Андрій Євгенович народився в селі Максимівці, Полтавської області в селянській сім'ї.
Про період його життя до 30-ти років (до 1917) відомо лише що він здобув педагогічну освіту і займався викладацькою діяльністю.
У пореволюційний час викладав українську мову в школі, а на дозвіллі занотовував скарби народної творчості.
1929 року у Полтаві вийшла друком «Збірка українських приказок та прислів'їв», де він був одним зі збирачів матеріалу та його упорядником.
Виступаючи також як прозаїк, друкував у пресі оповідання, вірші, драматичні твори.
1938 року вийшов його «Збірник вправ з орфографії» для школярів.
На початку війни Радянського Союзу із гітлерівською Німеччиною А. Багмету було вже 54 роки.
У книзі Віктора Ревегука[2], де він посилається також на В. Сергійчука[3] містяться відомості про участь вчителя Андрія Багмета у діяльності управи Українського Червоного Хреста за часів німецької окупації Полтави. Після ліквідації німцями Полтавської управи УЧХ у липні 1942 року, деякі його функції перебрав благодійний відділ Полтавської міської управи, до якого перейшла і частина співробітників Полтавської управи УЧХ. Його співробітники, як після звільнення Полтави вважали представники НКВС, проводили «контрреволюційну націоналістичну агітацію» серед радянських військовополонених і цивільного населення та намагалися залучити до підпілля ОУН українську інтелігенцію. Заарештований енкаведистами П. Харченко на допиті 20 жовтня 1943 року показав, що особлива увага зверталася ними на пропаганду ідей української державності серед селянства. З цією метою в села виїжджали вчителі Андрій Багмет і Олександр Дигас, О. Потульницька та ін. Після відновлення радянської влади на Полтавщині ті з українських патріотів, які врятувалися від фашистів і не виїхали на захід, опинилися в застінках НКДБ. У жовтні 1943 року чекістами були заарештовані П. Марченко, С. Грига, А. Багмет та ін. Можливо, тут йдеться про А. Багмета.
Після війни А. Багмет викладав українську мову в Полтавському педагогичному інституті та деякий час у Херсоні. Лише 1956 року вийшов на пенсію, жив у Полтаві. Свій вільний час віддавав словникарській роботі. Значним явищем української лексикографії став укладений ним синонімічний словник української мови, що в 1959—1962 роках друкувався в журналі «Вітчизна» під назвою «Матеріали до синонімічного словника української мови». Друкування не було доведене до кінця. Продовження цієї праці з'явилося в журналі «Україна» з подачі Д. Гринька і тривало протягом 1969—1971 років і теж не завершене.
Обидві ці публікації згодом були зведені докупи і видані 1982 року в діаспорі, у США, під назвою «Словник синонімів української мови» (Наукове товариство імені Т. Шевченка, серія «Пам'ятки української мови й літератури», Т. IX). У цьому виданні передруковано також передмову М. Рильського, вміщену у журналі «Вітчизна» (1959), та передмову з журналу «Україна» (1969). Помер у Полтаві, похований на міському кладовищі.
