Алгебра 10. Розв'язування ірраціональних рівнянь

Ірраціональними називаються рівняння, у яких невідома величина знаходиться під знаком кореня або невідому величину підносять до дробового показника степеня

Наприклад: $\sqrt[3]{x+2}=-5$; $x^{\frac14}-7=74$

Найпростіше ірраціональне рівняння

$\sqrt[n]{f\left(x\right)}=0$

Розв'язування за допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня

При піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня одержуємо рівняння, рівносильне заданому (на його ОДЗ)

Приклад 1

$\sqrt[3]{x+2}=-5$

Підносимо обидві частини ірраціонального рівняння до третього степеня

$\left(\sqrt[3]{x+2}\right)^3=\left(-5\right)^3$, одержимо:

$x+2=-125$

$x=-127$

Відповідь: -127

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одержане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівняння.Тому слід обов'язково робити перевірку одержаних коренів.

Приклад 2

$\sqrt{x+1}=−1$Рівняння не має коренів, оскільки радикал з парним показником не може бути від’ємним.

Відповідь: рівняння розв’язку не має

Приклад 3

$\sqrt{2x+3}=x$, піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

$\left(\sqrt{2x+3}\right)^2=x^2$

$2x+3=x^2$

$x^2-2x-3=0$

$x_1=-1;x_2=3$

x = −1 є стороннім коренем ($\sqrt{2\cdot\left(-1\right)+3}\ne-1$)

x = 3 є коренем $\sqrt{2\cdot3+3}=3$ — правильна рівність

Відповідь: 3.

Розв'язування за допомогою заміни змінних

Якщо до рівняння змінна входить в одному й тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз із змінною позначити однією буквою

Приклад 4

$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}=2$

Уведемо нову змінну $\sqrt[3]{x}=t$ й одержимо квадратне рівняння

$t^2+t-2=0$

$t_1=1;t_2=-2$

Обернена заміна:

$\sqrt[3]{x}=1$$;\sqrt[3]{x}=-2$

$x=1$;$x=-8$

Відповідь: 1; –8.

Розв'язування за допомогою застосування властивостей функцій.

Зверни увагу!

Розвяжіть рівняння.