7 клас. Алгебра. Урок 97. Повторення теми «Одночлени і многочлени»

Одночлен

Запам'ятайте!

Цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх натуральних степенів, називають одночленом.

Наприклад: $5\cdot5,32a,xy,32axy,x^2,9\cdot(−x^2)$ є одночленом.

Самі числа, змінні та їх степені з натуральними показниками також вважають одночленами.

Наприклад: $5,−5,a,x,−x$ також є одночленами.

Їх називають найпростішими одночленами.

$5\cdot\frac{1}{x}$ не є одночленом

Дії першого ступеня з одночленами

Додавання (віднімання) одночленів зводиться до додавання (віднімання) подібних доданків.

Коротко говорять: суму (різницю) згорнули в одночлен.

Наприклад: $25x^5y^2+15x^5y^2=40x^5y^2.$

Зверніть увагу!

Суму (чи різницю) одночленів можна згорнути в одночлен лише тоді, коли вони мають ту саму буквену частину.

Щоб подати у вигляді одночлена суму (чи різницю) одночленів:

1. з’ясуйте, чи є подібні доданки в даному виразі;

2. якщо всі доданки є подібними, то зведіть їх.

Якщо подібних доданків немає або не всі доданки є подібними, то даний вираз не можна подати у вигляді одночлена.

Дії другого ступеня з одночленами

Щоб перемножити одночлени, потрібно перемножити їх коефіцієнти та степені з однаковими основами.

Коефіцієнт – числовий множник

Наприклад: $–0,2x^4y^6\cdot5axy^2=(–0,2\cdot5)\cdot x^4x\cdot y^6y^2\cdot a=–1\cdot x^5\cdot y^8\cdot a=–x^5y^8a.$

Зверніть увагу!

В одночленах:

• числовий множник 1 не записують;

• від числового множника −1 залишають тільки знак «−» перед буквеною частиною.

Дії третього ступеня з одночленами

Щоб піднести одночлен до степеня, слід піднести до степеня кожний множник одночлена і знайдені степені перемножити.

Наприклад: $(2xy^2)^5=(2)^5\cdot x^5\cdot(y^2)^5=32x^5y^{10}.$

Стандартний вигляд одночлена

Одночлен стандартного вигляду – одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені різних змінних, записані за алфавітом.

Степінь одночлена

Степінь одночлена – сума показників степенів усіх змінних, що входять до нього.

Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то його степінь вважається рівним нулю.

Число 0 степеня не має.

Многочлен

Вираз, що є сумою кількох одночленів, називається многочленом, а кожен доданок цієї суми – членом многочлена.

Наприклад: $x^3-15x^5y-xy^2-3.$

Будь-який цілий вираз можна перетворити в многочлен

Окремі види многочленів

Двочлен – многочлен, який складається з двох членів.

Наприклад: $7x+xy$

Тричлен – многочлен, який складається з трьох членів.

Наприклад: $7x+xy+2$

Вважають, що будь-який одночлен також є многочленом

Стандартний вигляд многочлена

Многочлен стандартного вигляду – многочлен, який є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів.

Щоб звести многочлен до стандартного вигляду:

1. подайте кожен член многочлена у стандартному вигляді;

2. зведіть подібні члени многочлена.

   Степенем многочлена називається степінь його старшого члена.

Додавання многочленів

Запам'ятайте!

Додати (відняти) многочлени означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо.

Скорочений запис числа

Скорочений запис числа розгортають у суму розрядних доданків так:

$\overline{abc}=100a+10b+c$

Множення одночлена на многочлен

Запам'ятайте!

Помножити многочлен на одночлен означає скласти вираз, що є сумою добутків даного одночлена і кожного члена многочлена, та спростити його, якщо це можливо.

Множення многочленів

Запам'ятайте!

Помножити многочлен на многочлен означає скласти вираз, що є сумою добутків кожного члена одного многочлена і кожного члена іншого многочлена, та спростити його, якщо це можливо.

Винесення спільного множника за дужки

Щоб винести спільний множник (СМ) членів многочлена за дужки:

1. визначте коефіцієнт спільного множника (для цього знайдіть НСД модулів коефіцієнтів членів многочлена);

2. визначте буквену частину спільного множника (до неї доберіть найнижчі степені усіх змінних, що є множниками у кожному з членів многочлена);

3. винесіть знайдені числовий і буквені множники за дужки;

4. запишіть вираз, що залишиться в дужках.

Розкладання многочленів на множники за допомогою формул скороченого множення

Розкладання многочленів на множники. Спосіб групування

Наприклад. Розкладіть на множники многочлен $a^3−3a^2-4a+12$

1. Запишемо многочлен: $a^3−3a^2-4a+12=$

2. Згрупуємо доданки: $=(a^3−3a^2)-(4a−12)=$

3. Винесемо СМ за дужки: $=a^2(a−3)-4(a−3)=$

4. Винесемо СМ за дужки: $=(a−3)(a^2-4)=$

5. Застосуємо ФСМ: $=(a−3)(a-2)(a+2).$

№2

Подати вираз у вигляді многочлена:

1. $\left(a+2\right)^2;$

2. $\left(6-x\right)^2;$

3. $\left(5m+3n\right)^2;$

4. $\left(x^4-x^2\right)^2.$

№4

Розкласти на множники вираз:

1. $3x+3y-bx-by;$

2. $4n-nc-4+c;$

3. $x^7-x^3+4x^4-4.$

№5

Розв'яжіть рівняння:

1. $3x-x^2=0;$

2. $y^2+5y=0;$

3. $9x^2+6x=0.$

№6

Зведіть одночлени до стандартного вигляду та знайдіть їх добуток:

1. $0,2x^6y^{15}\cdot\left(x^2\right)^3;$ $-1,5z^3\cdot6xy^5;$ $-zx^{15}y^2;$

2. $\left(-y^2\right)^5\cdot\left(-x^4\right)^2;$ $-0,15xy^9;$ $-\frac15x^{12}y;$ $-0,03\left(-x\right)^5\cdot\left(-y\right)^2.$

№11

Зведіть подібні члени многочлена:

1. $5,85xy-8,1x^2-5\frac12xy-0,9x^2-0,35xy;$

2. $51xy^2+13xy-4yx+13x^2y-9xy;$

3. $7a^2-26b+24a-b\cdot13-3a+\left(-67a\right)-5,5a^2-46a.$

№19

Перетворіть вираз у многочлен та спростіть його:

$1)\left(1,8a^2+5,6b^2\right)+\left(2,09a^2-3b^2\right)-\left(3,5a^2+1\right)-\left(1+0,1b^2\right)-\left(5a^2-3,1b^2-2\right);$

$3)a\cdot a^4-2a^{12}\cdot a^5:a^{12}+a^8\cdot a^2:a^5;$

№22

Розв'яжіть рівняння:

1. $\frac25x\left(0,3x-2\right)=4+0,12x^2;$

2. $-0,125x\left(8x^2-2\right)+x\left(x^2-6,75\right)=0;$

3. $\left(\frac{x}{3}+1\right)\left(x-7\right)=\frac{\left(x+2\right)^2}{3};$

Домашнє завдання:

Повторити § 7-14, виконати с.305 № 7, 11 (4), 19 (2, 4), 22 (4, 5)