8 клас. Геометрія. Урок 15. Теорема Фалеса. Експрес-контроль № 7

Теорема Фалеса

Ситуація. Учні й учениці 8-А класу на уроці геометрії виконували мінідослідження. Спочатку вони накреслили кут АСВ та відклали на його стороні СА рівні відрізки А₁А₂ і А₂А₃. Через точки А₁, А₂, А₃ за допомогою косинця й лінійки провели паралельні прямі, що перетнули сторону СВ цього кута в точках В₁, В₂, В₃ . А потім порівняли довжини відрізків В₁В₂ і В₂В₃ та зробили висновок.

Який висновок зробили учні?

Теорема Фалеса

Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, на одній його стороні відтинають рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні.

Дано: ∠АВС, А₁А₂ = А₂А₃, А₁В₁ || А₂В₂ || А₃В₃.

Довести:В₁В₂ = В₂В₃

Доведення

1. Через точки А₁ і А₂ проведемо прямі А₁Е і А₂F, паралельні ВС.

2. Розглянемо ∆А₁А₂Е і ∆А₂А₃F. У них А₁А₂ = А₂А₃ за умовою, ∠А₁А₂Е = ∠А₂А₃F і ∠А₂А₁Е = ∠А₃А₂F як відповідні кути при паралельних прямих і січній.

3. Отже, ∆А₁А₂Е = ∆А₂А₃F (за стороною і прилеглими до неї кутами.)

4. З рівності цих трикутників випливає, що А₁Е = А₂F.

5. Але А₁Е = В₁В₂ і А₂F = В₂В₃ як протилежні сторони паралелограмів А₁В₁В₂Е і А₂В₂В₃F.

6. Отже, В₁В₂ = В₂В₃.

Чи є справедливою теорема Фалеса, якщо замість сторін кута взяти дві довільні прямі?

Паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі й відтинають на одній прямій рівні відрізки, відтинають рівні відрізки й на другій прямій.

Задача.

Поділіть на п’ять рівних частин даний відрізок АВ.

Розв'язання

1. Проведемо з точки А допоміжний промінь АС, що не лежить на прямій АВ.

2. Відкладемо на промені АС п’ять рівних відрізків: АА₁, А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅.

3. Проведемо пряму А₅В.

4. Через точки А₁, А₂, А₃, А₄ проведемо прямі, паралельні прямій А₅В.

5. За теоремою Фалеса, ці прямі ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин.

№348

За даними на малюнках знайдіть $x$ ($a || b$).

№350

Інтерактивна вправа

№352

За даними на малюнку доведіть, що АВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃.

№353

Поділіть даний відрізок на вказану кількість рівних частин:

1. 4;

2. 6.

№371

Поділіть даний відрізок на дві частини так, щоб вони відносились як:

1. 3 : 4;

2. 2 : 3.

№373

На малюнку АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ і А₁В₁ || A₂B₂ || A₃B₃ || A₄B₄. Знайдіть:

1. АВ₃, якщо різниця довжин відрізків АВ₄ і В₂В₃ дорівнює 9 см;

2. В₁В₄, якщо різниця довжин відрізків АВ₄ і В₁В₃ дорівнює 8 см;

3. АВ₄, якщо різниця довжин відрізків В₁В₄ і В₁В₂ дорівнює 10 см.

Домашнє завдання:

Вивчити конспект §6. Виконати № 349, 351, 354, 372.