Урок: 10 клас. Геометрія. Урок 52. Множення вектора на число

Множення вектора на число

Добутком ненульового вектора $\overrightarrow{a}$ і числа $k$, відмінного від нуля, називають такий вектор $\overrightarrow{b}$, що:

1. $\vert\overrightarrow{b}\vert=\vert k\vert\cdot\vert\overrightarrow{a}\vert;$

2. якщо $k > 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\uparrow\overrightarrow{a}$ якщо $k < 0$, то $\overrightarrow{b}\uparrow\downarrow\overrightarrow{a}$.

   Записують: $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

   Якщо $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ або $k = 0$, то вважають, що $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{O_1C_1}$; $\overrightarrow{B_1O_1}=-\frac12\overrightarrow{DB}$; $\overrightarrow{A_1C_1}=-2\overrightarrow{OA}$.

Зауваження. $1\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

Теорема. Для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ виконується рівність$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-1\right)\cdot\overrightarrow{b}.$

Добуток $−1\cdot\overrightarrow{a}$ позначають $−\overrightarrow{a}$ і називають вектором, протилежним вектору $\overrightarrow{a}$.

Теорема. Якщо вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ колінеарні й $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$, то існує таке число $k$, що $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Теорема. Якщо координати вектора $\overrightarrow{a}$дорівнюють $(a_1;a_2;a_3)$, то координати вектора $\overrightarrow{ka}$ дорівнюють $(ka_1;ka_2;ka_3)$.

Властивості:

Для будь-яких чисел $k$, $m$ і для будь-яких векторів $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ виконуються рівності:

1. $\left(\operatorname{km}\right)\overrightarrow{a}=k\left(m\overrightarrow{a}\right)$(сполучна властивість);

2. $\left(k+m\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}$ (перша розподільна властивість);

3. $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (друга розподільна властивість).

№41.1

Модуль вектора $\overrightarrow{m}$ дорівнює 4. Чому дорівнює модуль вектора $\overrightarrow{n}$, якщо:

1. $\overrightarrow{n}=3\overrightarrow{m}$;

2. $\overrightarrow{n}=-5\overrightarrow{m}$?

№41.2

Якими векторами — співнапрямленими або протилежно на прямленими — є ненульові вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, якщо:

1. $\overrightarrow{b}=\frac13\overrightarrow{a}$;

2. $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$?

№41.3

Дано вектор $\overrightarrow{a}\left(4;-8;-20\right).$ Якими є координати вектора $\overrightarrow{b}$, якщо:

1. $\overrightarrow{b}=5\overrightarrow{a}$;

2. $\overrightarrow{b}=-\frac34\overrightarrow{a}$?

№41.4

Дано вектори $\overrightarrow{a}\left(-3;2;5\right)$ і $\overrightarrow{b}\left(-2;-4;1\right)$ Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{c}$, якщо:

1. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{3a}+\overrightarrow{2b}$;

2. $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{4a}-\overrightarrow{3b}$

№41.6

Дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть усі вектори, початком і кінцем кожного з яких є вершини паралелепіпеда, протилежні вектору:

1. $\overrightarrow{AD}$;

2. $\overrightarrow{B_1D_{}}$ ;

3. $\overrightarrow{AC}$.

№41.8

Якими є координати вектора, протилежного вектору $\overrightarrow{a}\left(13;-10;9\right)$?

№41.9

Знайдіть модуль вектора $\overrightarrow{c}=-6\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}$, якщо $\overrightarrow{a}\left(-1;1;1\right)$, $\overrightarrow{b}\left(2;2;-2\right)$.

№41.11

Чи є колінеарними вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$, якщо $A (4; –1; –4)$, $B (0; 5; 6)$, $C (0; 2; 7)$, $D (2; –1; 2)$?

Домашнє завдання:

Вивчити п.41 (конспект), виконати № 41.5; 41.7; 41.10; 41.12.

№ 41.5. Дано вектори $\overrightarrow{m}\left(1;7;-8\right)$ і $\overrightarrow{n}\left(3;-1;6\right)$ Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{a}$, якщо: 1) $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{m}+5\overrightarrow{n}$; 2) $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{m}-6\overrightarrow{n}$

№ 41.7. Дано паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть усі вектори, початком і кінцем кожного з яких є вершини паралелепіпеда, протилежні вектору: 1) $\overrightarrow{B_1B}$; 2) $\overrightarrow{CD_1}$.

№ 41.10. Знайдіть модуль вектора $\overrightarrow{p}=8\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}$, якщо $\overrightarrow{a}\left(0,5;-0,5;1,5\right),$ $\overrightarrow{b}\left(\frac13;-\frac23;\frac19\right)$

№ 41.12. Чи є колінеарними вектори $\overrightarrow{DE}$ і $\overrightarrow{FK}$, якщо $D (2; –3; 4)$, $E (–1; 6; 2)$, $F (–2; 8; 6)$, $K (–3; 11; 7)$?

Конспект