 19 кульок одного кольору?

Розв’язання

18·4+1=72+1=73.

Відповідь. 73.

15.2. Чи можна 2019 телефонів сполучити між собою так, щоб кожний був сполучений із 2017 телефонами?

Розв’язання

Не можна, бо якби 2019 телефонів зʼєднали із 2017 телефонами, то 2019·2017 дорівнювало б подвоєному числу телефонних сполучень (кожний абонент рахуємо двічі), тобто 2019·2017 дорівнювало б парному числу, що помилково.

Тема 16. Звичайні дроби

16.1. При яких натуральних значеннях а обидва дроби і будуть неправильними?

Відповідь. 19 і 20.

16.2. Який дріб більший: чи ?

Розв’язання

Перший дріб менший від одиниці на , а другий – на . Оскільки ,то .

Відповідь.

Тема 17. Десяткові дроби

17.1. Яке з чисел, запропонованих у відповідях, найменше відрізняється від

2,019 · 910,2?

А: 0,1 Б: 1 В: 10 Г: 100 Д: 1000.

Розв’язання

2,019 · 910,2 = 1837,6938.

Відповідь. 1000.

17.2. Обчисліть: (2019+2019+2019+2019+2019):(2019+2019).

Відповідь. 5:2=2,5.

17.3. Поставте в кожному із шести чисел по одній комі так, щоб рівність стала правильною: 2019+2019+2019+2019+2019=46437.

Відповідь. 20,19+20,19+20,19+201,9+201,9=464,37 або

2,019+2,019+2,019+20,19+20,19=46,437.

Висновки

Однією із можливостей використання уроків математики в основній школі як бази для формування навчальних компетенцій учнів є формування математичної компетенції учнів.

У пропонованій збірці нестандартних задач для п’ятикласників наведені яскраві й цікаві для учнів завдання, які розвивають математичне мислення, творчу уяву, інтуїцію, привчають дітей міркувати логічно, заохочують до творчого пошуку, розкривають здібності школяра, пов’язані з арифметичними уявленнями.

Для того щоб розв’язати навіть дуже складну задачу, учням знадобляться знання, що не виходять за межі шкільної програми.

Представлену збірку задач можна використовувати для роботи як із дітьми, що виявляють особливу цікавість до математики (разом із цим саме систематичне розв’язання задач, що подібні до наведених, таких дітей і виявляє), так і з учнями, які прагнуть проявити кмітливість.

З допомогою пропонованої збірки можна ґрунтовно підготуватись до занять шкільного математичного гуртка, математичної олімпіади, допомагати учням при підготовці до міжнародного конкурсу «Кенгуру», прикрасити їх дозвілля цікавим логічним «тренажером» тощо.

Задачі зі збірки доповнюють ті знання й уміння, які учні отримують, розв’язуючи стандартні задачі за програмою та вправи зі звичайного підручника математики. Разом із тим, розв’язання задач цієї збірки може викликати питання й проблеми, що їх доцільно буде потім проаналізувати на уроках математики.

Батьки учнів можуть використовувати задачник для стимулювання інтересу своїх дітей до математики. І, певно, самі учні можуть його використовувати для творчої самоосвіти як із допомогою дорослих, так і цілком самостійно.

До збірки входять відповіді та детальні розв’язання до всіх задач. Учителі, батьки, учні можуть використовувати ці зразки, а, за бажанням, можуть запропонувати й власні підходи до розв’язання тієї чи іншої задачі, відмінні від запропонованих автором.

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

Приклад завдання з олімпіади Українська мова. Спробуйте!
До ЗНО з МАТЕМАТИКИ залишилося:
0
4
міс.
0
3
дн.
0
3
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!