Площа трикутника

Перегляньте відео

https://www.youtube.com/watch?v=P833JgGx1W4&ab_channel=%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%A8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0

ФОРМУЛИ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА

Ви вже знаєте, що площу трикутника можна обчислити за формулами:

де а — сторона трикутника; h_a — висота, проведена до цієї сторони;

S = p ∙ r, де — півпериметр трикутника; r — радіус вписаного кола.

Виведемо інші формули для обчислення площі трикутника.

1. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:

У трикутнику АВС проведемо висоту BD (мал. 174, 175). Маємо:

Із прямокутного трикутника ABD: BD = АВ sin а, якщо кут а — гострий (мал. 174); BD = АВ sin (180° - а), якщо кут а — тупий (мал. 175). Оскільки sin (180° - а) = sin а, то для будь-якого випадку

BD = АВ sin а. Підставивши у формулу вираз BD, одержимо:

Мал. 174

Задача. Доведіть, що площу трикутника обчислюють за формулою де а, b, с — сторони трикутника, R — радіус описаного кола.

Розв’язання. За наслідком 1 з теореми синусів,

Звідси

Підставивши вираз sin а у формулу одержимо:

Мал. 175

Отже, площу трикутника обчислюють і за формулою:

2. Формула Герона:

де а, b, с — сторони трикутника;

— півпериметр.

За теоремою косинусів, а² = b² + с² - 2b_c cos а. Звідси

З формули S = b_c sin а знаходимо:

Підставляючи знайдені вирази sin а і cos а у формулу sin² а + cos² а = 1, одержимо:

Звідси

Застосовуючи формулу різниці квадратів, маємо:

Взявши до уваги, що а + b + с = 2р, b + с - а = 2р - 2а, а + b - с = 2р - 2с, а + с - b = 2р - 2b, одержимо:

Розвязування задач

https://www.youtube.com/watch?v=4eZXBnTGBh8&ab_channel=uklasicomua

Домашнє завдання

Законспектувати основні формули, виконати одну із нижчевказаних задач

1. На малюнку 1 зображено план ділянки в масштабі 1 : 1000. Скориставшись планом, знайдіть площу цієї ділянки.

2. Маса 1 м² листового заліза становить 38 кг. Яку масу має трикутник, вирізаний із цього заліза, якщо його сторони дорівнюють 29 см, 35 см і 48 см?

3. Від трикутної ділянки площею 5 га потрібно межею BD відділити ділянку площею 2 га (мал. 2). Як це зробити, якщо АС = 1000 м?

Мал. 1

Мал. 2