Числові множини

Опис документу:
Готуємось до олімпіади. Приклади розв'язаних задач. Завдання для самостийного розв'язування.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Перегляд
матеріалу
Отримати код Поділитися

Числові множини

Поняття про множину. Елементи множини, підмножини, знаки вклю­чення. Операції над множинами. Порівняння множин, еквівалентність нескінченних множин, поняття потужності, приклади. Числові множини.

Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі, як сукупність деяких предметів, об’єднаних за довільною характеристичною властивістю. Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової системи, множина натуральних чисел.

Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, a = 8 – елемент множини цифр десяткової нумерації. Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини. При цьому порядок запису елементів не має значення.

Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою А і записати так:

А={1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}.

Числовими називаються множини, елементами яких є числа. Множина натуральних чисел – N, множина цілих чисел – Z. Належність предмета даній множині позначається символом є. Наприклад, число 7 є N.

Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині кількість елементів можна порахувати. Наприклад, множина А містить десять елементів. У нескінченній множині – нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої – нескінченні множини.

Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом .

Над множинами виконуються певні операції (дії).

1) Перерізом множин А і В (АВ) називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В.

2) Об’єднанням (або сумою) двох множин А і В (АUВ) називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.

Дуже важливими для практичних задач є формули підрахунку кількості різних елементів у декількох множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості елементів в об’єднанні двох або трьох множин.

Кількість елементів об’єднання n(А+В) будь-яких двох скінченних множин А і В обчислюється за формулою:

n(А+В) = n(А) + n(В) –n(АВ).

Для будь-якої трійки скінченних множин А1, А2, А3 має місце формула кількості елементів множини n(А1+А2+А3), що є об’єднанням трьох множин, тобто

n(А1+А2+А3)=n(А1)+n(А2)+n(А3)–n(А1А2)–n(А1А3)–n(А2А3)+n(А1А2А3).

Деякі задачі математики розв’язуються за допомогою цих формул і кругів Ейлера. За допомогою них зручно відображати відношення між множинами.

Приклад 1. В класі 35 учнів. З них 20 - займаються в математичному гуртку, 11 – в біологічному, а 10 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюється математикою?

Розв’язання

Зобразимо круги Ейлера на малюнку:

М – математики, Б – біологи, МБ – математики-біологи.

Як бачимо, 6 біологів захоплюється математикою.

35 – 10 = 25 (учн.)

(20+11) – 25 = 6 (учн.)

Відповідь: 6 біологів захоплюється математикою.

Приклад 2. У кондитерському відділі супермаркету покупці купують або один торт, або коробку цукерок. Одного дня було продано 62 тортів та 48 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 21 з них придбали і торт, і коробку цукерок?

Розв’язання

Використаємо принцип суми:

62 + 48=110(п.)

110 - 21 = 89(п.)

Відповідь: 89 покупців.

Приклад 3. У класі навчається 42 учні. Із них 16 відвідують секцію легкої атлетики, 24 – футбольну, 15 – шахову, 8 – з легкої атлетики і шахову, 11 – з легкої атлетики і футболу, 12 – футбольну і шахову, а 6 – усі три секції. Решта учнів займається туризмом. Скільки учнів займається туризмом?

Розв’язання

16 + 24 + 15 – 11 – 12 – 8 + 6 = 30 (учн.)

42 – 30 = 12 (учн.) – займається туризмом.

Відповідь: 12 учнів займається туризмом.

Приклад 4. В піонерському таборі 70 дітей. З них 27 займаються в драмгуртку, 32 – співають в хорі, 22 – займаються спортом. В драмгуртку 10 дітей з хору, в хорі – 6 спортсменів, в драмгуртку – 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують драмгурток і хор. Скільки дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку? Скільки дітей займаються лише спортом?

Розв’язання

Зобразимо на малюнку круги Ейлера. Д – драмгурток, Х – хор, С – спортсмени.

10 дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку, 11 дітей займаються тільки спортом.

27+32+22-10-6-8+3=60 (д.)

70-60=10 (д.)

Відповідь: 10 дітей не займається у гуртках, 11 дітей займається тільки спортом.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Кожен учень ліцею вивчає або англійську, або французьку мову. Англійську мову вивчають 250 учнів, французьку – 270, а обидві мови – 180 учнів. Скільки учнів у ліцеї?

(340) 2. У чотирьох сьомих класах 100 учнів, з них співають - 45, танцюють – 65, співають і танцюють – 25 учнів. Скільки учнів не володіють жодним видом мистецтва?

(15) 3. У спортивному таборі 65 дітей вміють грати в футбол, 70 – у волейбол і 75 – у баскетбол. Всього дітей у таборі 100. Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол? (55)

4. У групі зі 100 туристів 70 знають англійську мову, 45 – французьку і 23 – знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?

(8)

5. В одній родині було багато дітей. 7 з них любили капусту, 6 – моркву, 5 – горох. 4 – любили капусту та моркву, 3 – капусту та горох, 2 – моркву та горох, 1 – і капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було у родині? (10)

6. Серед учнів нашого класу проводили опитування щодо улюблених жанрів фільмів. Усього в класі 38 учнів. Фантастичним фільмам надає перевагу 21 учень, серед яких троє полюбляють ще й комедії, шестеро — мультфільми, а один — усі три жанри. Комедії подобаються 13 учням, серед яких п'ятеро вибрали одразу два жанри. Скільки учнів полюбляють мультфільми?

(8)

7. Із 35 учнів одного класу за підсумками навчального року 10 балів з математики мали 14 учнів, з фізики – 15, з хімії – 18, з математики та фізики – 7, з математики та хімії – 9, з фізики та хімії – 6, з усіх трьох – 4. Визначити, скільки учнів :

А) не мають жодної оцінки 10 балів хоча б з одного з цих предметів;

Б) хоча б одну оцінку 10 балів із цих предметів;

В) оцінку 10 балів хоча б із двох з перелічених предметів;

Г) оцінку 10 балів рівно з двох цих предметів.

(6; 29; 14; 10)

8. Скільки чисел серед перших 100 натуральних не ділиться ані на 2; ані на 3; ані на 5 ?

(26)

9. У футбольній команді «Динамо» 30 гравців, серед яких 18 нападаючих, 11 півзахисників, 17 захисників і воротарі. Відомо, що троє можуть бути півзахисниками і захисниками, 10 захисниками і півзахисниками, 6 нападаючими і захисниками, а 1 і нападаючим, і захисником, і півзахисником. Воротарі не замінимі. Скільки в команді «Динамо» воротарів?

(2)

10. У класі 30 учнів. 20 з них кожного дня користуються метро, 15 – автобусом, 23 – тролейбусом, 10 – і метро, і тролейбусом, 12 – і метро, і автобусом, 9 – і тролейбусом, і автобусом. Скільки учнів користуються усіма трьома видами транспорту?

(3)

11. У школі відбулися три олімпіади. З’ясувалося, що в кожній з них брали участь по 50 школярів. При цьому 60 учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів – рівно на дві. Скільки учнів брали участь у всіх трьох олімпіадах?

(10)

Зверніть увагу, свідоцтва знаходяться в Вашому особистому кабінеті в розділі «Досягнення»

Всеосвіта є суб’єктом підвищення кваліфікації.

Всі сертифікати за наші курси та вебінари можуть бути зараховані у підвищення кваліфікації.

Співпраця із закладами освіти.

Дізнатись більше про сертифікати.

До ЗНО з АНГЛІЙСЬКОЇ МОВИ залишилося:
0
3
міс.
0
5
дн.
1
9
год.
Готуйся до ЗНО разом із «Всеосвітою»!