Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

Перегляньте відеоматеріал.

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) Знайти середину сторони.

2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

Зверни увагу!

У трикутнику можна побудувати три медіани, які перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

• Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.

• Медіани трикутника зображені чорним кольором.

• Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.

• В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1, починаючи з вершини трикутника.

• Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

• В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).

2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

Зверни увагу!

У трикутника є три бісектриси, які  перетинаються в одній точці і мають такі властивості:

• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.

• Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.

• Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.

• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.

• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.

• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.

Так само, як медіани і бісектриси, трикутник має три висоти, які перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.  
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Зверни увагу!

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.

Зверни увагу!

Кожний трикутник має три висоти, три медіани й три бісектриси.

Довжини сторін трикутника, протилежних кутам А, В, С, позначають відповідно а, b, с. Довжини висот позначають ha, hb,  hc, медіан — ma, mb, mc, бісектрис — la, lb, lc. Індекс показує, до якої сторони проведено відрізок.

Це означає:

• Проти кута А лежить сторона а.

• До сторони а проведено висоту ha, медіану ma і бісектрису la.

Класна робота

№ 371 стор. 92

Нехай в? ABC CN – медіана і бісектриса. Продовжимо медіану CN так, щоб NK = CN. Проведемо відрізки КА і КВ. Розглянемо? CNB і? KNA. CN = KN (за побудовою), NB = NA (за умовою). ∠ANK= ∠BNK (як вертикальні), отже, ?CNB = ?KNA за двома сторонами і кутом між ними.

У рівних трикутників рівні відповідні кути і сторони, тож ∠NCB = ∠NKA, СВ = КА. Аналогічно з рівності трикутників CAN і KBN отримаємо ∠CAN = ∠BKN, АС = ВК.

Розглянемо? CAN і? КВС. Вони рівнобедрені. АК = СА, СВ = ВК. Отже, отримали АС = СВ = АК = КВ. У? ABC дві сторони рівні, він рівнобедрений.

№ 372

Нехай задані прямі а і b і січна с. Якби а була б паралельна b, TO ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7, a ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 і ∠3 + ∠6 = 180°. Нехай ∠3 = 30°, ∠6 = 140°. ∠3 + ∠6 = 170° ≠ 180°. Отже, сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180°.

Кути ∠6 і ∠7 теж не можуть дорівнювати відповідно 140° і 30°, бо вони суміжні.

№ 373

№ 374

Домашня робота

№ 7-9 стор.97

Для закріплення матеріала, виконайте онлайн вправу, зробіть скріншот і прикріпіть його нижче.