Степенева функція. Графіки степеневих функцій

Степенева функція — це функція виду $y=x^{a}$, де a — будь-яке дійсне число.

Якщо а- натуральне число, то функція є степеневою функцією з натуральним показником.

Одласть визначення -всі дійсні числа.

Графік функції з парним натуральним показником. Графік функції з непарним натуральним показником.

Функцію, яку можна задати формулою $y=x^{n}$ , де $n\in Z$ , називають степеневою

функцією із цілим показником.

Якщо показник є ціле від'ємне число , то аргумент не може дорівнювати нулю. Тому область визначення всі числа крім нуля.

Область значень для непарного від'ємного показника всі числа , крім нуля. Область значень для степеневої функції з парним від'ємним показником є невід'ємні числа.

Графік степеневої функції з непарним від'ємним цілим показником (зліва)

Графік степеневої функції з парним від'ємним цілим показником (справа)

Функція $y=x^{a}$ (a — не ціле додатне число).

Якщо a — не ціле додатне число, то функція $y=x^{a}$ (a > 0, a — не ціле число)

має область визначення x ⩾ 0, тобто D (y) = [0; +∞), оскільки значення степеня

з додатним не цілим показником визначено тільки для невід’ємних значень x.

Область визначення функції не є симетричною відносно точки O, тож функція

не може бути ані парною, ані непарною.

Оскільки при x = 0 значення y = 0, то графік функції $y=x^{a}$ (a > 0) завжди

проходить через початок координат.

На всій області визначення функція $y=x^{a}$ (a > 0) є зростаючою.

Область значень заданої функції: y ⩾ 0, тобто E (y) = [0; +∞).

Зазначимо також, що при x = 1, значення $y=1^{a}=1$

Зображуючи графік функції$y=x^{a}$ (a > 0, a — не ціле число), слід ураховувати, що при 0 < a < 1 графік має вигляд, схожий на графік $y=\sqrt{x}$ , а при a > 1 —схожий на праву гілку графіка$y=x^2$

Функція $y=x^{a}$ (a — не ціле від’ємне число).

Якщо a — не ціле від’ємне число, то функція $y=x^{a}$ (a < 0, a — не ціле число)

має область визначення x > 0, тобто D (y) = (0; +∞), оскільки значення степеня

з від’ємним не цілим показником визначено тільки для додатних значень x.

Oбласть визначення функції не є симетричною відносно точки O, тож функція

не може бути ані парною, ані непарною.

Графік функції $y=x^{a}$ (a < 0) не перетинає осі координат.

На проміжку (0; +∞) функція спадає, область значень заданої функції: y > 0,

тобто E (y) = (0; +∞).

Зазначимо також, що при x = 1 значення y = 1.