Ознаки паралелограма

Виконати завдання, зробити скриншот та прикріпити до відповіді.

Теорема (1 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні й паралельні, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику 

АВСD АD = ВС і АD II ВС (мал.). Проведемо 

діагональ АС. Розглянемо ∆САD і ∆АСВ. 

˂САВ = ˂ВСА (як внутрішні різносторонні кути 

при перетині паралельних прямих АВ і ВС січною АС). АС  -  спільна сторона, АВ = ВС (за умовою). Отже, ∆САD = ∆АСВ (за двома сторонами й кутом між ними). Тоді ˂АСD = ˂САВ (як відповідні). Але це різносторонні кути, що утворилися при перетині прямих АВ і СВ січною АС. Тому АВ II СВ (за ознакою паралельності прямих). Отже, у чотирикутнику АВСD протилежні сторони попарно паралельні. Тому АВСD - паралелограм.

Теорема (2 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику

АВСD: АD = ВС і АВ = СD (мал.). 

Проведемо діагональ АС. Тоді 

∆САD = ∆АСВ (за трьома сторонами). 

Тому ˂АСD = ˂САВ, а отже, АВ II СD (за ознакою паралельності прямих). Аналогічно доводимо, що АD II ВС. Отже, АВСD - паралелограм.

Теорема (3 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються й точкою перетину діляться навпіл, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику 

АВСD діагоналі АС і ВD 

перетинаються 

в точці О і АО = ОС, ВО = ОD (мал.). 

˂АОD = ˂СОВ (як вертикальні). 

Тому ∆АОD = ∆СОВ (за двома сторонами та кутом між ними). Звідси АD = ВС. Аналогічно доводимо, що АВ = СD. Зважаючи на п. 2 цієї теореми, приходимо до висновку, що АВСD - паралелограм.

Теорема (4 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у паралелограмі АВСD: ˂А = ˂С, ˂В = ˂D (мал.). 

Оскільки ˂А + ˂В + ˂С + ˂D = 360°, то ˂А + ˂В + ˂ А + ˂ В = 360°, 2(˂ А + ˂ В) = 360°; ˂ А + ˂ В = 180°. Але ˂ А і ˂ В - внутрішні односторонні кути для прямих АD і ВС та січної АВ. Тому АD II ВС (за ознакою паралельності прямих). Аналогічно доводимо, що АВ || СD. Отже, АВСD - паралелограм. 

Запишіть коротку відповідь

1. Діагоналі чотирикутника DEFK перетинаються в точці О, причому      DO = OF, EO = OK. Назвіть паралельні сторони чотирикутника і поясніть, чому вони паралельні.

2. У чотирикутнику KLMN KL || MN і KL = MN. Назвіть рівні кути чотирикутника і поясніть, чому вони рівні.

3. У чотирикутнику PRSQ PR =SQ, PQ=RS. Знайдіть суму кутів R і S.

4. У чотирикутнику ABCD AB = CD. Яке співвідношення між сторонами чотирикутника необхідно додати до умови задачі, щоб довести, що ABCD — паралелограм? Наведіть усі можливі варіанти відповіді.

Завдання виконати в зошиті та сфотографувати і прикріпити відповідь.

Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Точки В1 і D1 — середини відрізків ВО і DO відповідно. Доведіть, що чотирикутник AB1CD1 — паралелограм.