Синус, косинус і тангес кута від о до 180

Перегляньте відеоматеріал.

У системі координат побудуємо півколо з радіусом 1 та центром у початку координат.

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

У трикутнику AOX:

sinα=AXAO;cosα=OXAO

Оскільки радіус півкола R=AO=1, то sinα=AX;cosα=OX.

Довжина відрізка AX дорівнює величині координати y точки A, а довжина відрізка OX — величині координати x точки A:

A(cosα;sinα)

Отже, для кутів 0°≤α≤180° бачимо, що −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:

tgα=AXOX=sinαcosα

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0°;90°;180°.

sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0sin90°=1;cos90°=0;tg90°не існуєsin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику AOX. Якщо разом вони утворюють 90°, то обидва виразимо через α:

Якщо sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin(90°−α)=OXAO;cos(90°−α)=AXAO.

Ми бачимо, що правильними є рівності:

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

Розглянемо тупий кут, який також виразимо через α:

Правильними є наступні рівності:

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Ці формули називаються формулами зведення:

cos(90°−α)=sinαsin(90°−α)=cosα

sin(180°−α)=sinαcos(180°−α)=−cosα

Якщо в трикутнику AOX застосувати теорему Піфагора, отримаємо AX2+OX2=1. Замінивши відрізки, відповідно, на синус і косинус, запишемо головну тригонометричну тотожність:

sin2α+cos2α=1

Ця тотожність дозволяє обчислити величину синуса кута, якщо відомий косинус
(як уже зазначено, синус для кутів 0°≤α≤180° лише 0 або додатний):

sin2α+cos2α=1sin2α=1−cos2αsinα=1−cos2α−−−−−−−−−√

або величину косинуса кута, якщо відомий синус:

sin2α+cos2α=1cos2α=1−sin2αcosα=±1−sin2α−−−−−−−−−√

Для гострих кутів косинус додатний, а для тупих кутів беремо від'ємне значення.

Теоретичний матеріал у підручнику на стор.5-8.

Класна робота

№ 2 стор. 9

№ 4 стор.10

№ 6

№8

№10

№11

№14

Для закріплення виконайте онлайн вправу.

Домашня робота

№3, №5, №7, №9, № 12 стор.10