7 клас. Геометрія. Урок 55. Геометричне місце точок

Геометричне місце точок

Ситуація. Батько попросив Інну знайти відстані від усіх точок на рульовому колесі автомобіля до кнопки подання звукового сигналу. Інна обрала одну точку на колесі й виміряла відстань. Вона стверджує, що всі інші точки колеса знаходяться на такій самій відстані від його центра

Чи права Інна?

Запам'ятайте!

Фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість, називається геометричним місцем точок (ГМТ).

Що означає вимога «фігура складається з усіх точок площини, які мають певну властивість»?

Приклад. Розглянемо малюнок.

Чи можна вважати дугу АВ кола з центром О і радіусом 10 см геометричним місцем точок, рівновіддалених від центра О на 10 см?

Справді, кожна точка дуги АВ віддалена від точки О на 10 см.

Але на площині є точки, що віддалені від точки О на 10 см і не лежать на дузі АВ .

Наприклад, точки С, D, М та інші.

Фігура складається з усіх точок площини, які мають певну властивість – означає:

по-перше, що кожна точка фігури має цю властивість;

по-друге, кожна точка площини, яка має цю властивість, належить даній фігурі.

Скільки різновидів задач пов’язані з ГМТ?

ЗАДАЧІ НА ГМТ:

1. На доведення, що певна фігура є ГМТ

2. На знаходження фігури, яка є певним ГМТ

Задача 1. Бісектриса кута є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута. Доведіть.

Розв'язання

Доведемо два взаємнообернені твердження

1. Кожна точка бісектриси рівновіддалена від сторін кута.

   

   Якщо D – точка бісектриси ∠A, то DC = DB.

   Трикутники ACD і ABD рівні за гіпотенузою і гострим кутом (гіпотенуза AD – спільна, ∠CAB = ∠BAD, бо

   AO – бісектриса ∠A).

   Тому DC = DB.

2. Кожна точка, яка є рівновіддаленою від сторін кута лежить на бісектрисі.

Якщо KC = KB, то AK – бісектриса ∠A.

Трикутники ACK і ABK рівні за гіпотенузою і катетом (гіпотенуза AK – спільна, KC = KB – за умовою).

Звідси випливає: ∠CAK = ∠BAK, тобто точка K лежить на бісектрисі кута А.

Щоб переконатися, що фігура F є геометричним місцем точок, доведіть два взаємно обернені твердження:

1. кожна точка, що лежить на фігурі F, має дану властивість;

2. кожна точка площини, що має дану властивість, належить фігурі F.

Задача 2. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців даного відрізка

Розв'язання

Створюємо основу для гіпотези: Позначимо кілька точок, рівновіддалених від точок А і В. Наприклад, С – середину відрізка АВ, M, N, K, P .

Робимо припущення: шуканим геометричним місцем точок є пряма а, яка перпендикулярна до відрізка АВ і проходить через його середину.

Доводимо правильність припущення, довівши два взаємнообернені твердження.

1. Кожна точка прямої а рівновіддалена від точок А і В.

   Якщо а ⊥ AB, AC = CB, то AD = BD.

   Візьмемо на прямій а довільну точку D і сполучимо її з точками A і B. ΔACB = ΔBCD за двома катетами (AC = CB за умовою, CD – спільний катет).

   Тому AD = BD.

2. Кожна точка, яка є рівновіддаленою від точок А і В, лежить на прямій а.

Якщо AK = BK, то KC ⊥ AB, AC = CB.

Візьмемо на площині довільну точку K, рівновіддалену від точок A і B, тобто AK = BK.

Через середину C відрізка AB проведемо пряму KC.

ΔABK – рівнобедрений, бо AK = BK за умовою. У ньому KC – медіана, а, значить, і висота.

Отже, точка D лежить на прямій a.

Робимо висновок.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є пряма, яка перпендикулярна до відрізка і проходить через його середину.

Запам'ятайте!Пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називається серединним перпендикуляром.

№883 (Усно)

Назвіть геометричні місця точок, зображених на малюнках

№884

№886

№888

№891

№893

Чи можна вважати промінь ОМ геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка АВ?

№894

Домашнє завдання:

Опрацювати § 18, виконати № 885, 887, 889, 890