8 клас. Алгебра. Урок 24. Раціональні рівняння. Розв’язування задач і вправ. Експрес-контроль № 14

Дробові раціональні рівняння

Раціональне рівняння називається дробовим раціональним рівнянням, якщо принаймні одна з його частин містить дробовий вираз.

Наприклад. Рівняння $\frac{x-3}{5x}=0,$ $x-3=\frac{5}{x},$ $\frac{x-3}{4}=\frac{1}{5x},$ $\frac{5}{x}-\frac{3}{x-2}=1$ є дробовими раціональними рівняннями.

Пригадайте! Рівняння, які мають одні й ті самі корені, називають рівносильними.

• У парі рівнянь $\frac{x\left(x-5\right)}{x}=0$ і $x(x −5) = 0$ множина коренів другого рівняння включає в себе множину коренів першого рівняння. Тому говорять, що друге рівняння є рівнянням-наслідком для першого рівняння.

• Корінь 0 рівняння $x(x −5) = 0$є стороннім коренем для рівняння $\frac{x\left(x-5\right)}{x}=0$

Сторонні корені рівняння можуть з’являтися внаслідок нетотожних перетворень рівнянь, зокрема коли відбувається «розширення» ОДЗ змінних.

Як розв’язати дробове раціональне рівняння?

Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, треба:

1. визначити ОДЗ змінної рівняння;

2. звести рівняння до вигляду$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$ , де $Р(x)$ і $Q(x)$ — деякі многочлени;

3. розв’язати рівняння-наслідок $Р(x)=0$;

4. перевірити, чи належать знайдені корені до ОДЗ змінної початкового рівняння.

Задача 2. Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{x-3}-\frac{4}{x+1}=\frac{12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$

1. Знаходимо ОДЗ змінної рівняння: $x$ – будь-яке число, крім –1 і 2

2. Переносимо дріб із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком:

   $\frac{x}{x-3}-\frac{4}{x+1}-\frac{12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=0$

3. Зводимо дроби до спільного знаменника й виконуємо дії:

   $\frac{x\left(x+1\right)-4\left(x-3\right)-12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=0$

4. Прирівнюємо до нуля чисельник цього дробу й отримуємо рівняння-наслідок:

   $x\left(x+1\right)-4\left(x-3\right)-12=0$

5. Розв’язуємо рівняння-наслідок:

   $x^2+x-4x+12-12=0,$

   $x^2-3x=0,$

   $x\left(x-3\right)=0,$

   $x=0$ або $x=3$

6. Перевіряємо, чи належать знайдені корені до ОДЗ змінної рівняння:

   число 0 належить до ОДЗ змінної рівняння,

   число 3 не належить до ОДЗ змінної рівняння.

   Відповідь: 0.

Деякі дробові раціональні рівняння можна розв’язувати, застосовуючи основну властивість пропорції, а саме: якщо$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ , то $A⋅D = B⋅C.$

Задача 3. Розв'яжіть рівняння $\frac{x}{1-x}=\frac53$

1. ОДЗ: х — будь-яке число, крім 1.

2. Застосувавши основну властивість пропорції, одержимо:

   $3x=5\left(1-x\right),$

   $3x=5-5x,$

   $3x+5x=5,$

   $8x=5,$

   $x=\frac58=0,625$

3. Число 0,625 належить до ОДЗ змінної початкового рівняння, тому є коренем цього рівняння.

   Отже, $x=0,625.$

№244

Інтерактивна вправа

№246

Чи має розв’язки рівняння:

Якщо так, то знайдіть їх.

№247

Застосуйте основну властивість пропорції та розв’яжіть рівняння:

№251

Для кожної пари рівнянь визначте, чи є друге рівняння наслідком першого:

№252

Розв’яжіть рівняння:

Домашнє завдання:

Повторити конспект § 7. Виконати: № 245, 248, 253.