Алгебра 11. Розв’язування показникових рівнянь.

Показниковими рівняннями називають рівняння виду a^f(x)=a^g(x),

де a — додатне число, відмінне від 1.

Наприклад: 2^х+5=0; 10^2х-5=100^х+4

Найпростіше показникове рівняння:

а^х=b,

де 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

Методи розвязування показникових рівнянь

Зведення до однієї основи

Суть метода полягає в тому, щоб зробити і в лівій, і в правій частинах однакові основи

3 ^2𝑥+4 = 9.

3 ^2𝑥+4 = 3²

2𝑥+4 = 2

х=-1

Відповідь: -1

Зведення до спільного показника

основи різні, показники однакові

$2^{x}\cdot5^{x}=0,01$

$\left(2\cdot5\right)^{x}=0,1^2$

$10^{x}=10^{-2}$

$x=-2$

Відповідь: -2

$3^{𝑥+2}=7^{x+2}$

$\frac{3^{x+2}}{7^{x+2}}=1$

$\left(\frac37\right)^{x+2}=\left(\frac37\right)^0$

$x+2=0$

$x=-2$

Відповідь: -2

Винесення спільного множника за дужки

Винесемо за дужки множник з найменшим показником.

$2^{x+2}-2^{x}=96$

$2^{x}\cdot2^2-2^{x}=96$

$2^{x}\left(4-1\right)=96$

$2^{x}=\frac{96}{3}$

$2^{x}=32$

$2^{x}=2^5$

$x=5$

Відповідь: 5

Рівняння, які зводять до квадратних

Уведемо нову змінну 𝒂 ^𝒙 = 𝒕, 𝑡 > 0 й одержимо квадратне рівняння,

або зможемо звести задане рівняння до квадратного

$4^{x}+2^{x}=72$

$\left(2\cdot2\right)^{x}+2^{x}=72$

$2^{2x}+2^{x}-72=0$

$Заміна:2^{x}=t$

$t^2+t-72=0$

$t_1=-9$ $t_2=8$

Обернена заміна:

$2^{x}=-9$, оскільки 𝑎^х > 0, то $2^{x}\ne-9$

$2^{x}=8$

$2^{x}=2^3$

$x=3$

Відповідь: 3

Однорідні показникові рівняння

розв’язується почленним діленням обох частин рівняння на найбільший степінь однієї з двох одержаних основ

$6\cdot4^{x}-13\cdot6^{x}+6\cdot9^{x}=0$

$\frac{6\cdot4^{x}}{9^{x}}-\frac{13\cdot6^{x}}{9^{x}}+\frac{6\cdot9^{x}}{9^{x}}=0$

$6\cdot\left(\frac{4^{}}{9}\right)^{^{}x}-13\cdot\left(\frac23\right)^{^{}x}+6=0$

$6\cdot\left(\frac{2^{}}{3}\right)^{2^{}x}-13\cdot\left(\frac23\right)^{^{}x}+6=0$

$Заміна:\left(\frac23\right)^{x}=t$

$6t^2-13t+6=0$

$t_1=\frac23$ $t_2=\frac32$

Обернена заміна:

$\left(\frac23\right)^{x}=\frac23$

$x=1$

$\left(\frac23\right)^{x}=\frac32$

$x=-1$

Відповідь: -1;1

Виконай тренувальну вправу. Результатом обовязково поділися!

Знайди корінь рівняння

$0,2^{x-3}=125$

Знайди корінь рівняння

$3^{x^2-4}=27$

Знайди корінь рівняння

$2^{x}+3\cdot2^{x-1}=20$

Розв'яжи рівняння:

$2^{2x}-10\cdot2^{x}+16=0$