Взяти участь
Поспішайте взяти участь в акції «Методичний тиждень 2.0».
Головний приз 500грн + безкоштовний вебінар.
До визначення переможців залишилось:
3
Дня
3
Години
16
Хвилин
30
Секунд
Предмети »
  • Всеосвіта
  • Бібліотека
  • Конспект урока "Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения"

Конспект урока "Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения"

Курс:«Протидія шкільному насильству»
Черниш Олена Степанівна
72 години
2700 грн
390 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №FS371784
За публікацію цієї методичної розробки Оліфіровська Надія Миколаївна отримав(ла) свідоцтво №FS371784
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Перегляд
матеріалу
Отримати код

11 класс

Тема. Элементы комбинаторики.
Комбинаторные правила суммы и произведения.

«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
Дж. Сильвестр

Цель урока: ознакомить учащихся с предметом изучения комбинаторики и комбинаторными правилами суммы и произведения; формировать умение решать комбинаторные задачи при помощи правил суммы и произведения; развивать логическое мышление, память, внимание; воспитывать математическую грамотность, настойчивость, аккуратность.

Ожидаемые результаты: учащиеся должны знать, что изучает комбинаторика; понимать, как применять правила суммы и произведения.

Оборудование: учебник, проектор.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания; актуализация опорных знаний

С классом проводится фронтальная беседа по вопросам 1-7 стр. 134 §17

1. Приведите пример множества. (Множество планет, государств, песен, партий, уравнений, функций, точек, чисел, фигур и т.п.)

2. Как обозначают множества и их элементы?

Объект, принадлежащий множеству, называют его элементом.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита, а его элементы – строчными. Иногда для обозначения множества используют фигурные скобки.

3. Какие бывают множества?

Множества бывают конечные и бесконечные (по числу элементов). Множество фигур, цифр – конечные; множество натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; множество точек на прямой или отрезке, множество действительных чисел на промежутках [2; 3], (-6; +∞) – бесконечные.

Какое множество называют пустым? Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом .

4. Какие множества называют равными? Если множества состоят из одних и тех же элементов, то такие множества называются равными.

5. Что такое подмножество? Если А – часть множества В, то его называют подмножеством множества В и записывают АВ.

6. Что такое объединение двух множеств? Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств а и В и только их, называется объединением множеств А и В. Если К – объединение множеств А и В, то пишут: АВ = К.

7. Что такое пересечение двух множеств? Если множество Р содержит все общие элементы множеств А и В и только их, то множество Р называют пересечением множеств А и В. Записывают это так: АВ = Р.

8. Что называют разностью множеств А и В? Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Его обозначают: АВ.

Множество – понятие первичное, ему не дается определение. Например, множество учащихся класса; множество букв алфавита; множество натуральных чисел и т. д. В математике любые совокупности называют одним словом: множество.

Упражнения:

1. Как называется: 1) множество цветов в вазе?;
2) множество музыкантов, выступающих вместе;
3) множество точек пространства, равноудаленных от данной точки?

2. Приведите примеры множеств, имеющих:
1) 3 элемента; 2) 7 элементов; 3) 10 элементов.

Ответ: 1) множество цветов светофора;
2) множество дней недели; множество цветов радуги; множество нот; 3) множество цифр.

3. Даны множества А = {1; 2; 3; 4; 5} и B = {3; 4; 5; 6; 7}.

Найти: 1) 2) 3)

Ответ: 1) 2) 3)

4. Что можно сказать о множествах А={▲, ■, ●} и B={●, ▲, ■}?

5. Запишите все подмножества множества А={▲, ■, ●}.

Ответ: {▲}, {■}, {●}, {▲, ■}, {▲, ●}, {■, ●}, {▲, ■, ●}, ∅.

Индивидуально:

К-1

  1. Записать множество, перечислив его элементы: А={x | x Є N, -3≤x<7}.

  2. Записать все подмножества множества М={a; b; c}.

  3. Дано: A={3; a; b; c; 5}; B={5; d; 7; b }. Найти: 1)

  4. Дано: A={x | x2-5x+6=0}; B={x2-3x+2=0}. Найти: 1)

  5. Найти пересечение и объединение множеств А и В,
    если

К-2

  1. Записать множество, перечислив его элементы: А={x | x Є Z, -4≤x<5}.

  2. Записать все подмножества множества N={3; 5; 7}.

  3. Дано: A={k; m; c; 7; 5}; B={7; d; 6; m}. Найти: 1)

  4. Дано: A={x | x2-3x+2=0}; B={x2-7x+10=0}. Найти: 1)

  5. Найти пересечение и объединение множеств А и В,
    если

III. Формулирование темы, цели и задач урока; мотивация учебной деятельности

В повседневной жизни часто приходится выбирать что-либо из большого количества вариантов. Например, сколькими способами можно расположить в турнирной таблице 10 футбольных команд, если никакие две из них не набрали поровну очков?

Сколькими способами можно составить расписание на день из шести различных предметов для одного класса, если изучается 12 предметов?

Оказывается, подобные задачи имеют общие методы решения, с которыми вы познакомитесь при изучении комбинаторики.

IV. Восприятие и осознание нового материала

Говоря «множество», «подмножество», порядком расположения их элементов не интересуются. Говорят, что они не упорядоченные. Кроме них, нередко рассматривают и упорядоченные множества – множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают круглыми скобками.

Часто приходится рассматривать упорядоченные множества, т.е. множества, в которых каждый элемент занимает свое, вполне определенное место. Упорядочить множество – это значит поставить, какой-либо элемент множества на первое место, какой-либо другой элемент – на второе место и т.д.

Например, из элементов множества {a, b, c}можно образовать 6 трехэлементных упорядоченных множеств:

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Как множества все они равные, как упорядоченные множества – разные.

Существуют задачи, в которых нужно определить, сколько разных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами. А раздел математики о решении комбинаторных задач называют комбинаторикой.

Комбинаторика – один из разделов математики, играющий важную роль при решении некоторых современных проблем теории вероятностей, кибернетики, математической логики, теории чисел. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по теории кодов. Здесь мы познакомимся с основными понятиями и методами комбинаторики.

Много задач комбинаторики решаются с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы Если элемент некоторого множества А можно выбрать т способами, а элемент множества В - п способами, то элемент из множества А или из В можно выбрать т+п способами.

Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.

Например, на тарелке лежат 5 яблок и 9 груш. Один плод можно выбрать 5 + 9=14 способами.

Правило произведения Если первый компонент пары можно выбрать т способами, а второй - п способами, то такую пару можно выбрать способами.

Например, из 6 видов конвертов без марок и 5 видов марок один конверт и одну марку можно выбрать 65=30 (способами).

Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четверки и любые другие упорядоченные конечные множества. В частности, если первый элемент упорядоченной тройки можно выбрать т способами, второй - п способами, а третий – k способами, то такую тройку можно выбрать mnk способами.

V. Осмысление нового материала

Коллективное решение задач под руководством учителя

1. В классе 15 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами можно выбрать: а) мальчика; б) девочку; в) одного ученика этого класса; г) двух учеников – мальчика и девочку?

(Ответ: а) 15 способами; 6) 12 способами;
в) 27 способами; г) 180 способами

2. В коробке находятся 12 белых и 16 черных шаров. Сколькими способами можно вынуть: а) один шар любого цвета; б) два разноцветных шара?
Решение. а) По правилу суммы один шар любого цвета можно вынуть 12+16=28 (способами); б) по правилу произведения два разноцветных шара можно вынуть 1612 =192 (способами).

Ответ: а) 28 способами; 6) 192 способами.

3. В классе 15 мальчиков и 12 девочек. Уже выбрали одного ученика. Сколькими способами после этого можно выбрать девочу и мальчика?
Решение. Один ученик уже выбран. Тогда: а) если был выбран мальчик, то мальчиков осталось 14 и существует 14 вариантов выбора, а для девочек 12 вариантов, тогда мальчика и девочку можно выбрать 1412=168 (способами); б) если была выбрана девочка, то их осталось 11 и тогда вариантов выбора 1115=165. Итак, по правилу суммы: 168 +165 = 333 (способами).

Ответ: 333 способами.

4. Есть ткани пяти разных цветов. Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг?
Решение. Первый цвет можно выбрать пятью способами. Второй — четырьмя, третий — тремя. По правилу произведения трехцветный флаг можно сшить 543=60 (способами). Ответ: 60 способами.

5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на пять, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 5, если в каждом числе ни одна из цифр не повторяется?
Решение. Последняя цифра составленного числа должна быть 0 или 5 (признак делимости на 5). Тогда для выбора последней цифры возможны два варианта.

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами, вторую - тремя, третью - двумя.

Значит, четырехзначных чисел будет 2432 =48,

но необходимо исключить те, которые начинаются нулем, а значит, заканчиваются 5.

Вторую цифру в них можно выбрать тремя способами, третью - двумя.

То есть их будет 23 = 6. Значит, чисел, удовлетворяющих условию, будет 48–6=42.

Ответ: 42 числа.

(II-й способ)

Последняя цифра составленного числа должна быть 0 или 5 (признак делимости на 5).

Согласно правилу умножения, чисел, оканчивающихся 0, будет 4·3·2·1=24.

На первом месте не может стоять 0, значит, чисел, оканчивающихся 5 - 3·3·2·1=18.

Согласно правилу сложения, общее число способов составить из цифр 0, 1, 2, 3, 5 четырехзначное число, делящееся на 5, составляет 24+18=42.

Ответ: 42 числа.

VI. Подведение итогов урока

Фронтальная беседа
1. Что изучает комбинаторика?
2. Сформулируйте правило суммы и правило произведения, лежащие в основе решения комбинаторных задач. Приведите примеры.
3. Какое множество считается упорядоченным? Приведите пример упорядоченного конечного множества.

Индивидуально
Сколькими способами можно расставить четыре книги по алгебре и три по геометрии, чтобы все книги по геометрии стояли подряд? (Ответ: 720.)

VII. Домашнее задание

§ 17 повторить, §18 прочитать, ответить на вопросы (стр. 140), выучить определения; выполнить № 607, 610, 623 (по учебнику Бевз Г.П. Математика 11 кл. (уровень стандарт))

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
11 кл. Конспект урока "Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения"
  • Додано
    22.02.2018
  • Розділ
    Алгебра
  • Клас
    11 Клас
  • Тип
    Конспект
  • Переглядів
    8035
  • Коментарів
    0
  • Завантажень
    0
  • Номер матеріала
    FS371784
  • Вподобань
    0
Курс:«Протидія шкільному насильству»
Черниш Олена Степанівна
72 години
2700 грн
390 грн
Свідоцтво про публікацію матеріала №FS371784
За публікацію цієї методичної розробки Оліфіровська Надія Миколаївна отримав(ла) свідоцтво №FS371784
Завантажте Ваші авторські методичні розробки на сайт та миттєво отримайте персональне свідоцтво про публікацію від ЗМІ «Всеосвіта»
Шкільна міжнародна дистанційна олімпіада «Всеосвiта Зима – 2018-2019»

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти