8 клас. Геометрія. Урок 7. Паралелограм та його властивості. Експрес-контроль № 2

Паралелограм та його властивості

Ситуація. Бабуся готувала пиріг і попросила Олега допомогти його прикрасити. Бабуся завжди робила на пирогах красиву решітку зі смужок із тіста. Олег виклав перший шар смужок паралельно одна одній, а в другому шарі змінив напрямок смужок і розмістив їх навскоси до смужок у першому шарі.

Яку фігуру утворили дві пари смужок із двох їх шарів?

Запам'ятайте!

Чотирикутник, у якому протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

AD || BC і АВ || DС.

Який елемент паралелограма одержимо, якщо з його вершини провести перпендикуляр до протилежної сторони?

Запам'ятайте!

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї сторони до паралельної їй сторони (або до її продовження).

відрізки ВМ і ВN — висоти паралелограма АВСD.

Висоту паралелограма можна провести з будь-якої точки його сторони.

Властивості паралелограма

Запам'ятайте!

Теорема (властивість сторін і кутів паралелограма) У паралелограмі:

1. протилежні сторони попарно рівні;

2. протилежні кути попарно рівні.

Дано: АВСD — паралелограм.

Довести: 1) АВ = DС, ВС = АD;

2) ∠А = ∠С, ∠В = ∠D.

Доведення

1. Проведемо діагональ АС.

2. Розглянемо ∆АВС і ∆СDА.

3. У них АС — спільна сторона, ∠ВСА = ∠DАС як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і АD та січній АС, ∠ВАС = ∠DСА також як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АВ і DС та січній АС.

4. Отже, ∆АВС = ∆СDА (за ІІ ознакою)

5. Із рівності трикутників АВС і СDА випливає: АВ = СD, ВС = DА; ∠В = ∠D. Кути А і С паралелограма рівні як суми рівних кутів.

Задача (властивість діагоналей паралелограма) Діагоналі паралелограма точкою їх перетину діляться навпіл.

Дано: АВСD — паралелограм, О — точка перетину його діагоналей АС і ВD.

Довести: АО = СО, ВО = DО.

Доведення

1. Розглянемо ∆АОD і ∆СОВ.

2. У них ВС = АD як протилежні сторони паралелограма, ∠СВО = ∠АDО як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і АD та січній ВD,

3. ∠ВСО = ∠DАО (ВС || АD, АС — січна).

4. Отже, ∆АОD = ∆СОВ (за ІІ ознакою)

5. З рівності трикутників АОD і СОВ випливає: АО = СО, ВО = DО.

Паралелограм є окремим видом чотирикутника, тому має всі його властивості.

Інші властивості паралелограма подано в таблиці.

№131 (Усно)

Інтерактивна вправа

№132

Периметр паралелограма дорівнює 48 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо:

1. одна з його сторін у 7 разів менша від іншої;

2. різниця двох його сторін дорівнює 7 см.

№134

За даними на малюнках знайдіть сторони паралелограма АВСD.

№137

У паралелограмі АВСD ∠АВС = α, ∠ВСD = β. Чому дорівнюють кути АDС і ВАD, якщо:

1. α = 120°, β = 60°;

2. α = β = 90°?

Відповідь поясніть.

№139 (Усно)

Інтерактивна вправа

№142

За даними на малюнках знайдіть кути паралелограма АВСD.

№144

Знайдіть кути паралелограма, якщо:

1. один з його кутів на 50° менший від іншого;

2. сума двох його кутів дорівнює 120°.

Домашнє завдання:

1. Вивчити конспект § 2

2. Виконати № 133, 135, 138, 145.