Зовнішній кут трикутника та його властивості. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника

У трикутнику навпроти більшої сторони лежить більший кут.

Доведення

Нехай у трикутнику ABC сторона AB більша від сторони AC.

Доведемо, що∠ C>∠ B.

1. Відкладемо на стороні AB відрізок, рівний стороні AC.

△CAD — рівнобедрений.

2. Оскільки AD<AB, то точка D лежить між точками A і B.

Отже, кут 1 є частиною кута C і, відповідно:
 

∠ C>∠ 1

3. Кут 2 — зовнішній кут трикутника BDC, тому ∠ 2>∠ B.

∠ 1=∠ 2 (оскільки це кути при основі рівнобедреного трикутника ADC)

Отже, ∠ C>∠ 1=∠ 2>∠ B.             

Звідси випливає, що ∠ C>∠ B.

Правильною є і обернена теорема.

У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона.

Висновок 1. Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений (ознака рівнобедреного трикутника).

Висновок 2. Якщо три кути трикутника рівні, то трикутник рівносторонній.

Висновок 3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета.

Висновок 4. У тупокутному трикутнику сторона, яка лежить проти тупого кута, найбільша.

Нерівність трикутника

Кожна сторона трикутника менша, ніж сума двох інших сторін.

Доведення

Розглянемо трикутникABC і доведемо, що AB<AC+BC.

Продовжимо сторону AC й відкладемо відрізок CD=BC.

Трикутник BCD — рівнобедрений, отже∠ 1=∠ 2.

У трикутнику ABD очевидно, що ∠ ABD>∠ 1, що означає:∠ ABD>∠ 2.

Оскільки навпроти більшого кута лежить більша сторона, AB<AD, а AD =AC + BC, отже:AB<AC+BCВисновок 5. Для будь-якої з трьох точок A,B і C, що не лежать на одній прямій, правильними є нерівності:
AB<AC+CB,AC<AB+BC,BC<AB+ACВисновок 6. Якщо для трьох точок A,B,C справджується рівність АС=АВ+ВС, то ці точки лежать на одній прямій, причому точка B лежить між точками A і C.Нерівність трикутника дозволяє проаналізувати існування, а отже, і можливість побудови трикутника із заданими сторонами. Зокрема, якщо хоч одне з трьох додатних чисел a,b,c більше за суму двох інших або дорівнює їй, то побудувати трикутник зі сторонами a,b,c неможливо.

Теоретичний матеріал у підручнику на стор. 104.

Класна робота

№ 1

Знайди периметр трикутникаABC, якщо: BC=300дм,AB=400дм і CA=500дм . P (ABC) =

№ 438 стор. 106

№440

№441

№443

№445

№448

№450

Домашня робота

№439, № 442, № 444 стор. 106