11 клас. Геометрія. Урок 9. Паралелепіпед. Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота

Паралелепіпеди та його види

Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограми.

• Будь-які дві протилежні грані паралелепіпеда лежать у паралельних площинах.

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи.

• Основи прямого паралелепіпеда – паралелограми.

• У прямого паралелепіпеда всі бічні грані - прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед – це прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники.

• Усі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками

Довжини ребер $BA,BC,BB_1$ - виміри прямокутного паралелепіпеда

Виміри прямокутного паралелепіпеда – це довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини.

Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його трьох вимірів.

$AC_1^2=BA^2+BC^2+B_1B^2$

Площі поверхні паралелепіпеда

Прямий паралелепіпед

$S_{п}$ - площа паралелепіпеда, $S_{б}$ - площа бічної поверхні, $S_{осн}$ - площа основи паралелепіпеда

Площа основи прямого паралелепіпеда:

• основа - паралелограм $S_{осн}=ah_{a}=ab\sin\alpha$, де $\alpha$ - кут між сторонами $a$ i $b$

• основа - ромб $S_{осн}=\frac12d_1d_2$, де $d_1$ i $d_{\placeholder{}}$ - діагоналі ромба; $S_{осн}=a^2\sin\alpha$, де $\alpha$ - кут між сторонами

Площа бічної поверхні прямого паралелепіпеда дорівнює добутку периметра його основи та висоти.

$Р_{осн}$ - периметр основи, $𝒃$ - висота, $b=H$

Прямокутний паралелепіпед

$S_{осн}=ab$, де $a$ i $b$ - сторони основи (прямокутника)

Куб

$S_{п}=6a^2$, де $a$ - ребро куба

Самостійна робота

Варіант 1

1. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 7 см і 24 см, а висота паралелепіпеда дорівнює 8 см. Знайдіть площу діагонального перерізу паралелепіпеда.

2. У прямому паралелепіпеді сторони основ дорівнюють $2\sqrt2$ см і 5 см і утворюють кут 45°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Обчисліть площу повної поверхні паралелепіпеда.

3. Основою прямої призми є ромб із кутом 120°. Більша діагональ призми дорівнює 8 см і утворює з бічним ребром кут 60°. Обчисліть площу повної поверхні призми.

4. Площі бічних граней правильної трикутної призми дорівнюють 13 см², 14 см², 15 см², а бічне ребро призми дорівнює l. Обчисліть площу повної поверхні призми.

Самостійна робота

Варіант 2

1. У прямокутному паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5 см, площа діагонального перерізу — 205 см², а площа основи дорівнює 360 см². Знайдіть сторони основи.

2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із гострим кутом 60° і більшою діагоналлю, що дорівнює $6\sqrt3$ см, менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

3. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з бічною стороною 8 см і кутом при вершині 120°. Кут між діагоналями рівних бічних граней, які проведено з однієї вершини верхньої основи, дорівнює 90°. Обчисліть площу бічної поверхні призми.

4. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює $l$і утворює з площиною основи кут$α$. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Самостійна робота

Варіант 3

1. Ребра прямокутного паралелепіпеда відносяться як 3 : 7 : 8, площа повної поверхні дорівнює 808 см². Знайдіть довжину ребер.

2. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 4 см і утворюють кут 120°, бічне ребро дорівнює $2\sqrt3$ см. Знайдіть довжини діагоналей паралелепіпеда.

3. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 8 см, 6 см, 10 см. Висота призми дорівнює середньому арифметичному сторін основи. Обчисліть площу повної поверхні призми.

4. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 288 см². Обчисліть площу повної поверхні призми, якщо її бічне ребро удвічі більше за сторону основи.

Самостійна робота

Варіант 4

1. У прямокутному паралелепіпеді діагональ d нахилена до площини основи під кутом α. Кут між діагоналями основи дорівнює β. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

2. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 10 см, одна з діагоналей основи дорівнює 6 см, площа меншого діагонального перерізу — 36 см². Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

3. Основою прямої чотирикутної призми є паралелограм зі сторонами 4 см, 6 см і кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні призми, якщо діагональ більшої її грані дорівнює 10 см.

4. Площі бічних граней правильної трикутної призми дорівнюють 9 см², 10 см², 17 см², а бічне ребро призми дорівнює l. Обчисліть площу повної поверхні призми.

Самостійна робота

Варіант 5

1. Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює 12 см, а сторони основи — 8 см і 6 см.

2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із гострим кутом β. Діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом α, а площа цієї грані дорівнює Q. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

3. Обчисліть площу повної поверхні прямої трикутної призми, якщо її висота дорівнює 50 см, а сторони основ дорівнюють 40 см, 13 см і 37 см.

4. Площа бічної поверхні правильної трикутної призми дорівнює 324 см². Обчисліть площу повної поверхні призми, якщо сторона її основи втричі менша за бічне ребро.

Самостійна робота

Варіант 6

1. Площа діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда дорівнює 35 см². Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 3 см і 4 см.

2. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 4 см і 6 см, а кут між ними — 60°. Діагональ більшої бічної грані дорівнює 10 см. Обчисліть площу повної поверхні паралелепіпеда.

3. Діагональ бічної грані правильної чотирикутної призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

4. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 3 см, 4 см, 5 см. Висота призми дорівнює середньому арифметичному сторін основи. Обчисліть площу повної поверхні призми.

Самостійна робота

Варіант 7

1. У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут α. Кут між діагоналлю основи та її стороною дорівнює β. Обчисліть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

2. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 4 см і утворюють кут 120°, більша діагональ паралелепіпеда дорівнює $\sqrt{65}$ см. Знайдіть довжини більшого бічного ребра і меншої діагоналі паралелепіпеда.

3. Основою прямої призми є трикутник, сторони якого дорівнюють 5 см, 5 см і 6 см. Висота призми дорівнює більшій висоті цього трикутника. Знайдіть площу повної поверхні призми.

4. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Самостійна робота

Варіант 8

1. Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює 12 см, а сторони основи — 8 см і 6 см.

2. Основою прямого паралелепіпеда АВСА₁В₁С₁ є паралелограм зі сторонами АВ = 3 см, ВС = 2 см і кутом В, що дорівнює 120°. Знайдіть кут між діагоналями АС₁ і BD₁.

3. Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 8 см і 10 см. Одна з діагоналей основи дорівнює 6 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми, якщо площа її меншого діагонального перерізу дорівнює 36 см².

4. Висота правильної чотирикутної призми дорівнює Н. Діагональ призми утворює з бічним ребром кут α. Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Домашнє завдання:

Повторити п. 17, виконати № 17.17; 17.18