8 клас. Алгебра. Урок 23. Раціональні рівняння. Експрес-контроль № 13

Раціональні рівняння

Ситуація. Група велосипедистів на поїздку з міста А до міста В і назад витратила загалом 4 год 15 хв. Відстань між цими містами — 36 км. З якою швидкістю рухалися велосипедисти з міста А до міста В, якщо на зворотному шляху вони їхали зі швидкістю, на 2 км/год меншою?

Як математично описати ситуацію?

Математична модель задачі

Нехай $x$ км/год – швидкість руху велосипедистів з міста А до міста В. Складемо скорочений запис ситуації:

Запишемо рівняння:

$\frac{36}{x}+\frac{36}{x-2}=4,25$

Яка особливість такого рівняння?

Рівняння називається раціональним, якщо обидві його частини — раціональні вирази.

Раціональні рівняння так само, як і раціональні вирази, поділяють на цілі та дробові. Один із видів цілих раціональних рівнянь — це лінійні рівняння. Розглянемо ще один приклад цілих раціональних рівнянь.

Цілі раціональні рівняння

Задача 1. Розв’яжіть рівняння: $x(x −1)(x +3) = 0.$

Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому з даного рівняння одержуємо:

$x = 0$, або $x – 1 = 0$, або$x + 3 = 0$,

звідси $x = 0$, або $x = 1$, або $x = –3$.

Відповідь: коренями рівняння є числа: –3, 0 і 1.

Щоб розв’язати ціле раціональне рівняння виду Р(х) ·… · Q(x) = 0, де Р(х),…, Q(x) — деякі многочлени:

1. прирівняйте кожний множник до нуля: Р(х) = 0,…, Q(x) = 0;

2. розв’яжіть отримані рівняння.

Дробові раціональні рівняння

Раціональне рівняння називається дробовим раціональним рівнянням, якщо принаймні одна з його частин містить дробовий вираз.

Наприклад. Рівняння $\frac{x-3}{5x}=0,$ $x-3=\frac{5}{x},$ $\frac{x-3}{4}=\frac{1}{5x},$ $\frac{5}{x}-\frac{3}{x-2}=1$ є дробовими раціональними рівняннями.

Пригадайте! Рівняння, які мають одні й ті самі корені, називають рівносильними.

• У парі рівнянь $\frac{x\left(x-5\right)}{x}=0$ і $x(x −5) = 0$ множина коренів другого рівняння включає в себе множину коренів першого рівняння. Тому говорять, що друге рівняння є рівнянням-наслідком для першого рівняння.

• Корінь 0 рівняння $x(x −5) = 0$є стороннім коренем для рівняння $\frac{x\left(x-5\right)}{x}=0$

Сторонні корені рівняння можуть з’являтися внаслідок нетотожних перетворень рівнянь, зокрема коли відбувається «розширення» ОДЗ змінних.

Як розв’язати дробове раціональне рівняння?

Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, треба:

1. визначити ОДЗ змінної рівняння;

2. звести рівняння до вигляду$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$ , де $Р(x)$ і $Q(x)$ — деякі многочлени;

3. розв’язати рівняння-наслідок $Р(x)=0$;

4. перевірити, чи належать знайдені корені до ОДЗ змінної початкового рівняння.

Задача 2. Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{x-3}-\frac{4}{x+1}=\frac{12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$

1. Знаходимо ОДЗ змінної рівняння: $x$ – будь-яке число, крім –1 і 2

2. Переносимо дріб із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком:

   $\frac{x}{x-3}-\frac{4}{x+1}-\frac{12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=0$

3. Зводимо дроби до спільного знаменника й виконуємо дії:

   $\frac{x\left(x+1\right)-4\left(x-3\right)-12}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=0$

4. Прирівнюємо до нуля чисельник цього дробу й отримуємо рівняння-наслідок:

   $x\left(x+1\right)-4\left(x-3\right)-12=0$

5. Розв’язуємо рівняння-наслідок:

   $x^2+x-4x+12-12=0,$

   $x^2-3x=0,$

   $x\left(x-3\right)=0,$

   $x=0$ або $x=3$

6. Перевіряємо, чи належать знайдені корені до ОДЗ змінної рівняння:

   число 0 належить до ОДЗ змінної рівняння,

   число 3 не належить до ОДЗ змінної рівняння.

   Відповідь: 0.

№237

Інтерактивна вправа

№239

Визначте ОДЗ змінної $x$ рівняння:

№241

Інтерактивна вправа

№242

Розв’яжіть рівняння:

№249

Чи є рівносильними рівняння:

Домашнє завдання:

Вивчити конспект § 7. Виконати: № 238, 240, 243, 250.