Симетрія відносно точки. Поворот.

Точки Х і Х1 називають симетричними відносно точки О якщо точка О є серединою відрізка ХХ1.

Точка О називається центром симетрії

Якщо ВО=OА1 і АО=ОВ1, то кажуть , що відрізок В1А1 симетричний відрізку АВ відносно точки О.

Перетворення фігури F на фігуру F1, при якому кожна точка х фігури F переходить у точку х1 фігури F1, симетричну точці х відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О.

Фігури F і  F1 називаються центрально симетричними.

Для того, щоб побудувати фігуру, симетричну даній відносно

 точки (центра симетрії), потрібно для кожної точки фігури

побудувати їй симетричну точку відносно цього центра.

На рисунку А1 симетрична А, В1 симетрична В, С1 симетрична С.

Властивості центральной симетрії:

1)Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням. (основна властивість )

2) Перетворення симетрії відносно точки перетворює пряму на паралельну їй пряму або на себе; відрізок - на рівний і паралельний йому відрізок; многокутник - на рівний йому многокутник.

3) Будь-яка пряма, що проходить через центр симетрії відображається на себе.

Якщо точка А(x; y) симетрична B(x1;y1) відносно початку координат, то

  x1= -x  і  y1= -y.

Центрально симетричні фігури:

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F саму в себе, то така фігура називається центрально-симетричною.

Приклади центрально симетричних фігур:

1. Коло

2. Квадрат

3. Ромб

4. Паралелограм

5. Прямокутник

6. Відрізок

Поворот

Оберемо довільну точку А, зафіксуємо точку О.

Відкладемо від променя ОА у заданому напрямку

(за годинниковою стрілкою) кут із заданою

 градусною мірою ∝ і позначимо на другій 

стороні кута точку А1 таку, що ОА1=ОА.

Таке перетворення є поворотом навколо точки О на кут  ∝.

Поворотом фігури F навколо точки О на кут ∝ називається перетворення фігури F на фігуру F1, унаслідок якого кожна точка х фігури F переходить у точку х1 фігури F1 так, що ОХ1=ОХ і ㄥХОХ1=∝ 

О-центр повороту, ∝ - кут повороту.

Властивості повороту:

1. Поворот є переміщенням (основна властивість).

2. Центральна симетрія є поворотом на 180°.

3. При повороті пряма переходить у пряму; кут - у рівний йому кут; відрізок - у рівний відрізок; будь-яка фігура - у рівну фігуру.

4. Правильний трикутник під час повороту навколо центру трикутника на 120° переходить в себе. Квадрат при повороті навколо центра на 90° (180°, 270°) переходить в себе. Правильний шестикутник при повороті навколо свого центра на 60°(120°, 180°, 240°, 270°) переходить у себе. Правильний многокутник при повороті навколо свого центра на кут 360/n переходить у себе.

5. Якщо точка В(x1;y1) є образом точки А(x;y) при повороті на 90° відносно початку координат за годинниковою стрілкою, то x1=-y і y1=x;

   проти годинникової стрілки, то x1=y і y1=-x.

   Розв'язування задач

   №19.12

   

   Дано: ABCD - паралелограм, О - точка перетину діагоналей.

   Довести: О являється центром симетрії паралелограма.

   Доведення:

   За властивістю паралелограма його діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Тобто АО=ОС і ВО=OD. За означенням центральної симетрії точка С є образом точки А, в свою чергу точка А є образом точки С. Аналогічно з точками B і D. Отже, точка О є центром симетрії паралелограма ABCD.

№19.24

Дано: Чотирикутник ABCD має центр симетрії О. 

Довести: ABCD - паралелограм.

Доведення:

Оскільки точка О є центром симетрії чотирикутника ABCD, то BO=OD, AO=OC. ㄥBOA=ㄥDOC (вертикальні). Тоді ΔBOA=ΔDOC за першою ознакою рівності трикутників. Отже, АВ=DC. 

З рівності трикутників випливає рівність кутів ㄥOBA=ㄥODC (внутрішні різносторонні). Тоді 

ABII DC. Тоді  ABCD - паралелограм. Що і треба було довести.

виконати № 19.5, 19.9, 19.14, 19.21, 19.23, 19.27, 19.29