і отримати безкоштовне
свідоцтво про публікацію
! В а ж л и в о
Предмети »

Девятикласники в гостях у числа 2019

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Василь Серветник

Девʼятикласники

в гостях

у числа

Тема 1. Нерівності

1.1. При яких х і у виконується нерівність: 2019 у2 ≥ 20 х у – 19 х2 ?

Розв’язання

2019у2≥20ху–19х2; 18х22-20ху+(10у)2+1919у2≥0;

18х2+(х-10у)2+1919у2≥0.

Відповідь. Ця нерівність виконується при будь-яких х і у.

1.2. Знайти найменше ціле х, що задовольняє нерівності: .

Розв’язання

Зрозуміло, що відповідь слід шукати серед відʼємних чисел. Тому вказана нерівність переписується для відʼємних чисел таким чином: х2≤2019, звідки -44≤х<0.

Відповідь. -44.

1.3. Знайти найменше ціле х, що задовольняє нерівності: .

Розв’язання

Відповідь. -2018.

1.4. Знайдіть найменше натуральне число, що не є розвʼязком нерівності 20х<2019.

Розв’язання

х<2019:20, х<100,95.

Відповідь. 101.

1.5. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання

1) Якщо х ≥ 2019, то 2х = 2018 + 4038; х = 3028;

2) якщо х < 2019, то 2х = 2020; х = 1010.

Відповідь. 1010; 3028.

1.6. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання

1) Якщо х ≥ 2019, то х + 2018 ≤ х -2019, розв’язків немає;

2) якщо 2018 ≤ х < 2019, то х + 2018 ≤ -х +2019, розв’язків немає;

3) якщо -2018 ≤ х < 2018, то х + 2018 ≤ -х +2019; х ≤ 0,5;

4) якщо х < -2018, то -х - 2018 ≤ -х +2019; х – будь-яке число з цього проміжку.

Відповідь. .

1.7. Розвʼяжіть нерівність

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна такій сукупності:

.

Відповідь. .

1.8. Знайдіть натуральні розвʼязки нерівності: 2016<<2019.

Розв’язання

Піднесемо нерівність до квадрату 20162<n(n+1)<20192. Очевидно, що n>2016 та n+1<2019. Таке натуральне число є одне: 2017.

Відповідь. 2017.

1.9. Знайдіть всі цілі розв’язки нерівності:

Розв’язання

Нехай (х; у) – розв’язок нерівності. Тоді з умови задачі слідує, що |х–3у|<1.

Оскільки х і у – цілі числа, то х=3у. Підставимо цей результат у вихідну нерівність, тоді:

Звідси |6у–5,5|<1 або -1<6у–5,5<1, звідки .Отже, у=1, тоді х=3.

Перевіркою переконуємося, що (3;1) є розв’язком даної нерівності.

Відповідь. (3;1).

1.10. Доведіть, що для довільних дійсних чисел виконується нерівність

х2-2ху+2019у2≥0.

Доведення

х2-2ху+2019у2=(х-у)2+2020у2≥0. Що й треба було довести.

1.11. Доведіть, що < 1.

Доведення

Що й треба було довести.

1.12. Відомо, що х і у додатні числа, причому х+у=2019. Знайдіть найбільше значення добутку ху. Для яких х і у цей добуток максимальний?

Розв’язання

Оскільки , то маємо Звідси ху тобто найбільше значення і цей добуток максимальний, якщо х=у==1004,5.

Відповідь. 1004,5.

1.13. Який дріб більший:

Розв’язання

Помічаємо, що

Тому, .

Але , бо , а Крім того,

Відповідь. Більшим є другий дріб.

1.14. Яке з чисел більше: чи ?

Розв’язання

Позначимо х=102018>0 і розглянемо різницю:

Відповідь. Перше число більше.

1.15. Яке з чисел більше: чи ?

Розв’язання

Позначимо для зручності через п число 192018.

Задані числа матимуть вигляд: і .

Щоб з’ясувати, яке з цих чисел більше, розглянемо їх відношення:

:=

Це відношення більше за 1. Отже, перше з чисел більше, ніж друге.

1.16. Порівняйте числа: та .

Розв’язання

Нехай 72018=t, тоді

Відповідь. Перше число більше.

1.17. Що більше: 20202018·20182020 чи 20192·2019?

Розв’язання

Позначимо перше число через А, друге – через В і розглянемо їх відношення:

звідки А<В.

Відповідь. Більше друге число.

1.18. Скільки різних цілочисельних розв’язків має нерівність |х|+|у|≤2019 ?

Розв’язання

Кількість цілочисельних розв’язків нерівності |х|+|у|≤п дорівнює числу точок з цілими координатами, які належать квадрату з вершинами в точках (п; 0), (0; п), (-п; 0), (0; -п). Кількість таких розв’язків дорівнює п2+(п+1)2.

При п=2019 маємо 20192+20202=4076361+4080400=8156761.

Відповідь. 8 156 761.

1.19. Доведіть нерівність:

Доведення

.

Другий співмножник у цій рівності – це сума 2019 доданків, кожний з яких більший від 1. Отже, добуток буде більшим від Що й треба було довести.

1.20. Доведіть нерівність: , де в лівій частині нерівності 2019 двійок і шісток.

Доведення

Перший доданок лівої частини менший 2, а другий – менший 3:

Отже, , що й треба було довести.

1.21. Для додатних чисел а, b доведіть нерівність:

.

Доведення

З нерівності між середніми, яку ми використовуємо двічі, маємо, що

= Що й треба було довести.

1.22. Відомо, що числа х1, х2, х3, … , х2019 – додатні і їх добуток дорівнює 1. Доведіть, що виконується нерівність (1+х1)(1+х2)…(1+х2019)≥22019.

Доведення

За нерівністю Коші для двох невідʼємних чисел:

, , , .

Перемножимо ліві та праві частини даних нерівностей:

(1+х1)(1+х2)…(1+х2019)≥22019·

Нерівність доведено.

1.23. Доведіть, що при всіх допустимих невідʼємних х1, х2, х3, … , х2019

Доведення

Область визначення: хі є[0;1]. Скористаємося нерівністю про середнє арифметичне і середнє геометричне і зауваживши, що (хі)2- хі≤0, отримаємо

Покажемо, що не може досягати рівність. Рівність можлива лише тоді, коли, по-перше, кожна змінна дорівнює або 0, або 1, і, по-друге, виконуються такі співвідношення, які випливають із застосування нерівності про середнє арифметичне і геометричне:

Якщо х1=0, то х2=1, х3=0, … , х2019=0. Отримуємо протиріччя з останньою рівністю. Таким чином, рівність досягатися не може.

1.24. Розвʼяжіть рівняння:

Розв’язання

Перепишемо рівняння в такому вигляді: │х+1│+│х-2019│=2020-у2020. Права частина цього рівняння додатна, а тому й права повинна бути додатною: 2020-у2020≥0. З іншого боку, оскільки у2020≥0, то 2020-у2020≤2020.

Оцінимо ліву частину рівняння: │х+1│+│х-2019│≥│(х+1)-(х-2019)│=2020. Отже, │х+1│+│х-2019│≥2020.

Рівність досягається за умови, що обидві частини дорівнюють 2020. Відповідь. у=0,хє[-1;2019].

1.25. Довжини катетів прямокутного трикутника – цілі числа. Один з катетів на 7 більший за другий, а площа не перевищує 2019. Скільки є таких трикутників?

Розв’язання

Нехай х – менший катет, тоді (х+7) – другий катет. Маємо нерівність х(х+7):2≤2019; х2+7х≤4038, х2+7х-4038≤0, D=49+4·4038=49+16152=16201, х1,2≈(-7±127):2, х1≈60, х2≈-67,

Відповідь. 60 трикутників.

1.26. Числа 22019 і 52019записані одне за одним і утворюють нове число. Скільки цифр при цьому було використано?

Розв’язання

Нехай при десятковому записі числа 22019 було використано m цифр, а числа 52019 – n цифр, тобто 10m-1<22019<10m, 10п-1<52019<10п. тоді перемноживши дані нерівності отримаємо 10т+п-2<102019<10т+п, звідки

т+п-1=2019 або т+п=2020.

Відповідь. 2020 цифр.

1.27. Числа а, b, с задовольняють нерівності mах (а,b)+ mах(с,2018)= mіп(а,с)+ mіп(b,2019). Доведіть, що b≥с.

Доведення

І спосіб. Очевидно, що mах(а,b)≥ mіп(а,с), бо перше з цих чисел не менше за а, а друге – не більше за а. тому mах(с,2018)≤ mіп(b,2019). Замінюючи ліву частину цієї нерівності на с (від цього вона не збільшується), а праву частину – на b (від цього вона не зменшується), отримуємо потрібну нерівність с≤b.

ІІ спосіб. Додавши очевидні нерівності mах(а,b)≥b і mах(с,2018)≥с, отримуємо, що ліва частина даної в умові рівності не менша від b+с. додавши нерівності mіп(а,с)≤с і mіп(b,2019)≤b, отримуємо, що права частина не більша від b+с. але ліва частина дорівнює правій, тому в усіх нерівностях, які ми додавали, досягається рівність. Зокрема, mах(а,b)=b, звідки b≥а, і mіп(а,с)=с, звідки с≤а. значить, b≥а≥с.

Зауваження. Умова задачі рівносильна системі нерівностей 2018≤с≤а≤b≤2019. Доведення аналогічне ІІ способу.

Тема 2. Функції

2.1. Для функції f(х)=ах2+bх+с виконується умова 2019+а2+ас<аb. Доведіть, що ця функція має два нулі.

Доведення

З умови задачі очевидно, що а≠0. Тепер умову задачі перепишемо таким чином: а2-аb+ас=а(а-b+с)<-2019<0 або а(а-b+с)=а·f(-1)<0.

Тепер, якщо а>0, тобто вітки параболи направлені вгору, то f(-1)<0 і парабола має два нулі, аналогічно при а<0. Твердження доведено.

2.2. Побудувати графік функції

Розв’язання

D(у)=, тоді f(х)=х2+2018х-2018х-2019=х2-2019. Графіком є парабола, опущена на 2019 одиниць вниз.

Тема 3. Числові послідовності. Прогресії

3.1. 1010-й член арифметичної прогресії дорівнює 0. Знайдіть суму перших 2019 членів цієї прогресії.

Розв’язання

Оскільки 1010-й член арифметичної прогресії знаходиться посередині перших 2019 членів, то попарні суми рівновіддалених від а1010 членів будуть рівні, тобто а1201922018=…=а100910111010. За умовою а1010=0. Отже, сума всіх 2019 членів дорівнює 0.

Відповідь. 0.

3.2.n) арифметична прогресія з різницею 1. Відомо, що S2019 – найменша із всіх Sn (менше за суму перших n членів для будь-якого іншого значення n). Які значення може приймати перший член прогресії?

Розв’язання

Оскільки різниця прогресії додатна, то прогресія – зростаюча. Тому, описана ситуація можлива тоді і тільки тоді, коли члени прогресії починаючи від першого до 2019-го – відʼємні, а починаючи з 2020-го – додатні. Таким чином, S2019 буде найменшою, тоді і тільки тоді, коли а2019<0, а2020>0. Звідси отримуємо систему нерівностей:

-2019<а1<2018.

Відповідь. ає(-2019;-2018).

3.3. Функція

А) Знайдіть значення .

Б) Побудуйте графік функції у=.

Розв’язання

А)

Б) Графіком функції є «кутик», зміщений на одну одиницю вгору.

3.4. Перший член числової послідовності дорівнює 1, кожний із двох наступних дорівнює 2, кожний із трьох наступних дорівнює 3 і т.д. чому дорівнює 2019-й член цієї послідовності?

Розв’язання

2019-й член послідовності дорівнює найменшому натуральному числу п, для якого 1+2+…+п=2019. Остання нерівність рівносильна нерівності п2+п-4038. Розвʼязком даної квадратної нерівності (враховуючи, що п - натуральне) є п≥ Отже, останній член послідовності дорівнює 64.

Відповідь. 64.

3.5. Послідовність (аn) задається так: а1=7, аn+1 – сума цифр числа (аn)2. Знайдіть а2019.

Розв’язання

а1=7, (а1)2=49, а2=4+9=13,

а2=13, (а2)2=169, а3=1+6+9=16,

а3=16, (а3)2=256, а4=2+5+6=13,

а4=13, (а4)2=169, а5=1+6+9=16,

а5=16, (а5)2=256, а6=13, … і т.д.

Отже, анепарне=16 і апарне=13, тому а2019=16.

Відповідь. 16.

3.6. Послідовність чисел починається з 7. Далі кожне наступне число – це сума цифр його квадрата, яка збільшена на 1. Знайдіть число, яке буде написано на 2019-му місці.

Розв’язання

Якщо перше число 7, то друге знайдемо по заданому правилу:

72 = 49, 4 + 9 + 1= 14. Наступне число буде: 142 = 196, 1 + 9 + 6 + 1 = 17. Наступне число: 172 = 289, 2 + 8 + 9 + 1= 20 і т.д.

Обчислимо ще декілька членів даної послідовності:

7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5, 8, 11, 5, …

Отже, починаючи з п’ятого члена послідовності, буде повторюватись одна й та сама трійка чисел 5, 8, 11.

Оскільки 2019 – 4 = 2015, а число 2015 при діленні на 3 дає остачу 2, то на 2019-му місці стоїть число 8.

Відповідь. 8.

3.7. Перше число послідовності дорівнює 3, а кожне наступне – сумі цифр куба попереднього числа. Знайдіть 2019-й член послідовності.

Розв’язання

а1=3, (а1)3=27, а2=2+7=9,

а2=9, (а2)3=729, а3=7+2+9=18,

а3=18, (а3)3=5832, а4=5+8+3+2=18.

Всі наступні члени дорівнюють 18.

Відповідь. 18.

3.8. Перше число а, друге число b, третє число дорівнює різниці між другим і першим, четверте – різниці між третім і другим і т.д. Яке число стоїть на 2019-му місці?

Розв’язання

Послідовність чисел має вигляд: а, b, b – а, - а, - b, а – b, а, b, b - а, тобто періодична з періодом 6.

Оскільки 2019 = 6 · 336 + 3, то на 2019-му місці стоїть число b-а.

Відповідь. b-а.

3.9. Сім натуральних чисел виписані в ряд. Кожне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх чисел. Яке максимально можливе значення може приймати перше число, якщо останнє дорівнює 2019?

Розв’язання

Нехай перше число дорівнює х, а друге – у. тоді третє число дорівнює х+у, четверте – х+2у, пʼяте - 2х+3у, шосте - 3х+5у, сьоме - 5х+8у. отже, 5х+8у=2019.

Якщо х максимальне, то у мінімальне. Тобто нам треба знайти таке найменше у, щоб число 2019-8у ділилося на 5 (бо х - натуральне). Числа у=1; 2 не підходять. А при у=3 отримуємо відповідь х=399.

Відповідь. 399.

3.10. Послідовність чисел починається з х1 = 2019, а кожне наступне число отримується з попереднього за правилом . Знайти х20 19.

Розв’язання

.

Отже, х1 = х4, тоді х5 = х2, х6 = х3, і т. д. Оскільки число 2019 кратне числу 3, то х2093 = х3 і

Відповідь.

3.11. Нехай у≠±1 і у≠0. Відомо, що , , , … .чому дорівнює у, якщо ?

Розв’язання

Маємо ;

;

Отже, , , , … . Оскільки 2019=4·504+3,то Тоді , у+1=2019-2019у, 2020у=2018, у=.

Відповідь. .

3.12. Дано нескінченний ряд чисел: 2; 6; 12; 20; 30; 42; … . Вкажіть закономірність і знайдіть число, яке стоїть на 2019-му місці.

Розв’язання

Зауважимо, що різниця між другим і першим числом: 4=2·2, між третім і другим числом: 6=2·3, між четвертим і третім 8=2·4, і т.д., тобто різниця між сусідніми числами збільшується на 2. Отже, різниця між 2019-им і 2018-им числом дорівнює 2·2019.

Таким чином, 2019-е число відрізняється від першого на S=2·2+2·3+2·4+…+2·2019. Отже, 2019-е число дорівнює 2+S=2+2·2+2·3+2·4+…+2·2019=2·(1+2+3+…+2019)=2·(1+2019)·2019:2=

=2019·2020=4078380.

Відповідь. 4078380.

3.13. Перший член послідовності дорівнює 2019. Кожний наступний дорівнює сумі цифр попереднього, помноженій на 19. Знайдіть 2019-ий член послідовності.

Розв’язання

Обчислимо декілька перших членів послідовності. Отримаємо: а1=2019; а2=(2+0+1+9)·19=12·19=228; а3=(2+2+8)·19=12·19=228. Оскільки при обчисленні кожного наступного числа використовується тільки попереднє число, то далі члени послідовності будуть повторюватися. Тому а2019=228.

Відповідь. 228.

3.14. Знайдіть суму: 12-22+32-42+…+20172-20182+20192.

Розв’язання

12-22+32-42+…+20172-20182+20192=12+(32-22)+(52-42)+…+(20192-20182)=

=1+5+9+13+…+4037=(1+4037):2·1010=2019·1010=2039190.

Відповідь. 2039190.

3.15. Знайдіть суму: 1+2·2+3·22+4·23+…+2019·22018.

Розв’язання

Нехай шукана сума дорівнює S, тобто S=1+2·2+3·22+4·23+…+2019·22018. Тоді 2S=1·2+2·22+3·23+4·24+…+2019·22019.

Віднімемо від другої рівності першу:

2S-S=(1·2+2·22+3·23+4·24+…+2019·22019)-(1+2·2+3·22+4·23+…+2019·22018)=

=-1+2(1-2)+22(2-3)+23(3-4)+24(4-5)+…+22018(2018-2019)+2019·22019;

Тоді S=-1-2-22-23-24-…-22018+2019·22019;

S=2019·22019-(1+2+22+23+24+…+22018).

В дужках маємо геометричну прогресію, в якій b1=1, q=2, п=2019. Маємо S=2019·22019-2019·22019-(22019-1)=2019·22019-22019+1=

=22019(2019-1)+1=2018·22019+1.

Відповідь. 2018·22019+1.

3.16. Знайдіть суму: 9+99+999+…+. Скільки разів у підсумковому результаті записана цифра 1?

Розв’язання

Перетворимо вираз: 9+99+999+…+=(10-1)+(100-1)+…+(102019-1)=

=0-2019=

Отже, цифра 1 записана 2015-1=2016 разів.

Відповідь. 2016 разів.

3.17. У перший квадрат вписано перше коло, у коло вписано другий квадрат і в нього – друге коло і т.д. Знайдіть відношення площі першого квадрата до площі 2019-го.

Розв’язання

Сторона будь-якого квадрата з описаної послідовності дорівнює діагоналі наступного, тому що обидві вони дорівнюють діаметру проміжного кола. Відношення сторін послідовних квадратів є , а відношення площ дорівнює Тоді шукане відношення дорівнює 22018.

Відповідь. 22018.

Тема 4. Правильні многокутники

4.1. Правильний 2019-кутник розбили діагоналями, які не перетинаються, на трикутники. Доведіть, що серед них тільки один гострокутний.

Доведення

Коло, описане навколо правильного 2019-кутника, є описаним і для будь-якого з утворених трикутників. Оскільки центр кола, описаного навколо правильного 2019-кутника, не належить ніякій діагоналі, то він потрапить усередину якогось одного трикутника. Цей трикутник і буде гострокутним. Усі інші трикутники будуть тупокутними, оскільки центр описаного навколо такого трикутника кола знаходиться зовні нього.

4.2. Правильний 2019-кутник розрізали діагоналями, які не перетинаються, на трикутники (таке розрізання називається тріангуляцією). Чи існує тріангуляція, яка містить прямокутний трикутник?

Розв’язання

Оскільки будь-який правильний многокутник є вписаним, то всі трикутники розбиття вписані в одне спільне коло. Але якщо трикутник прямокутний, то центр його описаного кола повинен співпадати з серединою гіпотенузи. Таким чином, вершини при гострих кутах прямокутного трикутника, якщо такий існує, повинні бути діаметрально протилежні, але згідно непарності кількості вершин нашого правильного многокутника таких вершин не буде.

Відповідь. Не існує.

4.3. На шкільному математичному вечорі Незнайко заявив, що довів нову теорему: «Якщо в шестикутнику, вписаному в коло, всі кути рівні, то такий шестикутник правильний». «Подумаєш, у шестикутнику, - втрутився Невмійко. – Я можу довести аналогічну теорему навіть для 2019-кутника». Доведіть або спростуйте їхні твердження.

Розв’язання

Для шестикутника дане твердження неправильне. Наприклад, якщо А, С, Е та В, D, Н – вершини правильних трикутників, АВ≠ВС, то АВСDЕН, у якого всі кути рівні, не є правильним. Для 2019-кутника твердження правильне. Нехай А, В, С, D – чотири послідовних його вершини. Тоді ΔАВС=ΔDСВ за рівними двома відповідними кутами та спільною стороною ВС. Отже, також АВ=СD. А тому всі сторони, взяті через одну, теж рівні. Але, обійшовши таким чином по колу, одержимо, що й сусідні сторони рівні.

4.4. Учень Незнайко вирішив намалювати опуклий 2019-кутник, всі кути якого виражаються цілим числом градусів. Допоможіть йому.

Розв’язання

Сума зовнішніх кутів довільного опуклого многокутника дорівнює 360°. Якщо вони виражаються цілим числом градусів, то многокутник не може мати більше, як 360 кутів.

Відповідь. Не існує такого многокутника.

4.5. Чи існує 2019-кутник, сторони якого послідовно дорівнюють 1, 2, 3, …, 2019, і в який можна вписати коло?

Розв’язання

Припустимо, що такий многокутник існує, і А, В, С є відповідно точками дотику вписаного в нього кола до сторін А2018А2019=2018, А2019А1=2019 та А1А2=1. Тоді ВА2019=АА2019<1, А2019А1=ВА2019+ВА1<2019. Отримане протиріччя доводить неможливість існування вказаного многокутника.

4.6. Знайдіть суму зовнішніх кутів опуклого 2019-кутника.

Відповідь. 360°.

Тема 5. Декартові координати на площині

5.1. У декартовій площині задано трикутник з вершинами в точках А(2018;2018), В(2019;2020), С(2020;2019). Знайдіть площу трикутника.

Розв’язання

Для зручності зробимо паралельне перенесення трикутника на вектор (-2018;-2018) (паралельне перенесення зберігає рівність фігур і рівність їх площ). Для вершин отриманого трикутника збережемо ті ж позначення: А(0;0), В(1;2), С(2;1).

Впишемо ΔАВС у прямокутник зі сторонами, паралельними координатним осям, з вершинами в точках А(0;0), D(0;2), Е(2;2), F(2;0). Площа прямокутника АDЕF становить 2·2=4 (квадратних одиниць). Трикутник АВС одержимо, вирізавши з АDЕF трикутники АDВ, АFС, ВЕС, площі яких становлять 1, 1 і 0,5. Відповідно до цього знайдемо площу трикутника АВС: 4-2,5=1,5 (квадратних одиниць).

Відповідь. 1,5 квадратних одиниць.

Тема 6. Симетрична стратегія в ігрових задачах

6.1. 2019 виноградинок викладені одна за одною. Дівчинка та хлопчик беруть по черзі або одну, або дві сусідні виноградинки. Розпочинає дівчинка. Хто виграє при правильній грі?

Розв’язання

Виграє дівчинка, якщо вона зʼїсть центральну виноградинку, яка лежить на 1010-му місці, а потім братиме виноградинки, симетричні тим, які візьме хлопчик.

Відповідь. Виграє дівчинка.

6.2. Дано смужку розміром 1х2019.двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід потрібно закреслити одну довільну клітинку смужки або деякі дві послідовні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш – перший гравець чи його суперник?

Розв’язання

Перемогу може забезпечити собі перший гравець. Першим ходом він закреслює 1010-ту (центральну) клітинку, а потім повторює ходи суперника симетрично відносно неї.

Відповідь. Виграє перший гравець.

6.3. На папері в рядок написані 2019 мінусів. Двоє гравців по черзі виправляють один чи два сусідніх мінуса на плюси. Виграє той, хто виправить останній мінус. Хто виграє в цій грі і як йому треба діяти?

Вказівка

Виграє перший, якщо буде ходити так, щоб після кожного виправлення розташування плюсів було симетричним відносно середини заданого рядка.

6.4. Заданий квадрат 2019х2019. Двоє грають в таку гру. Вони по черзі зʼєднують вузли сітки квадрату відрізками, причому зʼєднувати можна лише ті вузли, що належать одному квадрату 1х1 по стороні чи по діагоналі. Відрізки не повинні мати спільних точок. Програє той, хто не може зробити чергового ходу. Хто перемагає при правильній грі обох?

Розв’язання

Перший гравець виграє завдяки симетричній стратегії. Спочатку він зʼєднує по діагоналі дві вершини центрального квадрату, а далі просто притримується обраної стратегії.

Відповідь. Виграє перший.

6.5. Два гравці записують по черзі числа 1 і -1 в одиничні клітинки таблиці розміром 2019х2019. Після того, як всі клітинки заповнені, для кожного рядка, стовпця і двох діагоналей таблиці підраховується добуток чисел, які там записані. Доведіть, що гравець, який робить перший хід, може грати так, щоб серед цих добутків було рівно 2019 відʼємних.

Розв’язання

Оскільки число 2019 непарне, то існує клітинка, яка є центром симетрії даної таблиці. Для кожної іншої клітинки існує клітинка, симетрична з нею відносно центра таблиці.

Шуканою стратегією є така: перший гравець ставить -1 в центральну клітинку. Якщо другий гравець записує в деяку клітинку певне число, то перший гравець записує протилежне число в клітинку, яка симетрична клітинці другого гравця відносно центральної клітинки.

Далі перший гравець контролює гру так, щоб серед утворених добутків було рівно 2019 відʼємних.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу

Опис документу:
Набір нестандартних задач для підготовки учнів до олімпіад

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Курс:«Правове регулювання освіти осіб з особливими потребами»
Байталюк Ольга Михайлівна
24 години
490 грн
245 грн

Бажаєте дізнаватись більше цікавого?


Долучайтесь до спільноти