Ознаки паралелограма

Запиши дату та тему уроку: Ознаки паралелограма

Ознаки паралелограма дозволяють визначити, чи є чотирикутник паралелограмом.

Запиши ці ознаки в зошит ( без доведень)

Теорема (1 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні й паралельні, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику АВСD АD = ВС і АD II ВС. Проведемо діагональ АС. Розглянемо ∆САD і ∆АСВ. ˂САВ = ˂ВСА (як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих АВ і ВС січною АС). АС  -  спільна сторона, АВ = ВС (за умовою). Отже, ∆САD = ∆АСВ (за двома сторонами й кутом між ними). Тоді ˂АСD = ˂САВ (як відповідні). Але це різносторонні кути, що утворилися при перетині прямих АВ і СВ січною АС. Тому АВ II СВ (за ознакою паралельності прямих). Отже, у чотирикутнику АВСD протилежні сторони попарно паралельні. Тому АВСD - паралелограм.

Теорема (2 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику АВСD: АD = ВС і АВ = СD. Проведемо діагональ АС. Тоді ∆САD = ∆АСВ (за трьома сторонами). Тому ˂АСD = ˂САВ, а отже, АВ II СD (за ознакою паралельності прямих). Аналогічно доводимо, що АD II ВС. Отже, АВСD - паралелограм.

Теорема (3 ознака паралелограма). Якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються й точкою перетину діляться навпіл, — то чотирикутник є паралелограмом.

Доведення. Нехай у чотирикутнику АВСD діагоналі АС і ВD перетинаються  в точці О і АО = ОС, ВО = ОD. ˂АОD = ˂СОВ (як вертикальні). 

Тому ∆АОD = ∆СОВ (за двома сторонами та кутом між ними).  Звідси АD=ВС. Аналогічно доводимо, що АВ = СD. Зважаючи на п.2  цієї теореми, приходимо до висновку, що АВСD - паралелограм.

ПОТРЕНУЙСЯ

Завдання №1. Визнач, чи є чотирикутник зі сторонами 4 м, 4 м, 6 м, 6 м паралелограмом.

Завдання №2. Визнач, чи є чотирикутник паралелограмом, якщо по черзі взяті сторони дорівнюють 4 м, 6 м, 4 м, 6 м.

Відповідь 1: ні, оскільки невідомо, чи є рівні сторони протилежними.

Відповідь 2: так (за першою ознакою).

Домашня робота